河南名校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份河南名校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A. 20B. 23C. 26D. 29
3.已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（）
A. 40B. 90C. 150D. 240
6.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ）
A. B. 1C. D.
8.含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（）
A. 12B. 16C. 32D. 34
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的系数为560
C. 展开式中各项系数和为1D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项
10.在数列中，，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列B.
C. 数列的前 n项和为D. 数列的前n项和为
11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响.记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率.已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为.记，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为
C. 数列是等比数列
D. 数列的前n项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的单调递减区间为 ．
13.已知数列的前n项和为，则的通项公式为 ．
14.某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和．
16.(本小题15分)
甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会．
(1)求甲、乙面试都合格的概率；
(2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列．
17.(本小题15分)
如图，已知四边形为矩形，平面ABCD，四点共面，，，，．
(1)求证：平面ADE；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，．
(1)求E的方程．
(2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0．
（i）求点Q的坐标；
（ii）求面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数，，．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围；
(3)若，是在上不为1的两个零点，求证：．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，所以，
即数列是首项为，公差为2的等差数列，
则，即．
（2）由（1）知，①
则，②
①－②，得
，
即．

16.【答案】解：（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格，
由题知，A，B相互独立，，
∵，，
∴，
∴甲、乙面试都合格的概率为．
（2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
∴X的分布列为

17.【答案】解：（1）∵平面ABCD，平面EFCD，平面平面，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，∴，
∵，，
∴平面，
∴平面．
（2）由（1）知，，，∵，，
平面，∴平面，
∴，故两两互相垂直．
以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,
建立空间直角坐标系，如图．
设，则，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则令，得，
∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．

18.【答案】解：（1）设双曲线的右焦点为，连接，，
由题意知，四边形是平行四边形，∴，
∴，∴，
∵离心率，∴半焦距，
∴，
∴E的方程为；
（2）（i）设，，l：，
代入，整理得，
∴，解得，
∴，，
设，则，
∴
，
即，
要使上式在时恒成立，则，，
∴；
（ii）由（i）知，
，
点到直线l的距离为，
∴，
设，∵，∴，，
∴；
设，由对勾函数的性质知，单调递增，
∴，
∴，，
∴，
故面积的最小值为．

19.【答案】解：（1）由题知，的定义域为，
，
若，当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；
若，则，当或时，，当时，，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
若，则，∴在区间上单调递增；
若，则，当或时，，当时，，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）由（1）知，
显然是的一个零点．
设，则．
若，则，
∴在区间上单调递增，
∴最多有1个零点，即最多有2个零点，不满足题意．
若，当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵，当时，，
∴要使在上恰有3个零点，则需有2个不为1的零点，
则解得．
∵，，
设，则，
设，则，∴在区间上单调递增，
∴，
∴在区间上单调递增，
∴，
令，，解得，
时，，单调递减；时，，单调递增；
，即，
∴存在，，使得，即，
∴实数a的取值范围为．
（3）由（2）知，，是的不为1的零点，也是的零点，
要证，只需证，
而，且在上单调递减，
故只需证，
又，∴只需证，
即证．
令，
即，
则（因,故等号不可取），
∴在上单调递增．
由，可得，即，
∴，
又在上单调递减，
∴，即，得证．
X
1
2
3
4
P