广西河池市2025-2026学年高二上学期期末学科素养测评数学试卷含解析（word版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号; 回答非选择题时, 用 0.5mm 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
4.本卷主要命题范围: 选择性必修第一册, 选择性必须第二册第四章.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点 A2,−1,3 关于原点对称的点的坐标为( )
A. 2,1,3 B. −2,1,−3 C. 2,−1,−3 D. −2,−1,−3
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中,点 x,y,z 关于原点的对称点的坐标为 −x,−y,−z 即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中,点 x,y,z 关于原点的对称点的坐标为 −x,−y,−z ,
故点 A2,−1,3 关于原点对称的点的坐标为 −2,1,−3 .
故选: B
2. 等差数列 4,7,10,… ,则 46 是这个数列的 ( )
A. 第 16 项 B. 第 15 项 C. 第 14 项 D. 第 13 项
【答案】B
【解析】
【分析】求出等差数列的通项公式即可求解.
【详解】设该等差数列为 an ,则 a1=4 ,公差为 3,
故 an=4+3n−1=3n+1 ,
由 an=3n+1=46 ,得 n=15 .
故选: B
3. 若直线 l1:ax+2y−4=0 与直线 l2:2x+a−2y−3=0 垂直，则 a= ()
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一般式下两直线垂直的关系得到方程, 解得即可.
【详解】因为直线 l1:ax+2y−4=0 与直线 l2:2x+a−2y−3=0 垂直， 所以 2a+2a−2=0 ,解得 a=1 .
故选: A
4. 已知椭圆 x210+y2m=1 的一个焦点坐标为 0,5 ，则 m 的值为( )
A. 22 B. 4 C. 35 D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意得椭圆的焦点在 y 轴上,结合 a2=b2+c2 即可求解.
【详解】由于椭圆 x210+y2m=1 的一个焦点坐标为 0,5 ,得焦点在 y 轴上,
故 a2=m,b2=10,c2=52=25 ,根据 a2=b2+c2 ,
得 m=10+25=35 .
故选: D
5. 已知圆 C 的方程为 x2+y2+2x−6y+6=0 ，圆心为 C ,坐标原点为 O ,则 OC 为( )
A. 3 B. 23 C. 10 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先转化圆 C 的方程为圆的标准方程,求圆心 C 的坐标,代入两点间的距离公式即可.
【详解】根据题意,圆 C 的方程可化为 x+12+y−32=4 ,
所以圆 C 的圆心为 C−1,3 ,所以 OC=−12+32=10 .
故选: C
6. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，设 AB=a,AC=b,AA1=c,N 为 B1C1 的中点，则 AN= ( )
A. 12a+12b+c B. 12a+b+c C. a+12b+c D. 12a+12b−c
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解.
【详解】如图,取 BC 的中点 M ,连接 AM,MN ,

所以 AN=AM+MN=12AB+AC+AA1=12a+12b+c .
故选: A.
7. 已知数列 an 是等差数列,数列 bn 是等比数列,若 a1+a5+a9=9,b3b5b7=55 ,则 a3+a71+b4b6= ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列、等比数列的下标和性质即可求解.
【详解】数列 an 是等差数列,故 a1+a5+a9=3a5=9 ,得 a5=3 ,
数列 bn 是等比数列,故 b3b5b7=b53=55 ,得 b5=5 ,
故 a3+a71+b4b6=2a51+b52=2×31+5=1 .
故选: C
8. 直线 l 与双曲线 x22−y2=1 交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M4,2 ,则直线 l 的方程为 ( )
A. y=−x+6 B. y=x−2 C. y=2x−6 D. y=−2x+10
【答案】B
【解析】
【分析】由点差法求出直线 l 的斜率,再由点斜式方程求解即可.
【详解】设 Px1,y1,Qx2,y2 ,由图可知 x1≠x2
因为线段 PQ 的中点为 M4,2 ,所以 x1+x2=8,y1+y2=4 ,
所以 x12−y122=1x22−y22=12,两式相减可得:x122−x222=y12−y22,
即 x1+x2x1−x22=y1+y2y1−y2 ,
所以 y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=12 ,即 y1−y2x1−x2=1 ,
所以直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为: y−2=x−4 ,
化简为: y=x−2 ,经检验符合题意.
故选: B.

二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 l:x+y+3=0 ,则 ( )
A. l 的倾斜角为 3π4
B. l 在 x 轴上的截距为 3
C. 原点到 l 的距离为 62
D. l 与坐标轴围成的三角形的面积为 32
【答案】ACD
【解析】
【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率和倾斜角,再分别计算它在 x 轴上的截距、原点到直线的距离, 以及与坐标轴围成的三角形面积, 最后逐一判断选项的正确性.
【详解】选项 A: 直线 l:x+y+3=0 可化为 y=−x−3 ,斜率 k=−1 ,因为 tanθ=−1 且 θ∈[0,π) ,所以倾斜角 θ=3π4 , A 正确;
选项 B:令 y=0 ，得 x+0+3=0⇒x=−3 ，所以截距是 −3 ，B 错误；
选项 C:原点到直线的距离公式: d=0+0+312+12=32=62 ，C 正确；
选项 D: 直线与 x 轴交点 −3,0 ,与 y 轴交点 0,−3 ,则 S=12×−3×−3=32 ，D 正确. 故选: ACD
10. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，点 Mx0,y0 在 C 上，则()
A. F 的坐标为 2,0 B. 若 y0=1 ，则 MF=54
C. 若 MF=2 ,则 OM=10 D. MF≥1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据抛物线方程 y2=4x ,结合抛物线的定义可判断 A ; 结合抛物线的焦半径公式可判断 BCD.
【详解】因为抛物线方程为 y2=4x ,故 p=2 ,
选项 A: 易得 F 的坐标为 1,0 ,故 A 错误;
选项 B: 由 y0=1 得 x0=14 ,故 MF=x0+p2=14+1=54 ,故 B 正确;
选项 C: 由 MF=x0+p2=x0+1=2 ,得 x0=1 ,从而 y02=4 ,
故 OM=x02+y02=1+4=5 ，故 C 错误；
选项 D:由于 MF=x0+p2=x0+1 ，又 x0≥0 ，故 MF≥1 ，故 D 正确.
故选: BD
11. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a1=1,an=Sn−1n≥2 ,设 m 为整数,且对任意 n∈N∗,m≥1a1+2a2+⋯+nan ,则 ( )
A. 数列 an 是等比数列 B. 数列 Sn 是等比数列
C. m 的最小值为 6 D. m 的最小值为 7
【答案】BD
【解析】
【分析】由数列 an 与 Sn 的关系可得 an+1=2ann≥2 ,再结合等比数列的通项可得 an 的通项公式,从而可得 Sn 的通项公式,即可判断 A、 B ; 利用错位相减法求出 1a1+2a2+⋯+nan ,结合范围即可判断 C、D .
【详解】选项 A: 因为 a1=1,an=Sn−1n≥2 ,所以 a2=a1=1 ,
当 n≥2 时, an+1=Sn=Sn−1+an=2an ,故 an=a2⋅2n−2=2n−2n≥2 ,
且 a1=1 不满足上式,
故数列 an 的通项公式为 an=1,n=12n−2,n≥2 ,故 A 错误;
选项 B: 由 A 推导的结论得当 n≥2 时, Sn−1=an=2n−2=2n−1−1 ,
即当 n≥1 时, Sn=2n−1 ,从而有 Sn+1Sn=2n2n−1=2 ,
故数列 Sn 是以 2 为公比的等比数列,故 B 正确;
选项 C、D: 设 Tn=1a1+2a2+⋯+nan ,则 T1=1 ,
当 n≥2 时,由 A 推导的结论得 nan=n⋅22−n ,
故 Tn=1+2⋅20+3⋅2−1+⋯+n⋅22−n ,①
从而 12Tn=12+2⋅2−1+3⋅2−2+⋯+n⋅21−n ,②
由①-②得 12Tn=52+2−1+2−2+⋯+22−n−n⋅21−n
=52+2−11−2−1n−21−2−1−n⋅21−n=72−n+22⋅22−n
整理可得 Tn=7−n+2⋅22−n ,
由于 n+2⋅22−n>0 ,所以 Tnmax6 ,
所以符合题设条件的 m 的最小值为 7 . 故 C 错误, D 正确.
故选: BD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上,且抛物线的焦点到其准线的距离为 4 , 则抛物线的标准方程为_____.
【答案】 y2=−8x
【解析】
【分析】设抛物线方程为 y2=−2pxp>0 ,再根据 p 的几何意义求出 p ,即可得解.
【详解】依题意设抛物线方程为 y2=−2pxp>0 ,
因为抛物线的焦点到其准线的距离为 4,所以 p=4 ,
所以抛物线的标准方程为 y2=−8x .
故答案为: y2=−8x
13. 在等比数列 an 中, a2=2,a10=32 ,则 a6= _____.
【答案】 8
【解析】
【分析】由题意可知 a6 和 a2 同号,结合等比数列的下标和性质可求得 a6 的值.
【详解】等比数列 an 中,由等比数列的下标和性质可求得 a62=a2a10=2×32=64 , 由题意可知 a6 和 a2 同号,即 a6>0 ,故 a6=8 .
故答案为: 8
14. 在所有棱长均相等的正三棱柱 ABC−A1B1C1 中， D 是 A1B1 的中点， AF=13AA1 ， CE=23CC1 ，则异面直线 BD ， EF 所成角的余弦值为_____.
【答案】 220
【解析】
【分析】根据已知建立空间直角坐标系, 应用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值.
【详解】如图,取 AB 的中点 O ,以 O 为坐标原点, OB,OC,OD 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系.
设 AB=6 ,则 B3,0,0,D0,0,6,E0,33,4,F−3,0,2 ,
则 BD=−3,0,6,EF=−3,−33,−2 .
设异面直线 BD,EF 所成的角为 θ ,
则 csθ=BD⋅EFBDEF=9+0−129+36×9+27+4=220 .
故答案为: 220 .

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤.
15. 已知圆 C:x+12+y−22=9 ,直线 l:x−y−2=0 .
(1)判断直线 l:x−y−2=0 与圆 C 的位置关系;
( 2 )求经过点 M2,0 的圆 C 的切线方程.
【答案】(1)相离(2) x=2 和 5x−12y−10=0
【解析】
【分析】(1)首先求出圆心坐标与半径,再求出圆心到直线 l 的距离,即可判断;
(2)分斜率存在与不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设直线方程为 y=kx−2 ,利用圆心到直线的距离等于半径得到方程,求出 k ,即可得解.
【小问 1 详解】
圆 C:x+12+y−22=9 的圆心为 C−1,2 ,半径 r=3 ,
则圆心 C−1,2 到直线 l:x−y−2=0 的距离 d=−1−2−212+−12=522>3 ,
所以直线 l:x−y−2=0 与圆 C 相离.
【小问 2 详解】
过点 M2,0 的斜率不存在的直线方程为 x=2 ,
满足圆心 C−1,2 到 x=2 的距离为 3,符合题意;
当斜率存在时,设直线方程为 y=kx−2 ,即 kx−y−2k=0 ,
则圆心 C−1,2 到直线 kx−y−2k=0 的距离 d1=−k−2−2kk2+−12=3 ,解得 k=512 ,
所以直线方程为 512x−y−56=0 ,即 5x−12y−10=0 ,
综上可得过点 M2,0 的圆 C 的切线方程为 x=2 和 5x−12y−10=0 .

16. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长为 22 ,焦点为 F1,F2 ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,当直线 l 垂直于椭圆长轴时,线段 AB 的长度为 2 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)当直线 l 的倾斜角为 60∘ 时,求以线段 AB 为直径的圆的标准方程.
【答案】(1) x22+y2=1
(2) x−672+y+372=3249
【解析】
【分析】(1) 依题意可得 2a=22 ,即可求出 a ,再由通径求出 b2 ,即可得解;
(2)首先求出直线 l 的方程，将直线和椭圆联立，利用韦达定理找出 AB 中点和弦长，用圆的标准方程求解即可.
【小问 1 详解】
依题意可得 2a=22 ,故 a=2 ,
则椭圆方程为 x22+y2b2=1 ,设 F2c,0 ,
则当直线 l 垂直于椭圆长轴时直线 l 的方程为 x=c ,代入 x22+y2b2=1 得 c22+y2b2=1 ,
则 y2b2=1−c22,∴y2b2=2−c22=b22 ,
则 y2=b42,∴y=±b22 ,则 AB=b22−−b22=2b2 ,
又线段 AB 的长度为 2 ,则 2b2=2 ,即 b2=1 ,
故椭圆 C 的方程为 x22+y2=1 .
【小问 2 详解】
由( 1 )知 F21,0 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
又直线 l 倾斜角为 60∘ ,故直线 l 的方程为 y=3x−1 ,
代入 x22+y2=1 并整理得 7x2−12x+4=0 ,
易知 Δ=−122−4×7×4=32>0 ,则 x1+x2=127,x1x2=47 ,
因此 AB=1+32⋅x1+x22−4x1x2=21272−4×47=827 ,
又 y1+y2=3x1+x2−2=−237 ,
故以线段 AB 为直径的圆的圆心为 67,−37 ,半径 r=12AB=427 ,
故所求圆的标准方程为 x−672+y+372=3249 .

17. 在如图所示的几何体中， AE⊥ 平面 ABC ， CD//AE ， F 是 BE 的中点， AC=BC=1 ， ∠ACB=90∘,AE=2CD=2 .

(1)求证: DF⊥ 平面 ABE ；
(2)求平面 BCD 与平面 EBD 的夹角的余弦值；
(3)求点 E 到平面 ABD 的距离.
【答案】(1)证明见详解；
(2) 33 ；
(3) 233 .
【解析】
【分析】(1) 取 AB 的中点 G ,连接 CG,FG ,证明四边形 CDFG 是平行四边形,得 DF//CG ,由线线垂直证明 CG⊥ 平面 ABE ,再由线线垂直的性质证明 DF⊥ 平面 ABE ;
(2)建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，利用两向量夹角的计算公式计算即得；
(3)由点到平面的距离的向量公式求出点 E 到平面 ABD 的距离.
【小问 1 详解】
取 AB 的中点 G ,连接 CG,FG ,
由 F 是 BE 的中点,得 GF//AE ,而 CD//AE ,则 CD//GF .
又 GF=12AE=1=CD ,于是四边形 CDFG 是平行四边形, DF//CG ,
在 △ABC 中, ∠ACB=90∘,AC=BC=1 ,有 CG⊥AB ,
又由 EA⊥ 平面 ABC,CG⊂ 平面 ABC ,得 EA⊥CG ,
而 AB∩EA=A,AB,EA⊂ 平面 ABE ，
因此 CG⊥ 平面 ABE ,所以 DF⊥ 平面 ABE .
【小问 2 详解】

由(1)已知 CD⊥ 平面 ABC ，而 AC⊥BC ，则直线 CA,CB ， CD 两两垂直，
如图,以 C 为原点,直线 CA,CB,CD 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,
于是 A1,0,0,B0,1,0,C0,0,0,D0,0,1,E1,0,2 ,
,则 BD=0,−1,1,DE=1,0,1,BC=0,−1,0 ,
设 n=x2,y2,z2 是平面 EBD 的一个法向量,
则 n⋅BD=−y2+z2=0n⋅DE=x2+z2=0 ,故可取 n=−1,1,1 ,
易知平面 BCD 的一个法向量为 CA=1,0,0
设平面 BCD 与平面 EBD 的夹角为 θ ，
因此 csθ=csn,CA=n⋅CAn⋅CA=13×1=33 ,
所以平面 BCD 与平面 EBD 夹角的余弦值是 33 .
【小问 3 详解】
由 (2) 知 AB=−1,1,0,AD=−1,0,1,AE=0,0,2 ,
设 m=x1,y1,z1 是平面 ABD 的一个法向量,
则 m⋅AB=−x1+y1=0m⋅AD=−x1+z1=0 ,故可取 →​m=1,1,1 ,
则点 E 到平面 ABD 的距离 d=AE⋅mm=23=233 .
18. 已知数列 an 满足 a1=2,an+1=3an+2n+1 ,令 bn=an2n .
(1)证明:数列 bn+2 为等比数列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)令数列 1an 的前 n 项和为 Sn ，证明: Sn