广西贵港市2025-2026学年高一上学期期末学科素养检测数学试卷（Word版附解析）

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（全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟）
注意：1．答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回．
2．本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合集合并集的定义与运算，即可求解.
【详解】由集合 ，
根据集合并集的定义与运算，可得 .
故选：B.
2. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题 否定形式解决问题即可.
【详解】由全称量词命题的否定形式可知：
命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
故选：C.
3. 若已知条件 ，条件 ，则 是 的（ ）
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A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式，根据真子集关系即可得到答案.
【详解】 ，解得 或 ，
因为 是 或 的真子集，
则 是 的充分不必要条件.
故选：A.
4. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在定理求解即可.
【详解】因为 ， ，且 为增函数，
所以 的零点所在的区间为 .
故选：C.
5. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断即可.
【详解】因为 ， ，
， ，
故选：B
6. 已知扇形的周长为 20，则该扇形的面积 S 的最大值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
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【答案】D
【解析】
【分析】设扇形圆心角 ，扇形半径为 r，由题可得 间关系，后用 r 表示 S，即可得答案.
【详解】设扇形圆心角为 ， ，扇形半径为 ， ，
由题有 ，
则 ，当 时取等号.
故选：D
7. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数 （每单位代表 公里）与剩余电量 在某阶段
（剩余电量 ）近似满足如下函数关系式： ．当剩余电量为 时，车辆
需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. 公里 B. 公里
C. 公里 D. 公里
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数、指数的性质及运算规则，运用换底公式，结合已知函数解析式计算求解．
【详解】 ，
当 时， ，解得 ，
，解得 ，
此时汽车大约行驶了 （公里），故 B 正确．
故选：B．
8. 若定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 的取值
范围是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到 的单调性及 ，再结合不等式，分类讨论，即可得
出答案.
【详解】因为在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ，
所以当 时， ，
当 时， .
所以由 可得： 或 或 ,
解得 或 或 ，即 或 .
所以满足 的 的取值范围是 .
故选：D.
二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设 ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.
【详解】 取 ， ，满足 ，但此时 ，故 A 错误；
若 ，则 ，故 B 正确；
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若 ，则 ，故 C 正确；
取 ， ， ， 满足 ， ，此时 ，故 D 错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数 是幂函数，则
B. 函数 的图象恒过定点
C. 函数 取得最小值为
D. “ ”是“关于 的方程 有一正根和一负根”的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A：利用幂函数的定义即可求得 的值；对于 B：利用指数函数过定点的性质，易得定点坐标；
对于 C：先变形成对勾函数，再利用函数单调性即可求得最值；对于 D：利用根的判别式与韦达定理找到等
价条件即可判断.
【详解】对于 A：因为 是幂函数，则 ，即 ，故 A 正确；
对于 B：在函数 中，令 ，可得 ， ，
故图象恒过定点 ，而非 ，故 B 错误；
对于 C：函数 （ ），变形得 ，
设 ,则得 ,因该函数在 上单调递增，
故 ,即函数 的最小值为 ，故 C 错误；
对于 D：方程 有一正根和一负根，等价于 ,解得 ，
即“ ”是该方程有一正根和一负根的充要条件，故 D 正确.
故选：AD.
11. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
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A. 的图象关于点 对称
B. 的图象关于直线 对称
C. 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D. 若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象求得 ，对于 A、B，代入验证即可；对于 C，利用平移左加右减的
规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于 D，先判断出单调性，求出最值，进而求解.
【详解】由题图可得 ， ，故 ，所以 ，
又 ，即 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，所以 ．
对于 A：当 时， ，故 A 正确；
对于 B：当 时， 为最小值，
故 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
对于 C：将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数：
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的图象，故 C 错误；
对于 D：当 时， ，
则当 ，即 时， 单调递减；
当 ，即 时， 单调递增，
因 ， ， ，
所以方程 在 上有两个不相等的实数根时，
的取值范围是 ，故 D 正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的定义域为______．
【答案】 且
【解析】
【分析】根据分式、根式性质求定义域即可.
【详解】由题设 ，可得 且 ，则定义域为 且 .
故答案为： 且
13. 已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】将 化为 ，再利用两角和的正切公式求解即可.
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【详解】由题意得 ，
则 ，
故答案 ：
14. 已知函数 是定义在 上的奇函数， ，恒有 ，且当 时，
，则 ____
【答案】3
【解析】
【分析】由题设知 4 为函数 的周期，根据已知求得 ，结合周期性即
可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，可知 4 为函数 的周期，
且 ，
当 时， ，则 ，
所以 .
故答案为：3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求 sinα和 tanα的值
（2）若 ，化简并求值
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【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【小问 1 详解】
∵ ，由三角函数的定义得 ， ；
【小问 2 详解】
∵ ，
∴ .
16. 已知定义域为 R 的函数 是奇函数.
（1）求 a，b 的值；
（2）直接写出该函数在定义域中的单调性（不需要证明），若对于任意 ，求使 满足不等式
的实数 m 的取值范围.
【答案】（1）
（2）增函数，
【解析】
【分析】（1）由 及 求解；
（2）根据奇函数性质和单调性解不等式.
【小问 1 详解】
由 得 ，又 ，
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因为对 ， ，所以 ，
经检验， 符合题意；
【小问 2 详解】
由（1） ，因为函数 是增函数，
所以 是减函数，所以 是增函数，
若对于任意 ， ，则由 是奇函数，
可得 ，又 在 是增函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
17. 已知函数
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 时，求 的值域.
【答案】（1）最小正周期为 ；增区间为 ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式、辅助角公式得 ，再利用周期 、正弦型函数单
调性求结果；
（2）由 范围求 的范围，进而可求出 的范围，从而可求 的值域.
【小问 1 详解】
由题设
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，
∴函数 的最小正周期为 ，
令 ， ，则 ， ，
所以单调递增区间为 ， .
【小问 2 详解】
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故函数 在区间 的值域为 .
18. 某公司为了提高生产效率，决定投入 160 万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 年的
支出成本为 万元，每年的销售收入 98 万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20 万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注： ）达到最大值时，该设备以 30 万元的价格处
理.
（1）设前 年的总盈利额为 （不含设备处理收益），写出方案一中 与 的函数关系式；
（2）结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.
【答案】（1）
（2）方案二合理，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用已知条件即可写出 与 的函数关系式；
（2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论.
【小问 1 详解】
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根据题意可得 ，
则方案一中 与 的函数关系式为： .
【小问 2 详解】
方案一：因为 ，
所以当 时，总盈利额 的最大值为 万元，
此时处理掉设备，则总利润为 万元，
方案二：由年平均盈利额为：
，
当且仅当 即 时等号成立，
即当 时，年平均盈利额最大为 20 万元，
此时总盈利额 万元，
此时处理掉设备，则总利润为 万元，
综上，两种方案获利都是 110 万元，
但方案一需要 5 年，而方案二仅需要 4 年，故方案二合理.
19. 现定义一种新运算“ ”：对于任意实数 ，都有 .
（1）当 时，计算 ；
（2）证明： 都有
（3）设 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）4 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义运算即可；
（2）根据新定义及对数的运算性质证明；
（3）根据新定义化简函数解析式，分 和 讨论，结合指对数函数的单调性即可求解.
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【小问 1 详解】
当 时， .
【小问 2 详解】
，
，
所以 都有 .
【小问 3 详解】
设 ，不等式 即为 ，
设 ，
当 时， 转化为 对任意 恒成立，
此时函数 在 上单调递减， ，
所以要想 对任意 恒成立，即满足 即可，
解得 或 ，
结合 可知此时没有满足题意的实数 ；
当 时， 转化为 对任意 恒成立，
此时函数 在 上单调递增， ，
所以要想 对任意 恒成立，即满足 即可，解得 ，
结合 可知此时实数 的范围是 .
综上所述，实数 的取值范围是 .