2024-2025学年浙江省衢州市五校联盟高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省衢州市五校联盟高二下学期期中联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−x−6≤0},B={x|y= x−1}，则A∩B=( )
A. [1,2]B. [1,3]C. [0,2]D. [0,3]
2.函数fx=tan2x+π4的最小正周期是( )
A. π2B. πC. 2πD. 4π
3.已知复数z=cs2π3−sin2π3i，则z=( )
A. 12B. 32C. 1D. 1+ 32
4.已知向量a=(1,3)，b=(−1,t)，若(a+b)//(a−b)，则t=( )
A. 3B. 13C. ±3D. −3
5.已知圆锥的底面周长为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为( )
A. 153πB. 33πC. 13πD. 53π
6.已知直线l:(3a+2)x−ay−2=0(其中a为常数)，圆C:x2+2x+y2+2y−23=0，则直线l被圆C截得的弦长最小值为( )
A. 15B. 17C. 2 5D. 21
7.在▵ABC中，C=23π，∠ACB的平分线交AB于D点，且S▵BCD=13S▵ABC，则csA为( )
A. 2114B. 5 714C. 215D. 35
8.对任意a，b∈R，都存在x0∈2025,2027，使得x 02− 2025ax0+b≥k成立，则k的取值范围为( )
A. −∞,2B. −∞,12C. −∞,2025D. −∞, 2025
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数csℎx=ex+e−x2、双曲正弦函数sinℎx=ex−e−x2、双曲正切函数tanℎx=sinℎxcsℎx，则( )
A. y=csℎx是偶函数B. y=sinℎx是奇函数
C. y=tanℎx是偶函数D. y=csℎsinℎx是奇函数
10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线y=x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA⋅kPB∈−13,0，则离心率e的值可以为( )
A. 0.8B. 0.85C. 0.9D. 0.95
11.甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是( )
A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为12
B. “在甲掷出6点后，乙下一次掷骰子掷出6点”的概率为16
C. “首次连续2次出现6点时需掷骰子的次数”的期望为36
D. “甲先掷出6点”的概率为611
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=lgax(a>0且a≠1)，若f(e2)+f(e4)=6，则a=______．
13.x+2y2x+y4的展开式中x2y3项的系数为________．
14.已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=2，抛物线C2：y2=−4mx(m>0)的准线经过双曲线C1的右焦点，点P为双曲线C1与抛物线C2位于x轴上方的交点，若PF1+PF2=12，则m的值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加体育锻炼时间(单位：小时)，分别位于区间[7,9),[9,11)，[11,13),[13,15)，[15,17),[17,19]，用频率分布直方图表示如图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．
(1)求a的值；
(2)计算全校学生一周参加体育锻炼时间的第80百分位数；
(3) 从全校学生中随机选取3人，记X表示这3人一周参加体育锻炼时间在区间[13,15)内的人数，求X的分布列和数学期望E(X) ．
16.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n ．
(1)证明：数列{an+2n}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn≥λ(an+2n)+1对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−x在点1,f1处的切线与曲线y=ax2+(2a+3)x−1a∈R只有一个公共点．
(1)求a的值；
(2)求证：f(x)≤ex−1x−2．
18.(本小题17分)
如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=3，AD=3AE，BC=3FC.现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面A′B′FE，并连接B′D、BB′．
(1)若B′E⊥BE，证明：B′E⊥平面BEF；
(2)若M为B′D的中点，G∈BF，直线GE与平面B′BE所成角正弦值为 22．
(i)试讨论在线段AD上是否存在点N，使得BB′//平面GMN.若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由；
(ii)求平面BB′E与平面B′DF所成锐二面角的取值范围．
19.(本小题17分)
已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点H(3,y)到其焦点F的距离为4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知抛物线E的准线为l，O为坐标原点，若过焦点F的动直线与抛物线交于A，B两点，直线AO与l交于点C，
(i)证明：直线BC//x轴；
(ii)过A，B两点分别作抛物线的切线l1，l2，l1，l2相交于点Q且分别与直线x=2相交于点M，N，求▵QMN面积的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AB
10.BCD
11.ABD
12.e
13.56
14.2
15.解:(1)∵(0.025+0.050+a+0.125+0.200+0.025)×2=1,∴a=0.075;
(2)第80百分位数为15+0.250.4×2=16.25;
(3)从全校学生中随机选取1人, 则此人一周参加体育锻炼的时间在区间[13,15)的概率为0.125×2=0.25,
又X的可能取值为0、1、2、3,由题意可得X~B(3,14),
则P(X=0)=C30×(34)3×(14)0=2764,P(X=1)=C31×(34)2×(14)1=2764,P(X=2)=C32×(34)1×(14)2=964,P(X=3)=C33×(34)0×(14)3=164,
则X的分布列为:
X的数学期望E(X)=3×14=34.
16.解：(1)数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n ．
∴an+1+2n+1an+2n=3an+2n+2n+1an+2n=3an+3×2nan+2n=3，
又a1+21=3，
∴{an+2n}为等比数列．
(2)an+2n=3×3n−1，∴an=3n−2n．
(3)Sn=3(1−3n)1−3−2(1−2n)1−2=3n+12−2n+1+12
则3n+12−2n+1−12≥λ⋅3n，
∴[32−2·(23)n−12·(13)n]min≥λ，
易知f(x)=32−[2⋅(23)x+12(13)x]在(0,+∞)单调递增，
∴n=1时，32−2(23)n−12(13)n最小为0
∴λ≤0
17.解：(1)f′(x)=1x−1，f′(1)=0，
f(1)=−1，∴切线方程为y=−1．
当a=0时，显然满足条件，
当a≠0时，方程ax2+(2a+3)x−1=−1有两个相等的根，
∴Δ=(2a+3)2−0=0，
∴a=−32．
综上，a=0或a=−32．
(2)由f′(x)=1x−1可知，
x∈(0,1)时，f′(x)>0; x∈(1+∞)时，f′(x)