07 【人教版】2026年八年级下期中数学试卷7（含答案）

这是一份07 【人教版】2026年八年级下期中数学试卷7（含答案），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. =x-1D.
3.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 1、2、2B. 32，42，52C. ，，D.
4.如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（ ）
A B. C. D.
5.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. AB=CDB. AC=BD
C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC=90°时，它是矩形
6.已知，则与的关系是( )
A. B. C. D.
7.比较大小：4与5的结果是（ ）
A. 4=5B. 4＞5C. 4＜5D. 无法确定
8.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
9.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于( )
A. 10B. 12C. 24D. 48
10.如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）．
A. 17B. 16C. 15D. 14
二、填空题
11.一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______．
12.若二次根式有意义，则x取值范围是________．
13.使是整数的最小正整数________．
14.如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为____________cm².
15.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．
16.如图，已知O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________．
17.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____
18.如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是__________．
三、解答题
19.计算
（1）
（2）
20.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是直线BD上的两点，且，求证：
（1）AE=CF
（2）AE∥CF．
21.已知求下列各式的值：
(1)；(2).
22.如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积．
23.如图：在正方形中，对角线、相交于点，的平分线交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
24.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴
∴，即
∴
∴
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值.
25.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG．
（1）求证：BH∥DG；
（2）求证：△BEH≌△DFG；
（3）若AB=6cm，BC=8cm．
①求BF的长；
②求线段CG长．
解析卷
一、选择题（共10小题）
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数是小数，故B错误；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含能开得尽方的因数，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. =x-1D.
【答案】A
【解析】
A.，成立；B.，=a，则B不成立；C.|，则C不成立；D.≠，则D不成立，故选A.
3.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 1、2、2B. 32，42，52C. ，，D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【详解】解：A、∵12+22=5≠22，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2 ，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；
C、∵（）2+（）2=3=（）2，
∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；
D、∵（）2+（）2=7≠（）2，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
4.如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠DAB=180°-100°=80°，由角平分线的定义得出∠DAE=∠DAB=40°即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∴∠DAB=180°-100°=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠DAB=40°；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DAB的度数是解决问题的关键．
5.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. AB=CDB. AC=BD
C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC=90°时，它是矩形
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据平行四边形的性质可知A一定正确，
由菱形判断定理可知C正确，
由矩形判断可知D正确，
而B选项只是可能，
故选B
6.已知，则与的关系是( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将a分母有理化，然后求出a+b即可得出结论．
【详解】解：
∴
∴
故选C．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．
7.比较大小：4与5的结果是（ ）
A. 4=5B. 4＞5C. 4＜5D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出4与5的平方各是多少，然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出4与5的大小关系即可．
【详解】解：，，
∵48＜50，
∴4＜5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个正实数，平方大的这个数也大．
8.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.
【详解】根据题意可得图形：
AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC==15（cm），
则这只铅笔的长度大于15cm．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
9.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于( )
A. 10B. 12C. 24D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余，求出∠AEB和∠EDC，即可证出△AED为直角三角形，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AE和DE，最后利用勾股定理即可求出AD的值．
【详解】解：∵∠BAE＝∠DEC＝60°
∴∠AEB=90°－∠BAE=30°，∠EDC=90°－∠DEC=30°
∴∠AED=180°－∠AEB－∠DEC=90°
∴△AED为直角三角形
在Rt△ABE中，AE=2AB=6
在Rt△DEC中，DE=2CE=8
在Rt△AED中，AD=
故选A．
【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解决此题的关键．
10.如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）．
A. 17B. 16C. 15D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据尺规作图先证明四边形ABEF是菱形，再根据菱形的性质，利用勾股定理即可求解．
【详解】由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE，
∴AF＝AB，EF＝EB，
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BA＝BE，
∴BA＝BE＝AF＝FE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF
∵BF=12，AB=10，
∴BO=BF=6
∴AO=
∴AE=2AO=16
故选B．
【点睛】本题考查的是菱形的判定、复杂尺规作图、勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的作法是解题的关键．
二、填空题
11.一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______．
【答案】13或．
【解析】
【分析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】设第三边为x，
（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+122=x2，
∴x=13（负值舍去）；
（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2=122，
∴x=（负值舍去）；
∴第三边的长为13或．
故答案为：13或．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
12.若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性得：
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式的定义是解题关键．
13.使是整数的最小正整数________．
【答案】3
【解析】
∵是整数，
∴12n是一个完全平方数，
又∵12n=4×3n=22×3n，
∴n的最小正整数为3，
此时，==6.
故答案为3.
点睛：此题是将被开方数化成a2的形式，再运用求解.
14.如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为____________cm².
【答案】
【解析】
【分析】
先求出两个小正方形的边长，再根据长方形的面积公式即可得．
【详解】由题意得，两个小正方形的边长分别为，
由长方形的面积公式得：留下部分的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，依据正方形的面积求出长方形的长与宽是解题关键．
15.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．
【答案】（）
【解析】
【分析】
由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】在Rt△ABC中，（米），
∴AC+BC=米，
∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；
故答案为：（）．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键．
16.如图，已知O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________．
【答案】45cm
【解析】
【详解】试题分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，所以△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45cm．
考点：平行四边形的性质．
17.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____
【答案】22.5 °
【解析】
分析】
由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数．
【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E==22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用．
18.如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】如图所示，
根据勾股定理几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即A+B+C+D=S3=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
三、解答题
19.计算
（1）
（2）
【答案】（1）3-；（2）-9-4
【解析】
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）
=
=
=3-；
（2）
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是直线BD上的两点，且，求证：
（1）AE=CF
（2）AE∥CF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等式的基本性质可得，再由平行四边形性质得到AB=CD，AB∥CD，再得到∠ABE=∠CDF，根据“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”得到△ABE≌△CDF，据此可得到答案；（2）由△ABE≌△CDF可得∠E=∠F，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
（2）由（1）得△ABE≌△CDF
∴∠E=∠F
∴AE∥CF
故答案为：（1）见解析；（2）见解析．
【点睛】本题重点考察全等三角形的判定，平行四边形的性质，以及平行线的判定方法，灵活运用即可．
21.已知求下列各式的值：
(1)；(2).
【答案】（1）12 （2）4
【解析】
【分析】
观察可知：（1）式是和的完全平方公式，
（2）是平方差公式．先转化，再代入计算即可．
【详解】（1）当x=+1，y=-1时，
原式=（x+y）2=（+1+-1）2=12；
（2）当x=+1，y=-1时，
原式=（x+y）（x-y）=（+1+-1）（+1-+1）=4．
22.如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积．
【答案】36
【解析】
【分析】
根据勾股定理得：，根据勾股定理的逆定理，得∠BAD=90°，根据三角形的面积公式，即可求得答案．
【详解】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵AD＝12，BD＝13，
∴ ，
∴∆ABD是直角三角形，即：∠BAD=90°，
∴四边形ABCD的面积=．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
23.如图：在正方形中，对角线、相交于点，平分线交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得，根据角平分线的性质得，利用三角形外角的性质即可证得，从而证得结论；
（2）取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出，根据平行线的性质得出，从而证得结论．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）取的中点，联结，
∵分别是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
24.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴
∴，即
∴
∴.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值.
【答案】（1）；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
【详解】解：（1）

（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键.
25.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG．
（1）求证：BH∥DG；
（2）求证：△BEH≌△DFG；
（3）若AB=6cm，BC=8cm．
①求BF的长；
②求线段CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①4cm，②3cm
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质及平行线的性质证得∠HBD=∠FDG，则结论得证；
（2）证得BE=DF，∠BEH=∠DFG．由ASA可证明△BEH≌△DFG．
（3）①求出BD=10cm，则可得出答案；
②设CG=x cm，则FG=x cm，BG=（8-x）cm，由勾股定理得出（8-x）2=42+x2．解方程即可得解．
【详解】解：（1）由折叠可知：．
在矩形ABCD中，
AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠HBD=∠FDG．
∴BH∥DG．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C，AB=CD．
AB=BE，CD=DF，∠BEH=∠A，∠DFG=∠C．
∴BE=DF，∠BEH=∠DFG．
在△BEH和△DFG中，
∴△BEH≌△DFG（ASA）．
（3）①∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm，
∴BD＝cm，
∵由（2）知，FD＝CD，CG＝FG，
∴BF＝10−6＝4cm；
②设CG=x cm，则FG=x cm，BG=（8－x）cm，
在Rt△BGF中，BG2＝BF2＋FG2，
即，
解得x=3
即CG=3 cm．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．