山西晋城市部分学校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含解析）

这是一份山西晋城市部分学校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含解析），共4页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知，则的大小关系为， 函数的图象大致为， 已知函数， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分:150分)
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，，
所以．
2. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】，是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.
对于A，假设与共线，则存在实数，使，
所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以A能作为基底；
对于B，假设与共线，则存在实数，使，
所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底；
对于C，因为，
所以与共线，不能作为基底，所以C正确；
对于D，假设与共线，则存在实数，使，
所以，无解，所以假设不成立，
所以与不共线，能作为基底.
3. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 20B. 15C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】由复数是关于的方程的一个根，
得复数是该方程的另一个根，则，
所以.
4. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面
C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，由平行的传递性知A正确；
对于B，如图①，在正方体中，
当，时，与相交；
当，时， ；
当，时，与异面；
所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确；
对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示，
可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确；
对于D，如图①，在正方体中，
与相交，与异面，此时与平行；
与相交，与异面，此时与相交；
与相交，与异面，此时与异面；
所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误.
5. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题可得：，，
，故.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】函数中，，解得，函数的定义域为，
由，得函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC；
当时，，排除选项D，选项A符合要求，故选A.
7. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以．
因为在上恰有3个零点，所以，解得．
8. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）
A. 13B. 14C. 20D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可.
【详解】因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，，
所以.
取边中点，连接，则，所以.
所以
.
同理可得，.
所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 长方体是直四棱柱，也是正四棱柱
【答案】BC
【解析】
【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据正四棱柱的定义判断选项D.
【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误，
四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确；
一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确；
当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四棱柱，D错误.
10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的表面积之比为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断.
【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误；
圆锥的母线长，则侧面积为，B错误；
球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；
圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，
所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确．
故选：CD
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若点为的重心，则
C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心
D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据正弦定理求得，再结合即可判定；对于B，根据重心为中线交点判断即可；对于C，根据判断；对于D，设的中点分别为，进而得，再结合面积公式判断.
【详解】对于A，由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误；
对于B，因为点为的重心，设中点为，则，故B正确；
对于C，因为，
所以，
所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；
对于D，因为，所以，
设的中点分别为，如图，则，即，
所以，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正四棱台中，，，则该棱台的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解.
【详解】如图所示：
取正棱台上下底面中心，连接过点作的平行线，交于点，
因为，所以
在直角三角形中，，
故正四棱台的高为，
根据棱台体积计算公式，.
13. 中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用等面积列出方程求解即得.
【详解】依题意，设，,
由,可得，，
解得:.
故答案为：.
14. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用复数的几何意义进行求解.
【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，
而表示圆上的点到定点的距离，
圆心到定点距离为：
所以（是虚数单位）的最小值为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求在上的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合倍角公式和辅助角公式化简解析式，由正弦函数周期性求最小正周期；
（2）结合（1），根据正弦函数单调性和“整体法”解三角不等式即可.
【小问1详解】
因为
，
所以最小正周期.
【小问2详解】
由得：，
因为，所以.
则，解得
，解得
所以在上的解集是
16. 已知复数，其中．
（1）若z是实数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围；
（3）若z是纯虚数，求的模．
【答案】（1）或．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据虚部等于0解方程即可；
（2）根据实部小于0，虚部大于0解不等式即可；
（3）根据实部等于0，虚部不等于0求得，再求对应复数的模即可.
【小问1详解】
解：因为是实数，
所以，z的虚部为0，即，解得或．
【小问2详解】
解：因为z对应的点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，即：，
解第一个不等式得，解第二个不等式得或，
取交集得．
所以实数m的取值范围为
【小问3详解】
解：因为z是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0，即：，
解得，此时，
所以．
17. 已知向量，满足，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）求在上的投影向量；（用表示）
（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解；
（2）利用投影向量的计算公式计算求解；
（3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围
【小问1详解】
已知，，且，的夹角为，
，
．
【小问2详解】
根据投影向量的定义，在上的投影向量为，
，，
投影向量为．
【小问3详解】
已知向量与向量的夹角为钝角，
，且与不反向共线；
则，
即，解得；
若两向量反向共线，则存在实数，使得，，
即，将代入，得到，
由，解得，
与不反向共线，
，
综上可得，实数的取值范围是．
18. 在中，角，，的对边分别是，，，．
（1）求；
（2）若是边的中点，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正余弦定理求解即可.
（2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以， 即．
由余弦定理可得，则，所以．
因为，所以．
【小问2详解】
因为D是边的中点，所以，
所以，即．
因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，
则的面积，
即当时，的面积取得最大值．
19. 如图所示，在中，，，，，．
（1）用表示；
（2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若O是内一点，且满足（），求的最小值．
【答案】（1）；；
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解；
（2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解；
（3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值.
【小问1详解】
由题意可得：；；
且.
【小问2详解】
由题意可知：，，，
设，
因为，
因为，则，
可得
即，解得，
所以存在点，使得.
【小问3详解】
因为，则，
因为，则，
可得，即，
则，可知三点共线，
且，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
则，
所以的最小值为.