04 【人教版】2026年八年级下期中数学试卷4（含答案）

这是一份04 【人教版】2026年八年级下期中数学试卷4（含答案），共4页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内
1.已知＝，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.化简二次根式的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则BC的长为（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
4.下列二次根式运算:①；②；③；④ ；其中运算正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
6.下面二次根式中,是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7.为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为与，则由的股定理可求得其斜边长为.根据“三角形三边关系”，可得.小亮的这一做法体现的数学思想是( )
A. 分类讨论思想B. 方程思想C. 类比思想D. 数形结合思想
8.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A 对角线垂直且互相平分B. 每一条对角线平分一组对角C. 对角线相等D. 对边相等
9.如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A. 13B. 19C. 25D. 169
二、填空题
11.“矩形的对角线相等”的逆命题为_______，该逆命题是______命题（真、假）
12.已知线段a=3，b=4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c长度是_____．
13.在菱形ABCD中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD的面积为____________．
14.如图，在平行四边形中，，，于，则_____．

15.将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边为与CD交于点M，若∠=50°，则∠BEF的度数为_____°．
三、解答题
16.计算（1）
（2）
17.计算：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，，求代数式的值.
18.如图，已知∥，点，在直线上， ， ，求证：四边形是平行四边形．
19.如图(1)是用硬纸板做成两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.
(1)在图(3)处画出拼成这个图形的示意图；
(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.
20.如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，由格点构成的四边形称为格点四边形，请按要求作图(标出所画图形的顶点字母)．
(1)在图1中画出一个格点正方形；
(2)在图2中画出一个一般的格点平行四边形(非菱形、矩形)．
21.如图，一架6.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为2.5m.如果将梯子的低端B外移1.4m，顶端A沿着墙壁也下滑1.4m吗?
22.如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=2,则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是__________.
23. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
解析卷
一、选择题，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内
1.已知＝，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由二次根式的性质可知，x-2≥0，所以x≥2.
故选D.
2.化简二次根式值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简．
【详解】原式|﹣5|．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解答问题的关键．
3.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则BC的长为（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质得出AO=CO，DO=BO，再利用勾股定理得出AD的长进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，AO=CO，
∵∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，
∴DO=3cm，AO=5cm，则AD=BC==4(cm)
故选；A.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用勾股定理进行求解.
4.下列二次根式的运算:①；②；③；④ ；其中运算正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次根式的性质与化简、运算得出①②③正确，④不正确，即可得出结论．
【详解】解：①×=2，正确，
②-=，正确，
③=，正确，
④=2 ④不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键．
5.已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据非负数性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．
【详解】解：∵
∴，，，
∴，，
又∵，
故该三角形为直角三角形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理．
6.下面二次根式中,是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A. =，不是最简二次根式，不符合题意；
B. =，不最简二次根式，不符合题意；
C. ，是最简二次根式，符合题意；
D. =，不是最简二次根式，不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7.为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为与，则由的股定理可求得其斜边长为.根据“三角形三边关系”，可得.小亮的这一做法体现的数学思想是( )
A. 分类讨论思想B. 方程思想C. 类比思想D. 数形结合思想
【答案】D
【解析】
【分析】
数与数之间的关系转化为之间三角形这个具体图形来解决，因此是数形结合思想.
【详解】将与转化为直角三角形的两条直角边，由此求得第三边的长恰好为，即将数转化为图形，再依据三角形三边关系进行判断，是将抽象的数转化为具体图形，因此是数形结合思想，故应选择D
【点睛】此题考察数学的解题思想，理解题意很重要，由数到图形就是数形结合思想的具体体现.
8.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线垂直且互相平分B. 每一条对角线平分一组对角C. 对角线相等D. 对边相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和菱形的性质依次判断即可．
【详解】由于正方形是特殊的菱形，故
A．它们都满足对角线垂直且平分，此选项不符合题意；
B．它们都满足每一条对角线平分一组对角，此选项不符合题意；
C．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；
D．它们都满足对边相等，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质的异同点是解答的关键．
9.如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据性质可以推出此四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．
【详解】解：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形为平行四边形，
，，，．
∴
所以、、三项均成立，D不一定成立．
故选：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，关键在于根据：若四边形的对角线互相平分，则此四边形为平行四边形这一判定定理判定四边形为平行四边形．
10.如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A. 13B. 19C. 25D. 169
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意得：=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则==13+12=25，故选C．
考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．
二、填空题
11.“矩形的对角线相等”的逆命题为_______，该逆命题是______命题（真、假）
【答案】 (1). 如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 (2). 假
【解析】
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就可以得到它的逆命题，然后再判断真假即可．
【详解】解：命题“矩形的对角线相等”的逆命题是“如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，该逆命题是假命题．
故答案为：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形；假．
【点睛】本题主要考查了逆命题及判断命题真假，熟练掌握写逆命题的方法是解题关键．
12.已知线段a=3，b=4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度是_____．
【答案】5和．
【解析】
【分析】
注意有两种情况：一是所求边为斜边，二是所求边为短边.
【详解】解：由题意可知，分如下两种情况，
①当c为斜边时，，
②当长4的边为斜边时，（根据勾股定理列出算式）．
故填5和.
【点睛】本题利用了勾股定理求解，注意要讨论c为斜边或是直角边的情况．
13.在菱形ABCD中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD的面积为____________．
【答案】900
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=30，BD=60，
∴菱形ABCD面积为：AC•BD=900．
故答案为900．
【点睛】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
14.如图，在平行四边形中，，，于，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】
由平行四边形ABCD中，易得∠BCD=∠A，又因为DB=DC，所以∠DBC=∠DCB；再根据CE⊥BD，可得∠BCE=25°．
【详解】解：∵平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：25°
【点睛】此题是平行线的性质与等腰三角形的性质的综合应用，解题时注意特殊图形的性质应用．
15.将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边为与CD交于点M，若∠=50°，则∠BEF的度数为_____°．
【答案】70
【解析】
【分析】
设∠BEF=α，则∠EFC=180°-α，∠DFE=∠BEF=α，∠C＇FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC＇，即可得到180°-α=40°+α进而得出∠BEF的度数．
【详解】∵∠C＇=∠C=90°，,
∴∠C＇FM=40°
设∠BEF=α，则∠EFC=180°-α，∠DFE=∠BEF=α，∠C＇FE=40°+α
由折叠可得，∠EFC=∠EFC＇，
∴180°-α=40°+α，
∴α=70°
∴∠BEF=70°
故答案为70．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，注意折叠时，重叠部分角度相等，加强空间想象力的练习．
三、解答题
16.计算（1）
（2）
【答案】（1）；（1）1
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质和零指数幂进行化简，然后合并即可.
（2）先计算完全平方式，然后利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=
=1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
17.计算：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，，求代数式的值.
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】
（1）把，代入代数式求值即可；
（2）把，，代入代数式求值即可.
【详解】解：（1）∵
∴原式=；
（2）∵，
∴原式=.
【点睛】本题主要考查了代数式求值，与二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
18.如图，已知∥，点，在直线上， ， ，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先利用平行线的性质，进而证明得到BE=DF ,又BE∥DF即可得证．
详解】证明：∵ BE∥DF，
在和中，，
，
又BE∥DF，，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，找寻平行四边形的判定条件是解答的关键．
19.如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为和斜边长为图(2)是以为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个直角梯形.
(1)在图(3)处画出拼成的这个图形的示意图；
(2)利用(1)画出的图形证明勾股定理.
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；
(2)利用梯形的面积和三角形的面积公式列出等式即可求出勾股定理.
【详解】(1)如图所示；
(2)由图我们根据梯形的面积公式可知，
梯形的面积=(a+b)(a+b)，
从图中我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即ab+ab+c2，
所以(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，
∴a2+b2=c2.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题的键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
20.如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，由格点构成的四边形称为格点四边形，请按要求作图(标出所画图形的顶点字母)．
(1)在图1中画出一个格点正方形；
(2)在图2中画出一个一般的格点平行四边形(非菱形、矩形)．
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的判定方法解决问题即可（答案不唯一）．
（2）根据平行四边形的判定方法即可解决问题（大不唯一）．
【详解】(1)如图1中，正方形ABCD即为所求．
(2)平行四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.如图，一架6.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为2.5m.如果将梯子的低端B外移1.4m，顶端A沿着墙壁也下滑1.4m吗?
【答案】错误，下滑0.8m
【解析】
【分析】
梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：根据题意可知OD=2.5+1.4=3.9m
∴在Rt△ABO中，根据勾股定理知，m
在Rt△CDO中，根据勾股定理知，m
∴下滑的距离=6-5.2=0.8m
故题意中的说法错误，即顶端A沿着墙壁下滑的距离为0.8m.
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
22.如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=2,则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是__________.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
（2）根据正方形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB．
∵OE=CD，
∴OE=AB，
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）正方形，面积为2；理由如下：
过点B作OE的垂线段BF交OE于点F
因为OE＝CD＝AD＝2，
所以矩形AOBE的面积为2x0E:BF＝2BF
当AB与OE垂直时，BF长达到最大值，
即AB长的一半，此时矩形的面积为2
当AB与0E垂直时平行四边形ABCD是正方形..
【点睛】此题考查菱形的判定和性质，解本题的关键是根据平行四边形的性质和菱形的判定解答.
23. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）∠EPC=90°；（3）∠ABC+∠EPC=180°．
【解析】
【详解】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠CPB=∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB=180°，
∴∠PEB+∠PCB=180°，
∴∠ABC+∠EPC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EPC=90°；
（3）∠ABC+∠EPC=180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠CPB=∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB=180°，
∴∠PEB+∠PCB=180°，
∴∠ABC+∠EPC=180°．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．