2026年河北省邯郸市初中学业水平考试数学模拟试卷（含解析）

这是一份2026年河北省邯郸市初中学业水平考试数学模拟试卷（含解析），共6页。
1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）
1. 嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意，支出元可记为，获得元收入可记为，
∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为．
2. 如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（ ）
A. 2米B. 3米C. 10米D. 14米
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可；
【详解】解：∵在中，米，米，
根据三边关系可得： ，
则，即，
对比选项，只有10米符合该范围．
3. 根据国家邮政局公布的数据，2026年我国邮政行业寄递业务量预计达到2300亿件，连续多年位居世界第一．将2300亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．
科学记数法的表示形式为，其中，为整数．
【详解】解：2300亿．
4. 如图，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，连接，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出．由作图可知，，则，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
由作图可知，，
∴．
∴．
5. 如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．
【详解】解：几何体的左视图和主视图是相同的，
故选：B．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．
6. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再估算化简后无理数的范围，即可得到答案．
【详解】解：，
∵，
∴，即在和之间．
7. 以下是一段模拟抽奖的程序代码，程序随机生成一个1到9之间的整数（包括和），并判断该数能否被3整除．若能，则输出“OK”．
运行该程序，每次输出OK的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列出所有可能的情况，根据结果计算概率．
【详解】解：根据题意，生成的数为1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个数，其中能被3整除的数为3，6，9共3个，
∴输出“OK”的概率为．
8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及判别式与根的关系，列不等式求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
整理，得，
解得，
∴，且．
9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（ ）
A. 2步B. 3步C. 4步D. 5步
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形的边长为步，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为步，
∵四边形是正方形，步，步，
∴，，，
∴，
∴​，
即，
解得：，
因此正方形的边长为步．
10. 如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（ ）．
A. 6B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值．
【详解】解：设点坐标为，得到，，
又轴于点，轴于点，则四边形为矩形，
四边形的面积为，，，
根据题意有，，则，，
，，
四边形的面积为，
根据题意有，解得．
11. 如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论：
①当时，．
②当点落在上时，四边形是菱形．
③在点运动的过程中，线段的最小值为．
④连接，则的面积等于
其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】对于①，由菱形的性质可得，则，由折叠的性质可得， 进而得到，因此，故①正确；对于②，容易判断当点落在上时，四边形与菱形重合，故②正确；对于③，由可知，，仅当点、、三点重合时取等号，因此的最小值为2，故③正确；对于④，设与的交点为，由可得，故④错误．
【详解】解：对于①：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，故①正确；
对于②：由折叠的性质可得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴当点落在上时，点与点重合，
又∵菱形关于直线对称，
∴此时点与点重合，
∴四边形即菱形，故②正确；
对于③：由①可知，，
∴为钝角，
∴，仅当点、、三点重合时取等号，
∴的最小值为2，故③正确；
对于④：如图，设与的交点为，
由折叠的性质可得，，
∴，故④错误；
综上，正确的结论有3个．
12. 在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（ ）
A. 5B. 8C. 13D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点．
【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数．
如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时．
根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为．
若，，点在直线，则有
①，解得，此时不是整数，不满足题意；
②，解得，此时不是整数，不满足题意；
③，解得，此时；
综上可知，满足条件的n的值为5和8，
所以满足条件的所有n的和为．
本题考查了平面直角坐标系内点的坐标规律、一次函数．掌握图形规律题的常见类型，如差不变、比不变、周期等；能够结合图形，最终把几何问题转化为代数问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 计算：________．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘方和零指数幂． 应用有理数乘方法则和零指数幂法则进行计算，再作差即可．
【详解】解：．
14. 某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据多边形的内角和公式和外角和性质，可知这个正多边形的边数为，是正六边形；
内角和为：．
15. 若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为________．
【答案】##
【解析】
【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，
∴，
∴，即，
∴．
16. 如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________．
【答案】12
【解析】
【分析】作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，结合轴对称的性质可得、、的坐标，进而可得，再证明四边形是平行四边形，根据两点直线线段最短可得出最短骑行路线，问题随之得解．
【详解】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图，
即有，，，
∴，
∴，
根据平移有：，轴，
又∵，
∴，即四边形是平行四边形，
∴，
根据轴对称的性质有：，，
根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短，
且为：．
根据轴对称的特点构造出辅助线，确定最短骑行路线是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为．
（1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集；
（2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1），数轴表示见解析
（2）嘉嘉的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列出不等式求解即可；
（2）根据条件列出式子，利用完全平方公式进行化简证明即可；
【小问1详解】
解：由，得，
数轴表示：
【小问2详解】
嘉嘉的说法正确．
理由：，
故恒成立．
18. 将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）．
现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片．
方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米；
方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米．
已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程：
解：
…………第一步
……………第二步
……………………………第三步
（1）该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程；
（2）若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值．
【答案】（1）原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析
（2）原正方形边长为12厘米
【解析】
【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答．
（2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果．
【小问1详解】
解：原解答不正确，从第二步开始出错．
正确过程：
．
【小问2详解】
解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和．
根据“长宽比相等”，列方程：
解得
验证：时，，符合实际意义．
答：原正方形边长为12厘米．
19. 如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且．
（1）求证：；
（2）当时，把沿直线翻折得到，证明：．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）通过角平分线的性质得到，再根据已知条件证全等即可；
（2）由翻折得到，根据全等得到，根据推出，即可得证；
【小问1详解】
证明：平分，
，
又，，
∴．
【小问2详解】
证明：由翻折得，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，即，
．
20. 随着电池技术的不断突破，我国新能源汽车产业发展迅速，产销量连续多年位居全球前列，新能源汽车的续航里程也持续提升．某校数学兴趣小组对市面上主流新能源汽车做了抽样调查，按续航里程（单位：千米）进行统计，绘制了如下尚不完整的统计表和统计图（如图）．
某市新能源汽车续航里程抽样统计表
（1）根据上述图表信息，求统计表中m的值；
（2）行业标准认为，续航里程不低于500千米的新能源汽车能够较好地满足长途出行需求．若该市新能源汽车保有量约为8.2万辆，根据现有数据，估计其中续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有多少万辆？
（3）若兴趣小组对续航里程超过800千米的新能源汽车进行补充调查，得到续航里程（）的频数（辆）为n．将补充数据与原样本合并后，新样本数据的中位数恰好落在组，直接写出n的最小值．
【答案】（1）
（2）（万辆）
（3）n的最小值为9
【解析】
【分析】本题主要考查了数据的统计，扇形统计图等知识．
（1）根据扇形图中组别E的角度求出其占比，再利用其所占百分比和频数，即可求出总的频数，问题可解；
（2）续航里程不低于500千米的新能源汽车的占比，再乘以全市总的车辆数即可求解；
（3）中位数落在D组别，D组别数据从小到大依次排列有12个数，当此中位数排序越靠前时，落在中位数后面的数的个数就越多，此时所需要上述频数（辆）为n的值就越小，据此作答即可．
【小问1详解】
根据题意有：，
则：；
【小问2详解】
根据题意有：（万辆），
答：续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有万辆；
【小问3详解】
按照里程数由低到高，各组的频数依次按序排列为：4、8、12、12、4、，
∵中位数落在组，
∴即原排序简化为：、12（包含中位数）、，
即：、12（包含中位数）、，
当中位数处在这12个数中的第一个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
当中位数处在这12个数中的第二个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
依次类推，当该中位数（包含多个数同为中位数的情况）在这12个数中的位置相对向后移动时，则此中位数前面的数据个数越来越多，那么依据中位数的定义，其后面需要补充的数据也越来越多，此时的值会越来越大，
综上：当中位数处在这12个数中的第一个数时，的值最小，且为9．
21. 如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．

（1）如图1，连接，求的长；
（2）如图2，连接，当时，求的长；
（3）如图3，连接，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据特殊角锐角函数值可得，即可求解；
（2）连接，当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．求出，再根据弧长公式，即可求解；
（3）当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为为中点，根据三角形中位线定理可得，可证明为等边三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴；
【小问2详解】
解：连接，
当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴圆的半径为3，
∴的长；
【小问3详解】
解：当点G为中点时，面积最大，
连接交于点H，则，且点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴面积最大值．
22. 在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
（1）求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式；
（2）网络工程师将信号强度划分为以下等级：
若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明；
（3）该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留．
【答案】（1），
（2）等级为良好，理由见解析
（3）（平方米）
【解析】
【分析】（1）将，，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将，，代入得出，求得，的值，即可求解；
（3）令，得出的值，进而求得，再根据圆的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
∴ ，，
∴
，
∴P关于x的函数解析式为．
【小问2详解】
解：当时，，，
∴．
∵，
∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好．
【小问3详解】
解：令，则，解得，
∴，
覆盖面积：（平方米）．
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ；
（2）当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：）
【答案】（1）；
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）结合矩形的性质和折叠的性质，容易证明四边形是矩形，则，进而求出四边形的面积；
（2）作出的垂直平分线，与的交点即为中点，再分别以点、为圆心，、为半径作圆，两圆的另一个交点即为点；
（3）由折叠的性质可得，因此点在以为直径的圆上．分析弧的起点和终点，当点在点处时，点与点重合；当点在点处时，点在上，作出此时的图，因此点的运动路径为．逆向利用三角函数可计算出，从而得到，，结合半径为，利用扇形的弧长公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，落在上，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
；
【小问2详解】
解：折痕和点如图所示：
根据尺规作图可得，，，
又∵，
∴，
∴点与点关于对称；
【小问3详解】
解：由折叠的性质可得，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
当点在点处时，点与点重合；
当点在点处时，如图，取的中点，连接，
此时，点在上，
∴点的运动路径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长为，
∴点的运动路径长为．
24. 如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长；
②求的最大值及此时点的坐标；
（3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界）
【答案】（1），顶点D的坐标为
（2）①；②PQ取得最大值，
（3）
【解析】
【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）①先求出点的坐标，再求出直线的解析式，根据题意表示出点和点的坐标，进而得到的代数式；②利用配方法求出的最大值，并写出此时点的坐标；
（3）根据题意，阴影部分包含在抛物线的、两点之间，区域内所有整点（不含边界），一共7个，结合图象可知，当点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上时，满足5个整点的要求．利用平移规律写出抛物线的解析式，求出和时的函数值，并与和作比较，从而求出的取值范围．
【小问1详解】
解：将点，代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：①将代入，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点， 代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
②，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间，
∵，，，，
又∵抛物线关于直线对称
∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个，
如图，
根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上，
根据平移规律可得，抛物线的解析式为，
将代入，得，
∵点在抛物线的下方，
∴，即，
解得或（不符题意，舍去）；
将代入，得，
∵点在抛物线的上方或者在抛物线上，
∴，即，
解得，
综上所述，的取值范围为．imprt randm #导入随机数模块
num=randm. randint #随机生成1到9之间的整数（包含和）
if num： #判断该数除以的余数是否为
print("OK") #如果能被整除，输出OK
组别
续航里程x（千米）
频数（辆）
A
4
B
8
C
m
D
12
E
4
信号强度
等级
优秀
良好
一般
弱覆盖
用户体验
高速上网
正常上网
可上网，速率慢
容易掉线