06 【人教版】八年级下期中数学试卷（含答案）

这是一份06 【人教版】八年级下期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了若解分式方程 产生增根，则m=等内容，欢迎下载使用。

八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式由左到右变形中，属于分解因式的是（ ）
A. a（m＋n）＝am＋an B. a2﹣b2﹣c2＝（a＋b）（a﹣b）﹣c2
C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16＋8x＝（x＋4）（x﹣4）＋8x
3.要使分式有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2 B. x≠1 C. x＝2 D. x＝﹣1
4.不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).
A. B. C. D.
5.如图，线段经过平移得到线段，其中点，对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为　　

A. B. C. D.
6.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于( )

A. 2﹣ B. 1 C. D. ﹣l
7.若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A m＜ B. m＜且m≠
C. m＞﹣ D. m＞﹣且m≠﹣
8.若解分式方程 产生增根，则m=（　　）
A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5
9.如图所示，在四边形中， ，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）

A. B. C. D.
10.如图所示,在▱ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE,△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是(　)

A. △CDF≌△EBC
B. ∠CDF=∠EAF
C. CG⊥AE
D. △ECF是等边三角形
二．填空题（共6小题）
11.分解因式：x2y﹣y3＝_____．
12.若分式的值为0，则x的值为_______.
13.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为_____度．
14.若a2﹣5ab﹣b2＝0，则的值为_____．
15.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．

16.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC,交AD于M，如果△CDM的周长为a，那么平行四边形的周长是________．

三．解答题（共9小题）
17.解不等式组．
18.分解因式：
（1）﹣2a3＋12a2﹣18a；
（2）（x2＋4）2﹣16x2．
19.先化简（1﹣）•，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
20.如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．

21.某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价1200元，则：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠．
22. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
23.已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
24.问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．

25.如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

（1）点A坐标为　 　；
（2）当t＝2时，S△OPQ＝　 　；当t＝3时，S△OPQ＝　 　；
（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、O为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．


解析卷
一．选择题（共10小题）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，能根据概念判断一个图形是否为轴对称图形或中心对称图形是解答的关键．
2.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A. a（m＋n）＝am＋an B. a2﹣b2﹣c2＝（a＋b）（a﹣b）﹣c2
C. 10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D. x2﹣16＋8x＝（x＋4）（x﹣4）＋8x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】A、是整式乘法，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义及其特征是解答的关键．
3.要使分式有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2 B. x≠1 C. x＝2 D. x＝﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，
【详解】由题意得，x-2≠0，
解得，x≠2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
4.不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式得到x＜-2，根据数轴表示数的方法得到解集在-2的左边．
【详解】5+2x＜1，
移项得2x＜-4，
系数化为1得x＜-2．
故选C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．
5.如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上．若线段上有一个点 ，，则点在上的对应点的坐标为　　

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．
【详解】由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，
则P（a−2，b＋3）
故选A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化−−平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分面积等于( )

A. 2﹣ B. 1 C. D. ﹣l
【答案】D
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，
∴DC′=AC′-AD=-1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=×1×1-×（ -1）2=-1，
故选D.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
7.若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. m＜ B. m＜且m≠
C. m＞﹣ D. m＞﹣且m≠﹣
【答案】B
【解析】
【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，
已知关于x的方程=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜，
当x=3时，x==3，解得：m=，
所以m的取值范围是：m＜且m≠．
故答案选B．
8.若解分式方程 产生增根，则m=（　　）
A. 1 B. 0 C. ﹣4 D. ﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】解：方程两边都乘，得
，
原方程增根为，
把代入整式方程，得，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.如图所示，在四边形中， ，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰梯形定义可判断A；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C； 根据平行线的性质可以判断D.
【详解】解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项正确．
C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故D选项错误；
故选B
【点睛】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
10.如图所示,在▱ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE,△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是(　)

A. △CDF≌△EBC
B. ∠CDF=∠EAF
C CG⊥AE
D. △ECF是等边三角形
【答案】C
【解析】
【详解】A.在平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC,
∠CDF=∠EBC,
CD=EB,
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；
B.在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故B正确；
C. .当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，故C错误；
D. 同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，故D正确；
故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
二．填空题（共6小题）
11.分解因式：x2y﹣y3＝_____．
【答案】y（x+y）（x﹣y）．
【解析】
试题分析：先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
解：x2y﹣y3
=y（x2﹣y2）
=y（x+y）（x﹣y）．
故答案为y（x+y）（x﹣y）．
12.若分式的值为0，则x的值为_______.
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：x=-3．
故答案为：-3.
【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为_____度．
【答案】30或150
【解析】
【分析】
分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
【详解】解：①如图，

∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，
∴∠A＝30°，
②如图，

∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，注意分情况讨论．
14.若a2﹣5ab﹣b2＝0，则的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
由已知条件易得，，两者结合即可求得所求式子的值了.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：5.
【点睛】“能由已知条件得到和”是解答本题的关键.
15.如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____．

【答案】x＞3.
【解析】
【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），
∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC,交AD于M，如果△CDM的周长为a，那么平行四边形的周长是________．

【答案】2a
【解析】
【分析】
根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC．
∴△CDM的周长=AD+CD=a，
∴平行四边形ABCD的周长是2a．
故答案为2a．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM=MC是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17.解不等式组．
【答案】2≤x＜3
【解析】
【分析】
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：x＜3，
由②得：x≥2，
不等式组的解集为：2≤x＜3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，准确计算是解题的关键．
18.分解因式：
（1）﹣2a3＋12a2﹣18a；
（2）（x2＋4）2﹣16x2．
【答案】（1）﹣2a(a﹣3)2；（2）(x＋2）2(x﹣2)2
【解析】
【分析】
(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2)原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．
【详解】解：(1)原式＝﹣2a(a2﹣6a＋9)
＝﹣2a(a﹣3)2；
(2)原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4﹣4x)
＝(x＋2)2(x﹣2)2．
【点睛】本题考查因式分解综合解法,关键在于熟练掌握基础的计算方法.
19.先化简（1﹣）•，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】，﹣2
【解析】
【分析】
此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．
【详解】解：（1﹣）•，
＝•，
＝，
∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，
∴x≠1，x≠3，
∴把x＝2代入得：原式＝＝﹣2．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，准确选择值代入是解题的关键．
20.如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2．

【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
图形见详解.
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作．

【点睛】本题考查了图形的平移和旋转,属于简单题,熟悉旋转和平移的概念是解题关键.
21.某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．“乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是1200元，则：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）就学生人数讨论那家旅行社更优惠．
【答案】（1）y甲＝600x＋1200，y乙＝720x＋720；（2）当x＜4时，乙旅行社优惠；当x＞4时，甲旅行社优惠
【解析】
【分析】
（1）根据收费总额＝学生人数×单价＋校长的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；
（2）分两种情况讨论，当y甲＞y乙、y甲＜y乙时，求出哪种情况更优惠．
【详解】解：（1）设学生人数为x人，由题意，得
y甲＝0.5×1200x＋1200＝600x＋1200，
y乙＝0.6×1200x＋0.6×1200＝720x＋720；
（2）y甲＞y乙时，
600x＋1200＞720x＋720，
解得：x＜4
故当x＜4时，乙旅行社优惠．
当y甲＜y乙时，
600x＋1200＜720x＋720，
解得：x＞4，
故当x＞4时，甲旅行社优惠．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确理解题意是解题的关键．
22. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）120件；（2）150元．
【解析】
试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.
试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件.
由题意可得：，解得，经检验是原方程的根.
（2）设每件衬衫的标价至少是元.
由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元）
由题意可得：
解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元.
考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.

23.已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
【答案】（1）①BD=，BP=；②证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②证明DP∥BC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x的值，从而得出DN的长．由△BDN∽△BAM，可得，由此求出AM．由△ADM∽△APE，可得，由此求出AE的长，可得EC的长，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）①在Rt△ABC中，
∵BC=2，AC=4，
∴AB==．
∵AD=CD=2，
∴BD==．
由翻折可知：BP=BA=．
②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，
∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．

设BD=AD=x，则CD=4﹣x．在Rt△BDC中，
∵BD2=CD2+BC2，
∴x2=（4﹣x）2+22，
∴x=．
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN=．
在Rt△BDN中，
DN= =．
由△BDN∽△BAM，可得，
∴，
∴AM=2，
∴AP=2AM=4．
由△ADM∽△APE，可得，
∴，
∴AE=，
∴EC=AC﹣AE=4﹣=．易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC=．
24.问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝10，CD＝5，求AD的长．

【答案】问题：BC＝DC＋EC；探索：BD2＋CD2＝2AD2，证明见解析；应用：
【解析】
【分析】
（1）由题意证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据题意连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
（3）根据题意作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝10，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）BC＝DC＋EC，
理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，
故答案为：BC＝DC＋EC；
（2）BD2＋CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2＋CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2＋CD2＝2AD2；
（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，

∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝10，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝＝＝5，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝DE＝．
【点睛】本题是关于四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动．点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发．运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

（1）点A坐标为　 　；
（2）当t＝2时，S△OPQ＝　 　；当t＝3时，S△OPQ＝　 　；
（3）当t＝2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、O为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
（4）设△OPQ的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式．
【答案】（1）(3，3)；（2）6；　；（3）存在，M的坐标(0，3＋)或(0，3﹣19)或(0，)或(0，2)或(0，﹣2)；（4）S＝
【解析】
【分析】
（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过P、Q的交点作PC⊥x轴于点C，由△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，可求出AD、OD的长度，从而得出点A的坐标；
（2）当t＝2时，点P运动到了A点处，OQ＝4，结合三角形的面积公式即可得出此时S△OPQ的值；当t＝3时，点Q运动到了B点处，AP＝3×3﹣OA＝3，结合三角形的面积公式即可得出此时S△OPQ的值；
（3）假设存在，找出此时P、Q点的坐标，设M点的坐标为(0，m)，结合两点间的距离公式列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（4）结合②的运动情况，分两段来考虑S，结合三角形的面积公式即可得出S关于t的函数关系式．
【详解】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图1所示．

∵△AOB为等边三角形，△OAB边长为6个单位，
∴AD＝OA•sin60°＝3，AD＝OB＝3，
∴点A的坐标为(3，3)；
故答案为：(3，3)；
（2）依照题意画出图形，如图2所示．

当t＝2时，点P运动到了A点处，OQ＝4，
S△OPQ＝OA•OQ•sin∠AOQ＝×6×4×＝6；
当t＝3时，点Q运动到了B点处，AP＝3×3﹣OA＝3，
∵△OAB为等边三角形，且AB＝6，
∴此时P点为线段AB的中点，
∴OP⊥AB，且∠POB＝∠AOB＝30°，
∴OP＝OB•sin∠ABO＝3，
S△OPQ＝OP•OB•sin∠POB＝×3×6×＝．
故答案为：6；；
（3）假设存在，当t＝2时，点P坐标为(3，3)，点Q的坐标为(4，0)，设点M的坐标为(0，m)．
根据两点间的距离公式可知：PQ＝＝2，PM＝，QM＝，
以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：
当PQ＝PM时，即9＋(m﹣3)2＝28，
解得：m＝3＋，或m＝3﹣；此时点M的坐标为(0，3＋)或(0，3﹣19)；
当PM＝QM时，即16＋m2＝9＋(m﹣3)2，
解得：m＝，此时点M的坐标为(0，)；
当PQ＝QM时，即28＝16＋m2，
解得：m＝±2，此时点M的坐标为(0，2)或(0，﹣2)，
故当t＝2时，在y轴上能找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(0，3＋)或(0，3﹣19)或(0，)或(0，2)或(0，﹣2)；
（4）①当0≤t≤2时，P在线段OA上，Q在线段OB上；
S＝OQ•OPsin60°＝×3t×2t×＝t2；
②当2＜t≤3时，P在线段AB上，Q在线段OB上；
设OQ边上高为h，＝，解得h＝6﹣t，
S＝OQ•h＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2＋6t；
③当3＜t≤时，P、Q都在线段AB上，
PQ＝6﹣（3t﹣6）﹣（2t﹣6）＝18﹣5t，
S＝×3×（18﹣5t）＝﹣t＋27；
故：S＝．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，解直角三角形、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是：①在直角三角形中借助特殊角的三角函数值求线段；②套用面积公式求面积；③分段寻找S关于t的函数关系式；④由两点间的距离公式结合勾股定理列出关于m的一元二次方程．本题属于难题.