北京首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试题

这是一份北京首都师范大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量=(1,m),=(2,-1),若,则实数m的值是（）
A. -2B. 2C. -D.
2.已知复数，则
A. B. C. 3D. 5
3.已知​​​​​​​，则 tan θ＝（ ）
A. 3B. 2C. D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.的三个内角､､满足，则（ ）
A. B. C. D.
7.在中，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在中，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.函数y=的图象与函数y=2x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
10.已知单位向量，满足：，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.i是虚数单位，若复数（1-2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ．
12.如图，四边形是水平放置的平面四边形用斜二测画法得到的直观图，其中，，，，，则
（1）四边形中 ；
（2）四边形的面积为 ．
13.设点为边长为1的正六边形上一点，则的取值范围为 ．
14.已知函数，其中，在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
15.已知函数，任取，定义集合点满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，给出以下四个结论：①若函数，则；②若函数，则的最大值为；③若函数，则在上单调递增；④若函数，则的最小正周期为2，其中所有正确结论的序号为
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知，，且．
(1)求，；
(2)求与的夹角的余弦值
17.(本小题12分)
在锐角中，，，分别为角，，所对的边且.
（1）确定角的大小；
（2）若且的面积为，求的值.
18.(本小题12分)
设函数．
(1)若，求的值；
(2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：时，的值域是；
条件③：是的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km.
(1)求；
(2)求，之间的距离.
20.(本小题14分)
已知函数的部分图象如图所示．
(1)直接写出函数的解析式和最小正周期；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)若，，求的值域．
21.(本小题15分)
对任意正整数，记集合为非负整数，且，集合为非负整数，且，对任意的，，若对任意，都有，则称“劣于”，记作．
(1)直接写出集合和；
(2)对任意，是否存在，使得，若存在，写出一个满足要求的，如果不存在，请说明理由；
(3)设．求证：中的元素个数是完全平方数．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】-2
12.【答案】 ； ； ； 3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】①②③④
16.【答案】解：（1）已知向量与的夹角为，且，，
则，
所以.
（2）.

17.【答案】解：（1）由 ，
结合正弦定理可得 ，
，
，
因为 为锐角三角形，
所以 .
（2）因为 的面积 ，
所以解得 .
由余弦定理可得 ，
所以 ，
解得 .

18.【答案】解：（1），
当时，，
所以；
（2）由在区间上单调递减，所以，所以，
又，所以，又，所以，
条件①：函数的图象经过点，
所以，不可能成立，故不能选择①；
条件②：时，的值域是，
又由在区间上单调递减，
所以，
解得，又，所以当时，，
所以；
条件③：是的一条对称轴，
所以，解得，又，
所以当时，，
所以.

19.【答案】解（1）由题意知：，，，
在中，由余弦定理，
因为,
所以.
（2），,，
由题意知：，
在中，由正弦定理得：，所以，
由余弦定理得：，
即，
解得：或（舍），
，之间的距离为.

20.【答案】解：（1）由图可知，，，所以，
所以，
将点代入可得，
即，所以，
解得，由，可知，
所以函数解析式为，最小正周期为.
（2）当时，，
所以，所以，
即的最大值为，最小值为.
（3），
令，则，所以，
由（2）知，时，，，
原函数可转化为
，
所以当时，，当时，，
所以的值域为.

21.【答案】解：（1）当时，由且均为非负整数，得.
由且均为非负整数，得.
（2）存在.对任意，取.
因为，所以，且为非负整数，故.
又因为对任意，都有，所以.
（3）对任意，设，，并令.
因为，所以均为非负整数.又因为，，
所以，故.
反过来，若任取和，令，则的各分量均为非负整数，
且各分量之和为，所以.同时，故.
因此，中的元素与有序对一一对应，其中，，所以.
又是把分成个非负整数之和的方案集合，所以，从而.
因此，中的元素个数是完全平方数.