山东省德州市2026届高三二模考试数学试卷含答案（word版）

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二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 240;13.23;14.925 .
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】
(1)过 A,D 分别作直线 BC 的垂线，垂足分别为 E,F ，易知 tan∠ABE=12 ，
因为 AB=5 ，所以 AE=1,BE=2 ， 3 分
所以 CE=CB+BE=6 ，
在直角 △AEC 中, tan∠ACE=AECE=16 . 6 分
(2)在直角 △AEC 中，由勾股定理知 AC2=AE2+EC2=37 .
在直角 △DCF 中,因为 cs∠BCD=35,CD=5 ,所以 FC=3,FD=4 .
于是有 AD2=DF−AE2+EF2=18 , 10 分
在 △ACD 中,由余弦定理可知 cs∠CDA=CD2+AD2−AC22CD⋅AD=210 .
所以 cs∠CDA 的值为 210 . 13 分
16.【解析】
(1)设点 A 到平面 BCD 的距离为 ℎ ，
则 VA−BCD=13×12BD⋅BC⋅sin∠DBC⋅ℎ=33ℎ ,
又因为三棱锥 A−BCD 的体积为 33 ,所以 ℎ=1 ; 3 分
又 DA⊥AC,O 是线段 CD 的中点,所以 OA=12CD=1 ,
所以 OA⊥ 平面 BCD ,
又 OA⊂ 平面 ACD ,所以平面 ADC⊥ 平面 BDC . 6 分
( 2 )以 O 为坐标原点， OB ， OD ， OA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴
建立空间直角坐标系， 7 分
则 O0,0,0,A0,0,1,B3,0,0,C0,−1,0 ,
所以 BC=−3,−1,0,AC=0,−1,−1 ,
设平面 ABC 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅BC=0n⋅AC=0 ,即 −3x−y=0−y−z=0 ,
取 x=1 ,则 y=z=3 ,所以 n=1,−3,3 , 10 分
因为 AP=λAC,OP=OA+AP=OA+λAC=0,−λ,1−λ , 12 分
设直线 OP 与平面 ABC 所成的角为 θ ，
则 sinθ=cs=OP⋅nOPn=37⋅2λ2−2λ+1=427 ,解得: λ=12 ,
故 λ 的值为 12 . 15 分
17.【解析】
(1)由题意可知 f′x=1x−cs1−x ,
因为 x∈(0,1] ,所以 f′x=1x−cs1−x≥0 恒成立, 3 分
所以 fx 在 (0,1] 单调递增,
所以 fxmax=f1=0 ,
所以 fx 在 0,1 最大值为 0 . 6 分
(2)由(1)知 ∀x∈(0,1],sin1−x+lnx≤0 ，即 sin1−x≤ln1x . .8 分
令 x=i2−1i2∈0,1 ,其中 i≥2,i∈N∗ ,
则 sin1i2≤lni2i2−1=lni2i−1i+1 . 11 分
所以 sin122+sin132+⋯+sin1n2