2025-2026学年杭州市高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年杭州市高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析），共12页。试卷主要包含了已知双曲线，函数的大致图像为等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．设分别为的三边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
5．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
7．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）.
A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D．2016年与2019年艺体达线人数相同
8．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）
A．1．1B．1C．2．9D．2．8
9．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
12．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是
14．设，则______.
15．设为数列的前项和，若，则____
16．已知，则满足的的取值范围为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
19．（12分）设函数.
（1）求的值；
（2）若，求函数的单调递减区间.
20．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.
21．（12分）已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
22．（10分）已知为椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.
【详解】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种
由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：
故选：B
本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
2．B
【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意,可得几何关系如下图所示:
,
故选:B
本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.
3．C
【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．
【详解】
，，
，．
故选：C．
本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．
4．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．B
【解析】
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：.，
∴，，
，
同理可得：；；.；，，…….
∴.
故是一个以周期为6的周期数列，
则.
故选：B.
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
6．C
【解析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.
【详解】
如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线
平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面
内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因
为，所以，从而，故④正确.
故选：C.
本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.
7．A
【解析】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，
2019年不上线人数为，故A正确；
2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；
2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了
倍，故C错误；
2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.
故选：A.
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
8．C
【解析】
根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.
【详解】
初始值，
第一次循环：，；
第二次循环：，；
第三次循环：，；
第四次循环：，；
第五次循环：，；
第六次循环：，；
第七次循环：，；
第九次循环：，；
第十次循环：，；
所以输出.
故选：C
本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.
9．D
【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.
【详解】
函数的定义域为，当时，，排除B和C；
当时，，排除A.
故选：D.
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.
10．A
【解析】
根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.
【详解】
当为奇数时，，
则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，
当为偶数时，，
则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.
所以
.
故选：A
本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
11．A
【解析】
直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.
【详解】
解：将两边同时乘以，得
故选：A
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
12．B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过∥轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案.
【详解】
根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入，
可得，即，由于在线段上，故，即，解得
.
14．121
【解析】
在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.
【详解】
令，得，令，得，两式相加，得，所以.
故答案为:.
本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.
15．
【解析】
当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.
【详解】
当时，，即，
当时，，
两式相减可得，
即，
即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.
16．
【解析】
将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.
【详解】
根据题意，f（x）＝x|x|＝，
则f（x）为奇函数且在R上为增函数，
则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，
解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）；
故答案为：[，+∞）．
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）当时，