广东省深圳实验学校高中部2025-2026学年高一下学期期中数学试卷含答案（word版）

这是一份广东省深圳实验学校高中部2025-2026学年高一下学期期中数学试卷含答案（word版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 AB=2,3,AC=3,3 ,则 AB⋅BC= ( )
A. 15 B. -2 C. 2 D. 3
2. 已知复数 z 满足 1−2iz=1+i ，则 z= ( )
A. 55 B. 25 C. 255 D. 105
3. 如图是一个正方体的展开图, 若将它还原为正方体, 则 ( )
A. AB//CD
B. EF//AB
C. GH//AB
D. GH//EF
4. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2BC=2CC1=4 ， E ，于分别为 BC ， CC1 的中点,点 P 在矩形 BCC1B1 内运动(包括边界)，若 A1P// 平面 AEF ，则动点 P 的轨迹长度为( )
A. 2
B. 2
C. 22
D. 23
5. 如图,矩形 ABCD 中, M,N 分别为边 BC,CD 上的动点,且 AB=8,AD=6 ,若 MN=4 ,则 AM+AN 的最小值为 ( )
A. 8
B. 413
C. 16
D. 85
6. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时。如图, 沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体, 下方的容器中装有沙子, 沙子堆积成一个圆台,若该沙漏高为 6,沙子体积占该沙漏容积的 1954 ,则沙子堆积成的圆台的高为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 43
7. 如图,为了测量两个信号塔塔尖M，N之间的距离,选取了同一水平面内的两个测量基点 P 与 Q(M,N,P,Q 在同一铅垂平面内). 已知在点 P 处测得点 M 的仰角为 15∘ ，点 N 的仰角为 45∘ ,在点 Q 处测得点 M 的仰角为 30∘ ,点 N 的仰角为 15∘,PQ=400 米,则 MN= ( )米
A. 2002+2 B. 4003+1C. 4006 D. 4005
8. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， E ， F 分别为 BB1 ， A1C1 的中点， AA1=AB=2 ， BC=32,AC=4, 若过 A,E,F 三点作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为( )
A. 10
B. 15
C. 25
D. 30
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 任何一个复数 z=a+bi (其中 a,b∈R,i 为虚数单位) 都可以表示成 z=rcsθ+isinθ 的形式,通常称之为复数 z 的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: zn=rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈N∗ ,我们称这个结论为棣莫弗定理. 根据以上信息, 下列说法正确的是 ( )
A. z2=z2 B. z3 的实部为 cs3θ
C. z⋅z=r2 D. 当 r=1,θ=π4 时,若 n 为偶数,则复数 zn 为纯虚数
10. 如图,在等边 △ABC 中, AB=3 ,点 O 在边 BC 上,且 OC=2BO . 过点 O 的直线分别交射线 AB,AC 于不同的两点 M,N,AB=mAM,AC=nAN . 则以下选项正确的是( )
A. AO=23AB+13AC
B. cs=714
C. m+n=3
D. 1m+2n 的最小值是 83
11. 已知半径为 R 的球与圆台的上下底面和侧面都相切,若圆台上下底面半径分别为 r1 和 r2 ,母线长为 l ,球的表面积与体积分别为 S1 和 V1 ,圆台的表面积与体积分别为 S2 和 V2 ,则下列说法正确的是 ( )
A. r1+r2=l B. R=r1r2C. S1S2=V1V2 D. S1S2 的最大值为 23
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 a,b,c 均为单位向量，且 a+b=c ，则 a 和 b 的夹角大小为_____.
13. 某同学用 3 个全等的小三角形拼成如图所示的等边 △ABC ,已知 EF=3 , cs∠ACF=1314 ，则 △ABC 的边长为_____.
14. 如图, 棱长为 5 的立方体无论从哪一面看, 都有两个直通的边长为 1 的正方形孔, 则这个有孔立方体的表面积(含孔内各面)是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E,F 分别为 A1B1,A1D1 的中点.
(1)求五面体 A1EF−ABD 的体积；
(2)若点 P 在线段 A1C1 上， CP// 平面 BDFE ， 求线段 C1P 的长度.
16. (本小题 15 分) P 是 △ABC 所在平面内一点, O,G 分别为 △ABC 的外心和重心, 且 AP=34BC−23BA .
(1) 用 AB,AC 来表示 AP 和 GP ;
(2)若 △ABC 的面积为3，求 △PBC 的面积；
(3)若 BC=26 ，求 GP⋅OC 的值.
17. (本小题 15 分) 已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边, 且 3asinC+ccsA−c=0 .
(1)求角 A 的值；
(2)若 △ABC 的面积为 43 ， BD=2DC ，求线段 AD 长度的最小值.
18. (本小题 17 分) 几何体 E−ABCD 是四棱锥， ΔABD 为正三角形， BC=CD=2 ， ∠BCD=120∘,M 为线段 AE 的中点.
(1)求证: DM// 平面 BEC ；
(2)线段 EB 上是否存在一点 N ，使得 D,M,N,C 四点共面? 若存在,求出 BNBE 的值;
若不存在, 请说明理由.
19. (本小题 17 分) 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上一点, OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边 △ABC .
(1)当 OB⊥OA 时，
① 求 ΔOAC 的面积；
② 若 OC=mOA+nOB ，求 m ， n 的值；
(2)若 OC=mOA+nOB ，求 m+n 的最小值.