2026郑州高三下学期二模数学试题含解析

这是一份2026郑州高三下学期二模数学试题含解析，共7页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡．，04等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3.考试结束后，只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，
所以将 代入 分别得 ，
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则 满足 ，
所以 .
3. 已知 ，则 的值所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】函数 单调递增，所以只需 ，即可得 .
比较 5 与 ： .
比较 5 与 ： .
比较 5 与 ： ， ，因为 ，即 ，所以 .
比较 5 与 ： ， ，因为 ，即 ，所以 .
综上， ，所以 .
4. 已知平面上不共线的四点 ，满足 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件求得 ，进一步得到 ，再结合投影向量定义即可求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以 ，所以 与 共线且同向，且 ，所以 在 上的投影向量为
,
因为 与 共线且同向，所以 ，所以 在 上的投影向量为
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.
5. 设 是斜三角形的一个内角，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ，
，整理得 .
或 （舍）， 为三角形的内角，
，又 是斜三角形的一个内角，
.
综上，不等式 的解集为 .
6. 已知椭圆 ，椭圆上一点 到直线 距离的最大值为 ，则该椭圆的离
心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设椭圆 上任意点 ， ,
根据点到直线的距离公式，可知 到直线 的距离为：
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，其中 ，
所以 的最大值为： ，
两边平方整理得 ， 椭圆中 ，则 ，
即离心率： .
7. 已知函数 ，若函数 与函数 的图象的交点有 个，记为
，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】判断出两函数的图象都关于点 中心对称，根据复合函数的性质判断出函数 的定义域
为 上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可.
【详解】因为 ，
且 ，
所以 的图象关于点 中心对称；
又因为 ，
由 ，可得 ，
即函数 的定义域为 ，
且 ，
易知函数 在 上单调递增，
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又 ，
所以 的图象关于点 中心对称；
所以两函数的交点也关于点 中心对称；
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数图象共有 3 个交点，其中一个交点为 ，
设另外两个交点分别为 ，
则 ，
所以 .
8. 若方程 的三个根 成等比数列，则该数列的公比为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用数形结合判断根的分布，再结合对数运算，通过代换变形可求得公比.
【详解】
如图可知：方程 的三个根 的分布为： ，
因此 ，
再设公比为 ，则 ， ，由等比中项性质得 ，
将 等式相减得： ，
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代入 可得：
再代入 ，可得 ，
代入 ， ，可得 ，
解得 或 （负根舍去），且满足 ，即公比为 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某校 AI 社团组织全校学生参加 AI 伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦
理规范与相关法律知识，争做负责任的 AI 技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩
（ 满 分 100 分 ， 最 低 分 50 分 ） 中 ， 随 机 调 查 了 部 分 同 学 的 测 试 成 绩 ， 按
分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确
的是（ ）
A. 的值为 0.04
B. 估计样本成绩的众数约为 85
C. 估计样本成绩的上四分位数约为 87.5
D. 若规定成绩排名前 的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于 90 分
【答案】ABC
【解析】
【分析】由所有矩形的面积和为 1，求出 的值，即可判断 A；由众数的定义求出其值，即可判断 B；求出
上四分位数，即可判断 C；由题意可得绩不低于 90 分的同学占总体的 ，即可判断 D.
【详解】对于 A，由题意可得 ，
解得 ，故 A 正确；
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对于 B，设样本的众数为 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，设样本成绩的上四分位数为 ，
由题意可得 ，
所以 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，因为成绩不低于 90 分的同学占总体的 ，不满足题意，故 D 错误.
10. 已知函数 ，函数 ，则（ ）
A. 当 时，
B. 和 的奇偶性相同
C. 和 的周期相同
D. 和 的最值相同
【答案】BD
【解析】
【分析】首先分析 、 的奇偶性，对于 A，判断 范围内的大小即可比较；对于 B，根据
奇偶性定义即可判断；对于 C，分开讨论 、 、 、 的周期性，再判
断 、 的周期性即可；对于 D，根据三角函数的取值范围，判断 和 的最值即可．
【详解】 ，
因此， 是偶函数，同理可判断 也为偶函数，
对于 A， 时， ， ，
所以此时 ，又因为 、 均为偶函数，
所以 时， ，故 A 错误；
对于 B，由前述分析可知 、 均为偶函数，故 B 正确；
对于 C，由于 的图象如下所示，
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易知其为非周期函数，又 为周期性函数，周期为 ，故 为非周期函数，
而 ，由于 、 为周期函数，
所以 为周期函数，因此两者周期性不同，故 C 错误；
对于 D， ，当且仅当 且 时 成立，
例如 即可取到最大值 2，
当且仅当 且 或 且 时 成立，
例如 即可取到最小值 0，
，当且仅当 且 时 成立，
例如 即可取到最大值 2，
当且仅当 且 或 且 时 成立，
例如 即可取到最小值 0，故 D 正确．
11. 已知抛物线 为坐标原点，过点 作斜率为 的直线 交抛物线
于 两点，其中 在第一象限，直线 交抛物线 于另一点 ，其中 ，直线 与直线
交于点 ．则（ ）
A.
B. 当 时，直线 的方程为
C. 当 四点共圆时，
D. 点 落在定直线 上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件求出点 的坐标，代入抛物线方程，即可求解判定 A，联立直线与抛物线方程，由韦达
定理得 ，根据已知条件判定 B，C，根据条件求出 的横坐标 ，再
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结合韦达定理计算判定 D.
【详解】因为点 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，代入抛物线 ，得到 ，解得 ，A 选项正确；
所以抛物线 的方程为 ，
设直线 方程为 ，
设 ，联立 ，
消 得到 ，
则 ，
当 时， ，
所以 或 ，且 ，即得 ，
所以直线 的方程为 ，B 选项错误；
当 四点共圆时，则有 ，故 ，
则 ，所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
整理得到 ，又 ，所以 ，故直线 的方程为 ，C 选项正确；
由 ，得到直线 ，
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由 ，得 ，
直线 ，联立方程 ，解得 ，
，
，
由 ，得 ，
所以点 落在定直线 上，D 选项正确；
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的所有极值点之和为______．
【答案】
【解析】
【详解】 ，令 ，解得 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，当 时，
， 单调递增.
所以 在 取得极大值，在 取得极小值，所以函数 所有极值点之和为 .
13. 已知 为等差数列，记公差为 ，前 项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，则
的取值范围为______．
【答案】
【解析】
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【分析】由题可得 ，据此可得答案.
【详解】因 ，且 存在最大值，则 ，又 仅在 时取最大值，则 前 7 项为正数，
从第 8 项开始为负数，
从而 .
14. 已知一个圆锥的底面半径为 5，表面积为 ．若在该圆锥内放入三个半径均为 的球，其中每个球都
与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线 ，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解
即可.
【详解】设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 .
则圆锥的轴截面为边长为 10 的等边三角形.
沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则 为半径为 的等边三角形，
根据圆锥的性质易知截面圆的圆心 为 的外心，所以 .
沿 ， 所在轴截面如图，易知 ，所以 .
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所以 ，解得 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在 中， 为 边上的一点，满足 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理可得 、 ，由 可得
，再结合 即可得 的值；
（2）设 ，利用余弦定理可表示出 、 ，再利用（1）中所得即可得解.
【小问 1 详解】
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
故 ，
由 ，则 ，
则 ，故 ；
【小问 2 详解】
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
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在 中，由余弦定理可得
，
由（1）知 ，则 ，
故 ，
解得 .
16. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， 平 面 平 面 ，
， ，四棱锥 的体积为 2．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，连接 ，过点 作 于点 ，则可利用面面垂直性质定理得
到 平面 ，再利用线面垂直性质定理可得 、 ，则可由线面垂直判定定理得
到 平面 ，再利用线面垂直性质定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系后，可设出点 坐标，结合（1）中所得与四棱锥 的体积可计算
出点 坐标，再求出平面 与平面 的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解.
【小问 1 详解】
设 ，连接 ，过点 作 于点
由平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，
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由 底面 ， 平面 ，故 ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ；
【小问 2 详解】
由题意，以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设 ，则 ，又 ，
则由 可得 ，即 ，
由四棱锥 的体积为 ，即 ，
则 ，则 ，
，
则 ，
故 ，
故
，
整理得 ，解得 （负值舍去），
故 ，即 ，则 ，
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、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 ， ，
取 ，则 、 ， ， ，
即可取 、 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17. 函数 ， ， 为自然对数的底数．
（1）当 时，过点 可以作曲线 三条切线，求实数 的取值范围；
（2）若存在 ，使得 对任意 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先设切点坐标，利用导数求出切线斜率，结合点斜式写出切线方程，将点 代入切线方程，
得到关于切点横坐标的方程，再构造函数，利用导数研究该函数的单调性与极值，根据极值的符号确定参
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数 的范围；
（2）依题意等价于 ，即 ，存在 使得该式成立，所以先利用导数求
出 的最大值，构造关于 的函数，再求该函数的最大值，进而确定 的范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
设切点为 ，切线方程为： ，
切线过 ，代入得： ，
依题意有三条切线，即方程 有三个不同实根，
设 ，求导得 恒成立：
时， 单调递增；
时， 单调递减；
时， 单调递增；
极值为 ，且 时 时 ，
因此 与 有三个交点时： ；
【小问 2 详解】
，求导得 ，
令 得 （ 为极值点横坐标），
由 得 ，
的最大值为 ，代入 得： ，
依题意若存在 使得 对任意 恒成立，即： ，
整理得： 对某个 成立，即 ，
设 ，求导得： ，
可得： 时 递减；
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时 递增。因此 最小值为 ，故：
即 的取值范围是 .
18. 已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1，点 在双曲线
上；
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设点 是双曲线 上的动点， 是圆 上的动点，且直线 与圆 相切，求
的最小值；
（3）如图， 是双曲线 上两点，直线 与 轴分别交于点 ，点 在直线 上；若
关于原点对称，且 ，是否存在点 ，使得 为定值；若存在，求出该定点 的坐标；
若不存在，请说明理由；
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为 1 以及点 在双曲线上，列出 的方程，求解出 ，即可写出
双曲线 的标准方程.
（2）根据切线的性质可得 ，将问题转化成求 的最小值问题，结合
两点间距离公式将 表示成 的函数表达式，求解出最小值即可.
（3）设出 坐标以及直线 的方程，联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，再写出直线 方
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程，可求得 坐标，利用 关于原点对称列出方程，找出 之间的关系，从而可得直线 所过
定点，再借助直角三角形判断 是否为定值即可.
【小问 1 详解】
因为焦点到一条渐近线的距离为 1，即 .
又点 在双曲线上，所以 ，解得 .
所以双曲线的方程为 .
【小问 2 详解】
圆 的圆心 ，半径为 .
因为 是圆 上的动点，直线 与圆 相切，所以 ， .
所以 .
设 ，因为 是双曲线 上的动点，所以 .
所以 .
当 时， 取得最小值，此时 .
所以 .
【小问 3 详解】
由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 .
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联立 ，整理得： .
且 .
设 ，则 .
直线 的方程为 .
令 ，则 ，即 .
同理可得， .
因为 关于原点对称，所以 ，
即 .
整理得 .
即 .
整理得 ，即 .
所以 或 .
若 ，则 ，则直线方程为 ，即 ，
此时直线 过点 ，不符合题意.
若 ，则直线方程为 ，恒过定点 .
所以 为定值，又 ，在 中， 为斜边，
所以当 为 中点 时， .
因此存在点 ，使得 为定值.
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19. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为 1 到 的 张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越
大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券 次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的
奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为 ．
（1）当 时，求最终拿到标号为 3 的奖券的概率和拿到标号为 2 的奖券的概率．
（2）若 ．
①求最终拿到标号不大于 的奖券的概率；
②求随机变量 的期望 （用 表示）．
（3）当 时，证明： ．
【答案】（1） ；
（2）① ；②
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率： ，计算两次有放回抽取
的结果概率；
（2）①标号不大于 即每次抽取都不超过 ，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化
简得到结果；
（3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式.
【小问 1 详解】
表示最大标号为 ，等价于所有抽取结果都不超过 ，且至少有一次等于 ，
则 两次都不超过 2 ；
两次都不超过 2 两次都不超过 1 .
【小问 2 详解】
①最终标号不大于 等价于 次抽取的所有结果都不大于 ，每次抽到不大于 的概率为 ，
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因此 .
②由于 ，
随机变量 的期望得
.
【小问 3 详解】
，
则随机变量 的期望为
.
设 ， ，
当 时， ，等号成立；
当 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 .
设 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ．
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综上所述， .
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