广东省江门市江海区2026年初中学业水平模拟测试 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市江海区2026年初中学业水平模拟测试 数学试题（含解析），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在实数，0，，3中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用实数大小比较的基本规则即可求解．
【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，在给出的数，，，中，
是唯一的负数．
∴ ．
∴ 最小的数是．
2. 江门市底蕴深厚，拥有侨乡与岭南文化，被列为省级历史文化名城．下列为江门文创标志，其中属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、属于中心对称图形，符合题意；
B、不属于中心对称图形，不符合题意；
C、不属于中心对称图形，不符合题意；
D、不属于中心对称图形，不符合题意；
3. 科学家统计了一株生长良好的黑麦根的数量，发现约有万条．用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数的形式为，其中，为原数的位数减一．先将万化为整数原数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可．
【详解】解：万．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算各选项即可得到正确结果．
【详解】解：A选项：， A错误，
B选项：， B错误，
C选项：， C错误，
D选项：， D正确．
5. 为弘扬载人航天精神，某校科技节制作了6张关于“天宫课堂”的卡片，其中3张为“神舟飞船”、2张为“中国空间站”、1张为“嫦娥探月”（除画面内容外其他都相同）．现随机抽取一张，抽到“神舟飞船”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意可知，所有卡片共6张，即随机抽取一张共有6种等可能的结果，
其中“神舟飞船”卡片共3张，即抽到“神舟飞船”的结果有3种，
∴抽到“神舟飞船”的概率为 ．
6. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A. 越来越慢B. 越来越快C. 保持不变D. 快慢交替变化
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．
【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快；
故选B．
7. 如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴ 是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴ ．
8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的值，再比较大小即可得到结果．
【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上，
∴ 将各点横坐标分别代入解析式，得：
，
，
，
∵，
∴．
9. 在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦的定义计算即可得出结果．
【详解】解：由题意可得：，
∵米，
∴米．
10. 在如图所示的正方形网格中，的度数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图：先证明可得，再根据直角三角形两锐角互余以及等量代换即可解答．
【详解】解∶如图：
设小正方形网格的边长为1，∠1 所在的直角三角形为 ，其中，，，则 ；所在的直角三角形为，其中，，则，
∵，，
∴，
∴，
∵ 在中，，
∴．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，则___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解．
【详解】解：已知 ，，
由同底数幂的乘法法则，得 ，
故答案为： 6．
12. 若分式的值为0，则x的值为____．
【答案】1
【解析】
【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x-1=0，
∴x=1.
故答案为：1．
本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
根据正多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：12．
14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写出一个即可）．
【答案】
1(答案不唯一)
【解析】
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，据此将原方程整理为一般形式，求出的取值范围，即可得到符合条件的的值．
【详解】解：将原方程整理为一般形式得，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
化简得，
解得，
的值可以是．
15. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：
①；
②；
③，
按照以上变换，例如：，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目给出的三种变换规则，从内向外依次计算即可得到结果．
【详解】解：先根据变换③计算，得
再根据变换②计算，得
．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得，……第一步
移项，得，……第二步
配方，得，……第三步
，……第四步
由此可得，……第五步
解得……第六步
（1）任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？
（2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
【答案】（1）①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立
（2），
【解析】
【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案；
（2）正确利用配方法进行求解即可．
【小问1详解】
解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法，
配方法依据的数学公式是完全平方公式，
②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立．
【小问2详解】
解：二次项系数化为1，得，
移项，得，
配方，得，
即，
由此可得，
解得，．
17. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作的垂直平分线，找到圆心，然后画圆即可；
（2）连接，根据求解即可.
【小问1详解】
解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，
如图所示即为所求.
【小问2详解】
解：设与的另一个交点为点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴.
18. 《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）．
（1）如图2，若，，求的度数．
（2）在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）．
【答案】（1）
（2）点到点的距离为米
【解析】
【分析】（1）由题意可得，则，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果；
（2）作于点，则米，由正弦的定义计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作于点，
由（1）可得：，，
∴（米），
∵，
∴（米），
∴点到点的距离为米．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），绘制了如下统计图表：
根据以上数据，整理分析如下表：
请解答下列问题：
（1）表格中的______，______，______，（填“＜”“＞”或“＝”）；
（2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生安全知识掌握较好？请说明理由；
（3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【答案】（1），，
（2）理由见解析 （3）估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人．
【解析】
【分析】（1）先统计七年级成绩中出现次数最多的数，确定众数；再将八年级成绩排序，取中间两个数的平均数得到中位数；最后通过观察成绩分布，判断七年级成绩更集中，得出七年级方差小于八年级方差的结论；
（2）可以从两个角度分析：一是认为七年级学生掌握更好，依据是七年级平均成绩更高且方差更小，成绩更稳定；二是认为八年级学生掌握更好，依据是八年级成绩的中位数更高、最高分更高，高分人数相对更多；
（3）先分别计算七年级、八年级样本中分及以上的优秀占比，再用各自的优秀占比乘以对应年级的参赛总人数，最后将两个年级的优秀人数相加，得到七、八年级参赛学生中“优秀”等级的总人数为人．
【小问1详解】
解：七年级名学生成绩：95，95，90，95，90，95，88，98，98，88，
其中，出现次数最多的是，
因此众数；
八年级名学生成绩从小到大排序：81，86，89，94，95，96，96，96，98，100，
中位数为第个数的平均数，即；
观察成绩分布：七年级成绩更集中，波动更小，
因此方差；
【小问2详解】
解：：我认为七年级的参赛学生掌握得较好．因为七年级的平均成绩大于八年级，方差小，更稳定；
：我认为八年级的参赛学生掌握得更好．因为八年级的中位数更高，最高分更高，高分人数较多；
【小问3详解】
解：样本中：七年级人里，分及以上有人，优秀占比，
八年级人里，分及以上有7人，优秀占比，
因此估计总优秀人数：（人），
答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人．
20. 2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个．
（1）求甲、乙两种机器人的单价分别是多少；
（2）现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元
（2）购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元
【解析】
【分析】（1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，根据题意，列出分式方程，求解即可得出结果；
（2）设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，根据题意得出不等式组，求解得出的取值范围，由费用最少，得出对应结果．
【小问1详解】
解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，
根据题意，得出方程，
解得，
经检验，是方程的解，则，
故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元．
【小问2详解】
解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，
根据题意，列出不等式组，
解得，
由于m取正整数，则m取10，11，12，13，
∵总费用表达式为，
若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好，
故应购买甲种机器人个，乙种机器人个，
此时费用为（万元），
答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元．
21. 综合与实践
请解答（或回答）下列问题：
（1）“尝试思考”中的长度是______；
（2）①请回答“问题1”中的问题，要有必要的解答过程；
②直接写出问题2中的条件；
（3）请回答问题3，要有必要的解答过程．
【答案】（1）6 （2）①能折叠成矩形，理由见解析；②；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用折叠的性质即可求解；
（2）①利用勾股定理求得，利用折叠的性质求得，，得到，据此即可得到四边形是矩形；
②同①利用勾股定理求得，根据，即可求解；
（3）分别取和的中点和，连接和相交于点，以点为圆心，为半径作圆分别交和于点和，据此折叠，则可折叠成矩形．
【小问1详解】
解：由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
即；
【小问2详解】
解：①能折叠成矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠可知，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②由①知，
由题意得，
即，
∴；
【小问3详解】
解：分别取和的中点和，连接和相交于点，以点为圆心，为半径作圆分别交和于点和，顺次连接、、、，则可折叠成矩形．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22. 代数推理
我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”．
（1）函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由；
（2）求函数图像上的“减半点”；
（3）若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值．
【答案】（1）不是“减半函数”，理由见解析
（2）和
（3）①；．
【解析】
【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可；
（2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标；
（3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可．
【小问1详解】
解：不是“减半函数”，理由如下：
假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，
将点代入得：，即，
∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”，
∴函数不是“减半函数”．
【小问2详解】
解：设函数图像上的“减半点”的坐标为，
将代入得：，解得：或，
当时，，即“减半点”坐标为；
当时，，即“减半点”坐标为．
综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和．
【小问3详解】
解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，
将代入得：，
整理得：，
∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解．
∴当时，即，不是抛物线，不符合题意；
当时，，解得：，符合题意；
∴抛物线的解析式
代入抛物线方程：，即．
②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H：
​，
∴直线与 H 的交点A坐标为
直线与 H 的交点B坐标为 ，即，
∴线段 AB 的中点坐标为，即，
∵直线的“减半点”恰好为线段的中点，
∴，解得：．
23. 综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接．
（1）如图1，当，时，与相切于，求．
（2）如图2，当运动到右侧，连接，交于点，
①在运动过程中，求的最小值；
②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求．
【答案】（1）1 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定；
（1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可；
（2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值；
②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，与相切于点，
∵与相切于，
∴．
【小问2详解】
解：①连接，
∵是上一点，为直径,
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵,
∴,
∴,
又∵，
∴，
∵,
∴,
∴,
∵要求最小值，即求最小值，
又∵为已知正方形的边长，为定值，
∴最小值，即求的最大值，
连接并延长交于点，此时的最大值为，
,
∴．
②∵顺时针旋转到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴ ，
∴，即，
∴，
∴，解得：（舍去负根）或，
∴．
平均数
众数
中位数
方差
七年级
93.2
95
八年级
93.1
96
项目背景
折纸，是一种古老而又充满魅力的活动．在折纸的过程中就仿佛踏入了一个几何图形的奇妙世界，探索着其运动变换形态，揭示隐藏的性质与规律．每一次折叠，都是对空间想象力的尝试，也是对几何直观感知的一次锻炼．
问题
如何将一张纸片折叠成一个矩形（拼接处无缝隙、无重叠）？
尝试思考
三角形纸片（）按图1所示折叠成矩形，若，，，则长度是多少？

类比思考
如图2，任意的平行四边形纸片（，边长，，边上的高为）
问题1：当，，时，能按图2所示折叠成矩形吗？
问题2：平行四边形纸片要折出图2中的矩形，须满足什么条件?（用含、、的式子表示）
延伸思考
问题3：对于任意的平行四边形纸片（），经过适当的调整，都能按图3所示折叠成矩形，说明、、、这些点是如何确定？