河南省郑州市2025届高三下学期二模试题 数学 含解析

这是一份河南省郑州市2025届高三下学期二模试题 数学 含解析，共21页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数和绝对值不等式解出集合，再求交集即可.
【详解】，，
所以.
故选：B
2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ）
A. 21B. 21.5C. 22D. 22.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.
【详解】，则样本数据的60%分位数为.
故选：B.
3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥的侧面展开图确定母线长和底面圆半径，再求出圆锥的高，然后代入体积公式即可.
【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，
则，，所以，
所以，
所以该圆锥的体积为.
故选：C
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件得，进而，再用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，
，
所以，即，
故．
故选：D.
5. 函数与函数的图象交点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.
【详解】
通过五点法作出周期函数的图象，
再通过两点法作出单调函数的图象，
因为，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
6. 某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分教师人数为或两种情况讨论，根据古典概型结合排列数、组合数运算求解.
【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种；
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种，
故不同的安排方法共有种.
将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校，
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种；
若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种，
故不同的安排方法共有种.
所以所求事件的概率为.
故选：A.
7. 已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意写出交点坐标和准线方程，由圆的方程求出圆心和半径，作图.结合切线的性质和求出直线的倾斜角，从而得到直线方程，联立方程组求出点坐标，从而知道的面积.
【详解】由题意可知，，
∵，∴，，
如图：设点为与圆的切点，
则，，
∴，则，，
∴直线，
联立方程组，即，解得（舍去）或，
∴，∴，
∴.
故选：C.
8. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由及得到和，讨论的范围：当时，在上恒成立，由函数和在存在交点，得到存在区间使得，不合题意；当时，由过点作曲线切线得到.再分类讨论：当时，由导数求得最小值，然后得到，由切线可知存在区间使得，不合题意；当时，，恒成立，满足题意；当时，，则需要成立，即得到的最小值大于0，然后得到的范围.综上所述得到结果.
详解】∵，∴，
当时，则恒成立，
在上单调递减，
由一次函数与函数一定存在交点可知函数存在零点，
即存在，使得时，，时，，
不符合题意，舍去.
当时，
设直线为函数切线，设切点为
则，即，则，，
①当时，函数存在两个零点，
令，则，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故，∵，
∴，即恒成立.
此时无法满足题意，舍去；
②当时，由①可知，，满足，
③当时，恒成立，要使得恒成立，则需要恒成立，由①得，∴，即.
综上所述.
故选：D.
【点睛】思路点睛，要想得到，则需要函数在相同区间内同号. 然后借助直线与曲线的切线以及导函数等知识来找到函数在某些区间上的正负情况.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可.
【详解】设，则复数在复平面内对应点，设，
则，同理，
∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，
∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，
A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；
D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误.
故选：ABC.
10. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则（ ）
A. 过点有且只有一条直线与直线和都相交
B. 过点有且只有一个平面与直线和所成角相等
C. 过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为
D. 点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面的基本事实判断A；举例说明判断B；作出截面并求出其周长判断C；求出轨迹有长度判断D.
【详解】对于A，点直线，点直线，点与直线确定平面，
点与直线确定平面，平面与相交，该交线过点且与直线和都相交，A正确；
对于B，由正方体的结构特征知，与平面都成角，则过与平面
平行的平面与直线和所成角相等；直线和都平行于过与直线垂直的平面，
该平面与直线和所成角相等，B错误；
对于C，取中点，连接，由是棱的中点，得，
四边形是过三点的正方体截面，周长为，C错误；
对于D，连接，由平面，平面，则，
而，平面，于是平面，
又，因此平面，又平面，则点的轨迹为平面
与平面的交线，所以点的轨迹长度为，D正确.

故选：AD
11. 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 关于点中心对称
C. 关于轴对称
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由中令可得A正确；由可得B正确；由可得C错误；换元法求出可得D正确.
【详解】对于A，由可得；
对于B，由可得，即，
所以关于点中心对称，故B正确；
对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误；
对于D，由中令可得，
设，①
又，②
由①②可得，
所以，即，
所以，所以
所以，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________．
【答案】或（答案不唯一，写出任意一个即可）
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】设，则根据条件有，即.
从而只要满足或即可.
故答案为：或（答案不唯一，写出任意一个即可）.
13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出离心率.
【详解】
由，得为的中点；又，所以，所以；
设，由双曲线的定义，得，，
所以，从而，所以；
由直线的斜率为，得又，
在中，，即；
在中，由余弦定理，得，
即，整理得，
解得，所以.
故答案为：
14. 已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意得到点的范围，根据几何关系得到与平面所成角最小即为最大时，找到最大距离位置后，计算得到答案.
【详解】如图，在正方形内，分别是的中垂线在正方形内部分，
由，则点在五边形及其内部，
同理，，，点在相应的五边形及其内部，
综上，点在正方形及其内部，
可设与平面所成角为，由图可得：，
因为，所以要让最小，只需最大，
由几何关系可知点在正方形的顶点时，，此时取得最小值2.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．
（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
（2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得列联表，根据计算，与临界值表比较可得结论；
（2）应用全概率公式计算求解即可.
【小问1详解】
列联表如下：
零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
【小问2详解】
设事件“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则
，，且，，
则，
所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为．
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，，边上的中线，相交于点．
（i）求；
（ii）求．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于的方程进而得解；
（2）（i）通过求向量的模长即可得结果；（ii）通过余弦定理求出，（法一）根据重心的性质求出和，最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求得到结果.
【小问1详解】
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，
∴．
∵ ∴，即．
【小问2详解】
（i）∵，
∴．
（ii）在中，由余弦定理得，
即
（法一）由题知是的重心，
∴，∴，
在中，由余弦定理得．
（法二）又，
∴．
∴．
17. 已知函数，．
（1）若，求曲线的斜率为1的切线方程；
（2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导，构造函数，利用导数求得零点即得时的值，继而求得切点坐标，再用点斜式即可得切线方程.
（2）通过参变分离转化为没有整数解，相继构造函数，，利用导数分析的单调性，得存在唯一的使，即，继而再利用的单调性结合得结论：当时，，从而当时，没有整数解.
小问1详解】
当时，，
则，即，
令，则，
令，得，令，得，
所以，故有且仅有，，
此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程，
该切线方程为．
【小问2详解】
由得，即，
所以没有整数解，
设，，
设，，所以单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，没有整数解，即没有整数解．
18. 已知等差数列的前项和为，且，，．
（1）求的通项公式；
（2）设其中是正整数．
（i）求，，，；
（ii）求．
【答案】（1）
（2）（i），，，；（ii）
【解析】
【分析】（1）结合题意，由等差数列的基本量法列方程组可得；
（2）（i）由递推数列可得；
（ii）采用分组法，再利用等差数列的求和公式求解.
【小问1详解】
由题意得，解得，
∴的通项公式为.
【小问2详解】
（i）∵其中是正整数，
∴，，，.
（ii）
．
．
19. 若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的大小；
（3）在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于，两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接各个中点，由中位线得到四边形菱形，由菱形对角线垂直得到线线垂直，然后得到线面垂直；
（2）将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系，由线段长求得点的坐标，然后得到平面内向量的坐标，由空间向量垂直求得平面的法向量，再由空间向量的夹角求得二面角的大小；
（3）由（2）中的思想，设补充完的长方形长宽高分别为，由长方体的外接球得到四面体的外接球半径，然后得到球的表面积公式.由勾股定理得到与的关系，从而得到球的表面积与.在平面中，设坐标，联立方程组由韦达定理得到两个交点坐标与的关系式.然后求得的代数式，从而得到球的表面积的代数式.由余弦定理得到为锐角，从而由向量的数量级建立不等式，求出的范围，然后得到球表面积的最小值.
【小问1详解】
连接，，，，因为，，
所以，四边形为平行四边形，
又，，所以，所以四边形为菱形，
所以，
同理，四边形为菱形，，
又因四边形为菱形，，交于一点，
所以平面．
【小问2详解】
如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系，
由，，得，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则令，得，
，，
设平面的一个法向量为，
则令，得，
所以．
所以二面角的大小为．
【小问3详解】
由（2）知可将补成长方体，设长宽高分别设为，，，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即：，
，
，，，则，
在平面内设，，由，得，
显然，
，，
于是，
，
所以
在中，，则为锐角，
因此，即，
，解得，
又，
不妨令，则，
∵，∴当时，．
此时，所以的最小值为，此时直线方程为．
近视人数
未近视人数
合计
户外活动时间不足2小时
35
户外活动时间超过2小时
55
合计
60
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
近视人数
未近视人数
合计
户外活动时间不足2小时
35
10
45
户外活动时间超过2小时
25
30
55
合计
60
40
100