北京市朝阳区2026届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份北京市朝阳区2026届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附答案），文件包含随州市2026届高三下学期4月三模考试化学pdf、随州市2026届高三下学期4月三模考试化学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，集合A满足=(−1,1)，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数的实部与虚部的和是
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等差数列的前项和为，，则
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（4）已知向量．若三点共线，则
（A） （B） （C）1 （D）2
（5）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则
（A） （B） （C） （D）
（6）已知函数，则的所有零点之和为
（A） （B） （C） （D）
（7）设，则“且”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知函数，则
（A），（B），
（C），（D），
（9）某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率．现有两种学习率衰减策略A和B，初始学习率相同，策略A的参数为，策略B的参数为．已知当训练步数为时，策略A的学习率首次大于策略B的学习率的2倍，当训练步数为时，策略A的学习率首次大于策略B的学习率的8倍，则（参考数据：）
（A） （B） （C） （D）
（10）已知集合．设集合满足，且对任意的，存在,使得，则的最大值为
（A）50 （B）51 （C）52 （D）53
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在的展开式中，常数项为_______．（用数字作答）
（12）已知抛物线，则的准线的方程为_______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为_______．
（13）已知点，点为圆上的动点，若，则的一个取值为_______．
（14）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥．当平面平面时，_______；当平面平面时，三棱锥的体积为_______．
（15）设无穷数列的前项和为，且对于任意，，给出下列四个结论：
①存在，使得是常数列；②任意，不是递增数列；
③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）；
④任意，既有最大值，又有最小值．其中正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使得有两个，求这两个三角形的面积．
条件 ①：；条件 ②：；条件 ③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，．点是的中点，平面与交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值．
（18）（本小题13分）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关，该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类．为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，并分别整理得到如下两个频率分布直方图：
现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为A，在区间的满意度评级为B，在60分以下的满意度评级为C．用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该研究团队又对另外两款人工智能助手进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为．现分别从使用这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用()的学习场景用户的满意度评级为A，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为B或C．设，，判断的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下顶点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点．求证：直线经过点．
（20）（本小题15分）已知函数，，其中．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，证明：．
（21）（本小题15分）若数列满足如下两个性质，则称为数列：
① 是的一个排列；
② 是的一个排列．
（Ⅰ）判断数列和数列是否为数列？说明理由；
（Ⅱ）若数列满足，求证：数列不是数列；
（Ⅲ）若数列为数列，求的最小值．
（1）B（2）C（3）B（4）B（5）A（6）D（7）B（8）C（9）A（10）C
（11） （12） （13）（答案不唯一）（14） （15）② ③
（16）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理,得．所以．因为，所以．所以，即．又因为，所以．
（Ⅱ）选择条件 ②：．由正弦定理，得．由余弦定理，得，解得或．经检验知有两个．
当时，；
当时，．
选择条件 ③：．由余弦定理，得，解得或．以下同选条件 ②．
（17）解：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面．又因为平面，且平面平面，所以．
（Ⅱ）连接，在中，因为，，所以是等边三角形，．
在梯形中，因为，所以．
故在中，，且，所以．
又，所以．所以．
又因为平面，所以．
如图，建立空间直角坐标系．则．
，，．设平面的法向量为，由得令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．
（18）解：（Ⅰ）由题知，，所以．
（Ⅱ）的所有可能取值为．从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取一人，此人满意度评级为A的概率估计为；从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取一人，
此人满意度评级为A的概率估计为．所以可估计为；
可估计为；可估计为；
可估计为．所以的分布列为
故的数学期望可估计为．
（Ⅲ）．
（19）解：（Ⅰ）由题意得解得．所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）依题意，直线的斜率存在且不为1．设直线的方程为．由得．由，得或
又直线不经过点，故．设(，),则．由题可知，，，直线的方程为()，直线的方程为．由得所以．所以，．所以又因为所以．所以直线经过点．
（20）解：（Ⅰ）的定义域为，，令，得．与在区间上的变化情况如下：
所以当时，取得最大值．
（Ⅱ）由题设知．当时，，所以在区间上单调递增．因为在区间上有且只有一个零点，所以即所以．由（Ⅰ）可知在区间上单调递减，又，所以在区间上有且只有一个零点．因为，又，所以．又，，在区间上单调递减，所以，即．
（Ⅲ）因为，设，则．设，则，所以在上单调递增．故，即，所以在上单调递增．故．所以当时，，即．又，所以．即．
（21）解：（Ⅰ）因为，，，而不是的一个排列，所以数列不是数列．因为是的一个排列，又，，，，是的一个排列，所以数列是数列．
（Ⅱ）假设数列为数列，则．
因为与（）的奇偶性相同，
所以与的奇偶性相同．
所以与的奇偶性相同．
又是偶数，是奇数，矛盾．
所以数列不是数列．9分
（Ⅲ）因为数列为数列，
所以，
且
．所以．
所以． 因为，，
所以，即． 令，
则，所以，
即数列为数列．
所以的最小值为． ………………15分
学习场景用户评分
工作场景用户评分
＋
－
↗
↘