浙江省杭州市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题 附答案

这是一份浙江省杭州市2022届高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题 附答案，共17页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分，考试结束，只需上交答题卡，某几何体的三视图，设等差数列的前n项和为，若，则，函数的图象可能是，已知函数，已知，若，则，在中，已知，，点M在线段上等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！
3.考试结束，只需上交答题卡.
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.若复数中（i为虚数单位），则（ ）
A.B.C.1D.
3.设，为两个不同的平面，则“的充要条件是（ ）
A.内有无数条直线与平行B.，垂直于同一平面
C.，平行于同一条直线D.内的任何直线都与平行
4.某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中弧为四分之一圆弧，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A.B.C.D.
5.设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A.12B.15C.18D.21
6.函数的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数.若，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知，若，则（ ）
A.B.C.D.
9.设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点（点M在第一象限）.若，，则椭圆C的离心率e的最大值为（ ）
A.B.C.D.
10.在中，已知，，点M在线段上（不与端点重合），将沿直线翻折，使线段上存在一点N，满足平面.若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A.1B.C.2D.
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11.双曲线的离心率为______，渐近线方程为______.
12.若实数x，y满足则有最______（填“大”或“小”）值为______.
13.已知，则______，______.
14.已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为______；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”为事件A，则______.
15.在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线上，，以为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若，则圆C的半径等于______.
16.在中，，点D在边上，.若，则______.
17.对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则______.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求使成立的实数x的取值集合.
19.（本题满分15分）在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本题满分15分）已知数列满足，.
（Ⅰ）若且.
（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；
（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.
（Ⅱ）若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.
21.（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，圆与y轴的正半轴的交点为A，为等边三角形.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线，均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分15分）已知函数在时取到极大值.
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）记.设函数，若函数在上为增函数，求实数t的取值范围.
2021学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题，每小题4分，满分40分.
8.，
所以.
10.若平面，则，则必在过点C作的垂面上.
所以过点C作并延长交于N，则平面，则.
在翻折的过程中，只要存在某一位置使得即满足平面，即.
又因为恒成立，所以的最大值就是的最小值（取不到）.
由图可知，当点M无限接近于点A时，接近垂直于N，此时，所以的最大值为1.
二、填空题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分.
11.；12.小；13.2；13614.；
15.16.17.2
17.如图，记，，，则条件表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.
设，，，记，，
则，，所以.
先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中.接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.
因为，当且仅当时取得等号.
综上，.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.
18.本题满分14分.
（Ⅰ）因为
，
由，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.………………（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，得，
所以，，
所以，，
x的取值集合为.………………（14分）
19.本题满分15分.
（Ⅰ）取中点为N，连结，，易知，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
且平面，平面，
所以平面.………………（6分）
（Ⅱ）取中点Q，中点O，连结，，，.
求得，，且.
由题意知，且.
所以平面，且由，知.
建立如图空间直角坐标系，则，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，得，取.
设直线和平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.………………（15分）
20.本题满分15分.
（Ⅰ）（ⅰ）因为成等差数列，所以，
所以，所以.
（Ⅱ）因为，所以，，
所以，所以，
因为，又由，
所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，
所以.………………（10分）
（Ⅱ）由，
因为，可得对于任意恒成立，
设，则，
又由，
所以，显然最大即最大.
因为，又因为，所以，
所以，所以，
考虑函数的性质知，的最大值在端点处取得，
取，得到，最大值在，时取得，
所以的最大值为.………………（15分）
21.本题满分15分.
（Ⅰ）易知点，，所以抛物线.
（Ⅱ）设，.过点M，N作抛物线C的两条切线（异于直线）交于点Q，并设切线，，
过抛物线C上点的切线方程为，即，记，①
设过点M的直线与抛物线C相切，代入抛物线方程，
得，
，即，所以，，
由①可得，，所以，②，同理可得，，
所以切线，，
联立两式消去y可得，，③
代入可得④，代入②得，
联立与圆E可得，，
所以，.
分别代入③、④可得，，
，即切线，的交点Q在圆E上，
所以存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线.………………（15分）
22.本题满分15分.
（Ⅰ）因为，因为在时取得极大值，
所以，即.解得，，所以，
所以在上单调递增，在，单调递减.
所以满足在时取到极大值，所以，.
（Ⅱ）设，，则，.
当时，恒成立.
当时，，
从而.
在上恒成立，故在上单调递减.
，，所以.又曲线在上连续.
故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的，使得.
当时，，当时，.
所以，故
由于函数为增函数，且曲线在上连续不间断，
在和上恒成立.
①当时，在上恒成立，即在上恒成立，
记，，则，.
当时，，当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以.故，解得.
②当时，恒成立，即在上恒成立，
记，显然单调递减，所以.
因为，所以.
综合①，②知，当时，为增函数，故t的取值范围是.………………（15分）1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
B
C
C
A
D
D
A