四川省泸州市龙马潭区2025_2026学年高一数学上学期1月期末试题含解析

这是一份四川省泸州市龙马潭区2025_2026学年高一数学上学期1月期末试题含解析，共3页。试卷主要包含了 若 ，则， 已知 ，则 的最大值为， 函数 的定义域为， 函数 的零点所在区间为等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，选择题用 2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用 0.5 毫米黑
色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.
3.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的概念进行运算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
2. 若一个扇形的半径为 4，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由扇形面积公式即可求解；
【详解】 ，
故选：C.
3. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
第 1页/共 16页
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出 的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由 ，解得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解.
【详解】 ，
故选:A．
5. 已知 ，则 的最大值为（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得 ，进而利用基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大值为 .
故选：B.
第 2页/共 16页
6. 已知函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ，则 的
图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的对称性及单调性，利用排除法求解.
【详解】因为 ，
所以函数图象关于直线 对称，排除 BD；
当 时， ，令 ，则 为增函数， 为减函数，
根据复合函数的单调性可知，当 时， 单调递减，故排除 C.
故选：A
7. 函数 的定义域为（ ）
A. ， B. ，
C ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】求解不等式 即可.
【详解】由题意 ，得 ，
第 3页/共 16页
所以 ， ，得 ， ，
故所求函数的定义城为 ， ，
故选：C.
8. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 分析函数 的单调性，并根据零点存在定理可确定函数 的零点所在区间.
【详解】函数 的定义域为 .
因为函数 是增函数，且 在 和 上分别单调递增，
所以 在 和 上分别单调递增.
当 时， 恒成立，所以无零点；
当 时， ， ，所以函数 的零点所在区间为
.
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用幂函数与指数函数的性质判断 BD 的真假，利用特例说明 AC 未必成立.
第 4页/共 16页
【详解】对 A：取 ， ，则满足 ，但 ，故 未必成立；
对 B：因为函数 在 上单调递增，所以当 时，必有 ；
对 C：取 ， ，则满足 ，但 ，故 未必成立；
对 D：因为函数 在 上单调递增，所以当 时，必有 .
故选：BD
10. 对于函数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A. 当 时， 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
B. 当 时， 的图像关于点 中心对称
C. 当 时， 在区间 上是单调函数
D. 若 恒成立，则 的最小值为 2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的平移规律，以及诱导公式判断 A，根据代入法，结合三角函数的性质判断 BC，由函数
的最值，求 的取值集合，即可判断 D.
【详解】A. 的图象向右平移 个单位得到 ，故
A 正确；
B. 时， ， ，故 B 正确；
C.当 时， ，此时函数先增后减，故 C 错误；
D.由条件 可知， 时，函数取得最大值，即 ,
第 5页/共 16页
此时 ，且 ，所以 的最小值为 2，故 D 正确.
故选：ABD
11. 函数 的定义域为 ，区间 ，若 在 上的值域是 ，则称 为
的“ -跟随区间”，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的一个“ 跟随区间”是
B. 函数 一定存在“ 跟随区间”
C. 函数 存在“3-跟随区间”
D. 若函数 存在“ 跟随区间”，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，计算 在 上的值域即可判断选项正误；对于 B，由 图象与 图
象交点情况可判断选项正误；对于 C，通过举特例可判断选项正误；对于 D，问题等价于 为方程
的两根，求 最大值，由韦达定理，结合配方可判断选项正误.
【详解】对于 A， 时， 在 上单调递减，则其在 上值域为：
，故 A 正确；
对于 B，若 存在“ 跟随区间”，设为 ，又 在 R 上单调递增，
则由“ 跟随区间”定义可得 ，即 图象与 有 2 个不同交点，
但显然随着 的改变， 图象与 可能相切，可能有 2 个不同交点，也可能没有交点，故 B 错误；
对于 C，取区间 ，因 ，则 上 上单调递增，
则其在 上值域为： ，即函数 存在“3-跟随区间” ，故 C 正确；
对于 D， ，则 在 上单调递增，
第 6页/共 16页
若函数 存在“ 跟随区间”，不妨 ，则 ，
化简可得 为方程 的两根，
其判别式 ，
由韦达定理： ，
则
，当 时取等号，故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. ______ ．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可．
【详解】原式
故答案为： ．
13. 对于任意实数 ，定义 ，设函数 ，则函数
第 7页/共 16页
的最大值是__________.
【答案】2
【解析】
【 分 析 】 作 出 函 数 图 象 并 化 简 函 数 ， 即 可 得 出 函 数
的最大值.
【详解】由题意，
做出 函数图象如下图所示：
在 中，令 ，解得 ，
则 ，当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，函数 最大，最大值是 ，
故答案为： .
14. 已知函数 ，函数 ，若 ， ，使
得 成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出 值域，根据题意转化为值域的包含关系，列出不等式求解.
【详解】因为 的对称轴方程为 ，
所以 时， ，
第 8页/共 16页
即函数 的值域为 .
因为 在 上是增函数，
所以当 时， ，即函数值域为 .
因为 ， ，使得 成立，
所以 ，即 ，解得 .
故答案 ：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为 ，集合 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式化简集合 ，再根据集合交集、并集的概念求解即可；
（2）先根据补集的概念求 ，解一元二次不等式求集合 ，再根据集合的包含关系求解即可.
【小问 1 详解】
解不等式 即 ，所以 解得 ，
则 ，
当 时， 或 ，
所以 或 .
【小问 2 详解】
由（1）知 或 ，
第 9页/共 16页
由 得 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即实数 的取值范围是 .
16. 已知不等式 的解集为 或 .
（1）求实数 、 的值；
（2）若 ， ， ，并且 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，关于 的方程 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可求得实数 、
的值；
（2）由已知可得出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式求出 的最
小值，可得出关于实数 的不等式，即可解得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
解：因为不等式 的解集为 或 ，则 ，
所以，关于 的方程 的两根分别为 、 ，
由韦达定理可得 ，可得 ，由 ，可得 ，
综上所述， ， .
【小问 2 详解】
解：因为 ， ， ，
所以， ，
第 10页/共 16页
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 ，
因为 恒成立，则 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
17. 西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有
1200 多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 室温下，龙井用 的水泡制，再
等到茶水温度降至 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 开始，经过
分钟后的温度为 且满足 .
（1）求常数 的值；
（2）经过测试可知 ，求在 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮
用口感？ 结果精确到 分钟 (参考数据： ，
)
【答案】（1）
（2）7 分钟
【解析】
【分析】（1）由题意当 时， 即可求解；
（2）由（1）得到 ，令 ，求解即可.
【小问 1 详解】
茶水温度从 开始，
即当 时， ，解得 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， ，即 ，
第 11页/共 16页
，
故刚泡好的茶水大约需要放置 7 分钟才能达到最佳饮用口感．
18. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 的单调性，并利用定义法证明；
（3）若不等式 在 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数 是实数集上的减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解即可；
（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可；
（3）根据函数的单调性、奇函数的性质，结合同角的三角函数关系式、函数单调性的性质，利用构造新函
数法进行求解即可.
【小问 1 详解】
因为定义域为 的函数 是奇函数，
所以
.
【小问 2 详解】
函数 是实数集上 减函数，证明如下：
第 12页/共 16页
由（1）可知 ，
设 是任意两个实数，且 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 是实数集上的减函数.
【小问 3 详解】
因为函数 是实数集上的奇函数，
所以由不等式
，
由（2）可知：函数 是实数集上的减函数，
所以由
，
因为 ，所以 ，
所以由 ，
所以原问题转化为 在 时恒成立，
设 ， ，
，
第 13页/共 16页
当 时，函数 是增函数，且 ，
由复合函数单调性的性质可知函数 也是增函数，
所以函数 也是增函数， ，即 ，
所以要想 在 时恒成立，
只需 ，所以 的取值范围为 .
19. 对于函数 ，若其定义域内存在非零实数 满足 ，则称 为“伪奇函数”.若其定
义域内存在非零实数 满足 ，则称 为“伪偶函数”.
（1）已知函数 ，判断 是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
（2）若幂函数 使得 在 上是“伪奇函数”，求实数 的取
值范围；
（3）若整数 使得 是定义在 上的“伪奇函数”，求： 的取值集合.
【答案】（1） 不是“伪奇函数“， 也不是“伪偶函数“，
（2）实数 的取值范围为 ；
（3）整数 的取值集合为
【解析】
【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算 ，看 是否有非零解；判断“伪偶函数”：
计算 ，看 是否有非零解；
（2）先确定幂函数 ，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求 范围；
（3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区
间关系求解 范围.
【小问 1 详解】
第 14页/共 16页
由题可知 ，则 ，
则 ，因为 恒成立，
不存在 使得 ，即不存在非零实数 使得 ，故 不是“伪奇函数”；
， ，
若 ，则 ，
故不存在非零实数 使得 ，故 不是“伪偶函数”；
【小问 2 详解】
因为 是幂函数，则 ，所以 ，
故 ，所以 ，
则 ，所以 ，因为 且 ，
所以 在 上有非零实数解，则 且 ，
令 ， 且 ，令 ，则 ，
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，所以，当 且 ， ，
故 ，
所以实数 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
由定义可得， ，则 ，
所以 在 上存在非零实数解，
第 15页/共 16页
令 ， ，故 ，
即方程 在开区间 上存在非零实数解，
令 ， ，对称轴为 ，
当 时， ，满足题意；
当 时，则 ，
所以 ，故 ；
当 时，则 ，
即 ，即 .
综上， ，则满足整数 的取值集合为 .
第 16页/共 16页