浙江省衢州五校联考2025-2026学年高二下学期期中考试数学含试卷答案（word版）

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二、多项选择题
三、填空题
12. 81
13. 42
14. 103 或 343 (对一个得 2 分,对两个得满分,写错不得分)
四、解答题
15. 解析:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 A，那么
1−PA=1−15p=1920 ,解得 p=14 . 4 分
(2)由题意，
pX=0=C30143340=164
pX=1=C31142341=964
pX=2=C32141342=2764
pX=3=C33140343=2764. .8 分
所以,随机变量 X 的概率分布列为
分
故随机变量 X 的数学期望:
EX=0×164+1×964+2×2764+3×2764=14464=94.13 分
(2)由题意，
pX=0=C30p31−p0=p3
pX=1=C31p21−p1=3p21−p
pX=2=C32p11−p2=3p1−p2
pX=3=C33p01−p3=1−p3.8 分
分
故随机变量 X 的数学期望:
EX=0×p3+1×3p21−p+2×3p1−p2+3×1−p3
=3p21−p+6p1−p2+31−p3=31−p . 13 分
16. 解析: (1) 由题意知 an≠0 ,所以由 an+1=an1+3an ,得 1an+1=1+3anan=1an+3 ,
所以 1an+1−1an=3 ,又 1a1=2 , .4 分
所以 1an 是首项为 2,公差为 3 的等差数列,
所以 1an=2+3n−1=3n−1 ,即 an=13n−1 . .7 分
(2)由(1)得 bn=4nan=3n−1⋅4n ，
所以 Sn=2×41+5×42+⋯+3n−1⋅4n ①,
4Sn=2×42+5×43+⋯+3n−1⋅4n+1 ②,
①-②，得 −3Sn=2×41+3×42+43+⋯+4n−3n−1⋅4n+1 .11 分
=8+3×421−2n−11−4−3n−1⋅4n+1
=2−3n⋅4n+1−8 ,
所以 Sn=3n−2⋅4n+1+83 . 15 分
17. 解析: (1) 因为 C1B=C1C,AB=AC=6,D 是 BC 的中点,所以 C1D⊥BC,AD⊥BC ,
又 C1D∩AD=D,C1D,AD⊂ 平面 AC1D ,所以 BC⊥ 平面 AC1D , .2 分
又 BC⊂ 平面 ABC ,所以平面 ABC⊥ 平面 AC1D ,
又平面 ABC∩ 平面 AC1D=AD ,作 C1H⊥AD 交 AD 于点 H,C1H⊂ 平面 AC1D ,
所以 C1H⊥ 平面 ABC , .4 分则 C1H 为三棱柱 ABC−A1B1C1 的高,
又 AB⊥AC,AB=AC=6 ,所以 BC=62,AD=12BC=32 ,
又 C1A=C1D=3 ,所以 C1A2+C1D2=AD2 ,则 C1A⊥C1D ,即 ΔC1AD 为等腰直角三角形,
所以 C1H=12AD=322
即 C1 到平面 ABC 的距离为 322 .6 分
(2)如图以 AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，过点 A 作与 C1H 平行的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系, .8 分
则 A0,0,0,B6,0,0,C0,6,0,C132,32,322,A132,−92,322
所以 AC1=32,32,322 . 平面 ABC1 的法向量为 m=0,−2,1 . 10 分
所以 AA1=32,−92,322 . 平面 ABA1 的法向量为 n=0,2,32 . 12 分
设平面 ABB1A1 与平面 ABC1 所成角为 α ,则 csα=cs⟨m,n⟩=23×22=3333 .14 分 (公式)
所以平面 ABB1A 与平面 ABC1 所成角余弦值为 3333 15 分
18. 解析:(1)
依题意可得 1a2+12b2=1ca=22a2=b2+c2 ，解得， a2=2b2=c2=1 .2 分
所以椭圆方程为 x22+y2=1 ; 3 分
(2)(i)设直线 AB:x=my−1 ，则
x=my−1x2+2y2=2⇒m2+2y2−2my−1=0
∴y1+y2=2mm2+2y1y2=−1m2+2 .5 分
∴AB=1+m2⋅8m2+8m2+22 .7 分
同理 CD=1+1m2⋅8m2+81m2+22
∴SACBD=12AB⋅CD=4m2+1m2+22m2+1m2+5 .9 分
令 m2+1m2=t ,则 SACBD=4t+22t+t=412−14t+10,t≥2
则 t→+∞ 时, S→2 ,即 S0
∴x1−x2≥x12−x22 . .5 分
即 fx1−fx2≥gx1−gx2 成立,
所以函数 fx=x 是函数 gx=x2 在区间 −12,12 上的 1 级控制函数. (结论前面已给 1 分)
( 2 )由函数 fx=lnx 是函数 gx=x 在区间 1,2 上的 m 级控制函数，
得 lnx1−lnx2≥mx1−x2 ,
∵x12 ,即证 a+b⋅lnb−lnab−a>2 ,
即证 ba+1ba−1⋅lnba>2 ,即证 lnba−2⋅ba−1ba+1>0 , .15 分
令 x=ba>1 ,构造 φx=lnx−2⋅x−1x+1 ,
所以 φ′x=1x−4x+12=x−12xx+12>0 ,
所以 φx 在 1,+∞ 上单调递增,
所以 φx>φ1=0 ,
即 lnba−2⋅ba−1ba+1>0 成立,所以 a+b>2 得证. 17 分1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
C
B
A
C
B
9
10
11
ABD
AD
AC
X
0
1
2
3
p
164
964
2764
2764
X
0
1
2
3
p
p3
3p21−p
3p1−p2
1−p3