浙江省温州十校联合体2025-2026学年高二下学期期中联考数学学科练习试卷含答案（word版）

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二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.40 13. 2,4 14. 22+3
小题解析:
11. 法 1: 赋值法
A. 令 m=n=0 可得 f0=1 ,选项 A 正确.
B. 令 m=1,n=−1 得 f−1=12,f−1≠f1 且 f−1≠−f1,fx 为非奇非偶函数,选项 B 错误.
C. ∀x1,x2∈0,+∞ ,且 x10,fx2−x1>1 .
∵fx2=fx2−x1+x1=2x2−x1fx1+2x1fx2−x1+1−2x2−x1−2x1
∴fx2−fx1=2x2−x1fx1+2x1fx2−x1+1−2x2−x1−2x1−fx1
=2x2−x1−1fx1−1+2x1⋅fx2−x1−1>0
即 fx2>fx1 ,所以 fx 在 0,+∞ 上单调递增, C 正确.
D. 令 m=x,n=1 得 fx+1=2fx+2x+1−1 .
当 x→+∞ 时, fx>1,2x+1−1→+∞ ,故 fx+1→+∞ ,即 fx→+∞ . 选项 D 错误.
法 2: 原型函数法
∵fm+n+2m+2n=2mfn+2nfm+1 ∴fm+n−1=2m⋅fn−1+2n⋅fm−1
令 gx=fx−1 ,则 gm+n=2m⋅gn+2n⋅gm ,即 gm+n2m+n=gn2n+gm2m .
令 ℎx=gx2x ,则 ℎm+n=ℎn+ℎm .
满足条件的函数 ℎx 的原型函数为 ℎx=kx ,则 fx=kx⋅2x+1 .
由 f1=3 得 k=1 ,所以 fx=x⋅2x+1 ,即可判断各个选项.
14. 由题意可得, BC 的中点为点 O1 ,取 AD 的中点 M ,点 O2 在线段 O1M 上.
设截面与 AC 交于点 E ,则截面与 BD 相交于点 F .
设 O1E=xO1C+1−xO1A,O1F=yO1B+1−yO1D ,
则 O1M=λO1E+μO1F=λxO1C+λ1−xO1A+μyO1B+μ1−yO1D
∵O1M=12O1A+12O1D, O1C=−O1B
∴λx=μyλ1−x=12μ1−y=12 ∴x=y
又 ∵AC=BD ∴AE=DF,CE=BF
可证 ΔO1CE≅ΔO1BF,ΔDMF≅ΔAME
∴O1E=O1F,ME=MF ,即截面关于直线 O1O2 对称
翻折可得 O1E+EMmin=2+3 ,所以 L 的最小值为 22+3 .
(若截面与 CD 相交,则截面与 AB 相交,情况与上面一样)
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.
15. (本小题满分 13 分)
(1)(6 分)
法 1: ∵b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=2acsA .2 分
∴a=2acsA
∴csA=12 .2 分
∵A∈0,π ∴A=π3 .2 分
法 2: ∵sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA .2 分
∴sinB+C=2sinAcsA ∴sinA=2sinAcsA
∵A∈0,π ∴sinA≠0 ∴csA=12 .2 分
∴A=π3.2 分
(2)(7 分)
法 1: ∵a2=b2+c2−2bccsA ∴1=b2+c2−bc=b+c2−3bc .2 分
∴b+c2−1=3bc≤3⋅b+c22 .2 分
∴b+c2≤4 ,即 b+c≤2 ,当且仅当 b=c=1 时取等.
∴b+c 的最大值为 2 3 分 (取等条件 1 分)
法 2: 由 bsinB=csinC=asinA=233 得: b=233sinB,c=233sinC . 2 分
∴b+c=233sinB+sinC=233sinB+sinπ3+B=23332sinB+32csB=2sinB+π6.3 分
当 B=π3 时, b+c 取到最大值 2 . 2 分
16. (本小题满分 15 分)
(1)(6 分)
法 1: 连接 AO 并延长交 BC 于点 H ,取 B1C1 的中点 H1 , 连接 HH1 和 A1H1 ,
∵ 点 O 为 △ABC 的重心, △ABC 为正三角形
∴ 点 H 为 BC 的中点， BC⊥AH .1 分
又 ∵ 点 H 为 B1C1 的中点,侧面 BCC1B1 是等腰梯形
∴BC⊥HH1 .2 分
∵AH∩HH1=H ∴BC⊥ 平面 AHH1A1 .2 分
∵A1O⊂ 平面 AHH1A1 ∴A1O⊥BC .1 分
法 2: 可补形成正三棱锥证明.
(2)(9 分)
法 1:
如图,以点 H 为坐标原点建立空间直角坐标系.
则 A33,0,0,B0,3,0,C0,−3,0 .
在梯形 AHH1A1 中,作 A1M⊥AH 交 AH 于点 M ,作 H1N⊥AH 交 AH 于点 N ,
计算得 A1H1=323,AH=33,HH1=323 ,
由 AA12−AM2=HH12−HN2 可得 HN=32,H1N=6 .
∴H132,0,6,B132,32,6 .2 分 (建系+1 点坐标 1 分, H1 或 B1 坐标 1 分)
∴AB=−33,3,0,BC=0,−6,0,BB1=32,−32,6. 2 分
设平面 BCC1B1 的法向量为 n=x,y,z .
由 n:BC=0n⋅BB1=0 得 −6y=032x−32y+6z=0 ,令 z=−1 ,则 x=22,y=0 .
∴n=22,0,−1 .2 分
∴cs=AB⋅nAB⋅n=6618=63 .2 分
∴ 直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 63 . 1 分
法 2:
过点 A 作 AT⊥HH1 交 HH1 于点 T ,连接 BT .
∵BC⊥ 平面 AHH1A1 BC⊂ 平面 BCC1B1
∴ 平面 BCC1B1⊥ 平面 AHH1A1 .2 分
又 ∵ 平面 BCC1B1∩ 平面 AHH1A1=HH1,AT⊂ 平面 AHH1A1,AT⊥HH1
∴AT⊥ 平面 BCC1B1 .2 分
∴∠ABT 是直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角 .1 分
在梯形 AHH1A1 中,作 A1M⊥AH 交 AH 于点 M ,作 H1N⊥AH 交 AH 于点 N ,
计算得 A1H1=323, AH=33,HH1=323 ,
由 AA12−AM2=HH12−HN2 可得 HN=32,cs∠NHH1=13 即 sin∠AHH1=223 .
∴AT=AH⋅sin∠AHH1=26 .2 分
在 Rt △ABT 中, sin∠ABT=ATAB=63 ,即直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 63 . 2 分
法 3:
补形为正三棱锥 P−ABC . 1 分
设点 A 到平面 BCC1B1 的距离为 d ,直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角为 θ .
∵VA−PBC=VP−ABC .2 分
∴13S△PBC⋅d=13S△ABC⋅PO ∴d=PO .2 分
计算得 PO=26 ,即 d=26 .2 分
∴sinθ=dAB=63 ,即直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 63 .2 分
17. (本小题满分 15 分)
(1)(4 分)
∵fx 是偶函数 ∴f−x=fx 1 分
即 lg24−x+a+x=lg24x+a−x
∴2x=lg24x+a−lg24−x+a
∴4x+a4−x+a=22x=4x .2 分
∴4x+a=1+a⋅4x
∴a=1 1 分
(2)
( i ) ( 5 分)
由 (1) 可得 fx=lg24x+1−x=lg24x+12x=lg22x+12x .
∴gx=2lg22x+12x=2x+12x .2 分
令 u=2x ,则 y=u+1u .
∵x∈0,2 ∴u∈1,4 .1 分
∵y=u+1u 在 1,4 上单调递增 ∴y=u+1u∈2,174
∴gx 的值域为 2,174 .2 分
(ii) (6 分)
令 t=2x+12x ,则 t∈2,174,4x+14x=2x+12x2−2=t2−2 .
不等式 m4x+14x−2mgx+3≥0 ,可化为 mt2−2−2mt+3≥0 ,
即 mt2−2mt−2m+3≥0 对任意 t∈2,174 恒成立. 2 分
令 ℎt=mt2−2mt−2m+3,ℎt 的对称轴为 t=1 ,只需 ℎtmin≥0 .
当 m=0 时, ℎt=3≥0 恒成立.
当 m>0 时, ℎt 在 2,174 单调递增, ℎtmin=ℎ2=−2m+3≥0 ,解得 0x2 都有 −3x1−x2