北京市东城区2026届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附答案）

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第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．2B．1C．0D．
3．双曲线的焦距为（ ）
A．1B．C．D．4
4．在中，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．实数，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
7．已知为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为．若点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在长方体中，，，则（ ）
A．棱上存在点，使得B．棱上存在点，使得
C．棱上存在点，使得D．棱上存在点，使得
9．已知函数的定义域为，对实数，设集合，集合，那么“，”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ）
A．15B．10C．9D．5
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知抛物线的准线方程为，那么的焦点到准线的距离为______．
12．已知，则的一个可能值为________．
13．设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________．
14．在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：）
15．已知函数的定义域为，且．当时，设为大于1的正整数，给出下列四个结论：
①存在，使得且；
②方程的解的个数为；
③若为方程的解，则的最小值为4；
④对任意有理数，存在，使得．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．已知函数．
(1)若，，求实数的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一，求在区间上的取值范围．
条件①：；
条件②，的最小正周期为；
条件③：的最大值与最小值之和为0．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在四棱锥中，，，，，为的中点，．
(1)设平面平面，求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．某种机床运行三个月后，需对这三项指标是否合格进行检测．现随机抽取10台机床，对指标检测情况统计如下表．用“×”表示该指标不合格，用“○”表示该指标合格．
设各机床之间相互独立．用频率估计概率．
(1)某台机床运行三个月后，估计这台机床的指标合格的概率；
(2)规定指标合格记1分，指标合格记2分，指标合格记2分；若某项指标不合格．该项指标记0分．将一台机床三项指标分数之和作为该机床的评分．现从全体机床中随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大于8的概率；
(3)设随机变量表示一台机床合格指标的个数．随机抽取10台机床进行检测，记事件= “这10台机床中合格指标个数为0，1，2，3的机床台数分别为1，2，3，4”．
判断服从下面哪个分布，事件发生的概率更大．（结论不要求证明）
分布1 分布2
19．已知椭圆经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点不在直线上，直线，分别交直线于点，．求证：四边形为平行四边形.
20．已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的最小值；
(2)讨论的单调性；
(3)已知，求过点且与曲线相切的直线的条数．
21．已知正整数数列，令．给定非负整数，若对任意的，都存在正整数，且，使得，则称数列具有性质．
(1)直接写出数列：1，1，2，2和：1，1，1，3是否具有性质；
(2)若数列具有性质，判断1，2能否同时为中的项，并说明理由；
(3)已知为奇数，是首项为1，公差为2的等差数列，求证：数列具有性质．
（ 1 ）D （ 2） A （ 3 ） D （ 4）C （ 5） B（ 6）A （ 7） D （ 8） C （ 9） B （10）B
（11） （12）（答案不唯一 ） （13） （14） （15）② = 3 \* GB3 ③④
（16）解：（Ⅰ）因为，，所以.解得.
（Ⅱ）选择条件①②. .因为的最小正周期为，
所以.解得.，即. 所以.因为，所以，所以. 所以函数在区间上的取值范围是．
选择条件 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③. ，因为的最小正周期为，所以.解得.的最大值为，最小值为，所以最大值与最小值之和为，即. 所以. 因为，所以，所以. 所以函数在区间上的取值范围是．
（17）解：（Ⅰ） 因为∥，平面，平面，所以∥平面.又因为平面，平面平面，所以∥.
（Ⅱ）取的中点，连接，因为为中点，所以∥.因为，所以，又因为平面，，平面，所以，.
如图建立空间直角坐标系，则,,,,.
因此，，，.
设平面的法向量为，则即令，则，.于是.设平面的法向量为，则即令，则，.于是.设平面与平面夹角为，则.平面与平面夹角的余弦值为
（18）解：（Ⅰ）设事件“这台机床的指标合格”，样本中指标合格的机床有6台，所以，
所以“这台机床的各项指标都合格”的概率估计为.
（Ⅱ）设事件“一台机床评分为5”；设事件“一台机床评分为4”；则，.
这两台机床评分总和大于8的概率估计为
.
（Ⅲ）分布2.
（19）解：（Ⅰ）由题意得，解得，．所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为．线段的中点为.由，得，
设，，则，. 直线的方程为，直线的方程为．令，得点，的纵坐标分别为所以，． 因为 . 所以线段与的中点重合.
所以四边形为平行四边形．
（20）解：（Ⅰ）由题意知，，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增. 所以当时，函数取最小值，故函数的最小值为.因为，所以函数的最小值为1. ………………………………………………5分
（Ⅱ）由，得. 设，则. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为. 因为， 所以当时，. 所以函数在上单调递增.
（Ⅲ）因为直线过点，所以. 令，则. （Ⅱ）可知. 令，得. 与的变化情况如下：
因为，. ，所以在内有且仅有一个零点.所以在内共且两个零点1与.因为，所以过点且与曲线相切的直线的条数为2.
（21）（Ⅰ） 数列不具有性质，数列具有性质
（Ⅱ）假设数列具有性质，由已知，因为为偶数，
所以与同为奇数或同为偶数.若1和2均为数列中的项，则与同为奇数或同为偶数，矛盾.所以1，2不能同时为数列中的项
（Ⅲ）首先证明去掉后，存在正整数，使得.
1）若.去掉后剩余项，子列满足
.
2）若.子列满足
.
下证去掉后，存在正整数，使得.
令，此时剩余项，记为，且.
分为组为，其中.则每组的差的绝对值为2或4，且至多有一个值为4.
所以，
存在，，使得，
当时，
此时存在正整数，使得.
当时，有
因此存在正整数，使得.
综上，结论成立.
机床
指标
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
0
1
2
3
0.1
0.3
0.2
0.4
0
1
2
3
0.2
0.2
0.2
0.4
＋
0
－
↗
极大值
↘