北京市丰台区2026届高三下学期一模考试数学试卷（Word版附答案）

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第一部分 （选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则CuA=
（A） （B） （C） （D）
2．若，则
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为2，则的标准方程为
（A）（B） （C） （D）
4．已知，，，则，，的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
5．已知，则
（A）8 （B）（C）40 （D）
6． 如图，在三棱锥中，△ABC和△ABD是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，则
（A） （B）2 （C） （D）
7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则
（A） （B） （C） （D）
8． 某聚乙烯材料的抗拉强度（单位：MPa）与时间（单位：年）的关系为，其中和是正的常数.已知经过5年，该材料的抗拉强度衰减为原来的一半，则其抗拉强度衰减为原来的大约经过
（参考数据：，）
（A）7.3年 （B）11.6年 （C）12.5年 （D）23.2年
9．已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
10．在平面内，，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为
（A）2 （B） （C）4 （D）
第二部分 （非选择题 110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 函数的定义域是 .
12. 抛物线的焦点坐标为 ．
13. 已知函数.若，则 ；若在区间上至少有3个零点，则的一个取值可以为 .
14. 西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具.已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则 ；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可以组合出的不同称量值共有 种.
15. 已知函数，其中.给出下列四个命题：
①存在实数，使的值域为；
②存在实数，使有8个零点；
③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形；
④对于任意实数，存在，使有三个极大值点.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题14分）如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是矩形，AF∥DE，AF⊥AD，AF=AD=2，AB=DE=1.
（Ⅰ）求证：BF⊥AD；（Ⅱ）若AF⊥AB，求直线BF与平面CEF所成角的正弦值.
17.（本小题13分）在△中，分别为内角所对的边，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求△的周长.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. （本小题13分）为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日的价格变化情况，如下表所示. 在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价格与前一个交易日价格相同.
用频率估计概率.
（Ⅰ）试估计该大宗商品价格“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取5天，试估计该大宗商品价格在这5天中至少有3天“上涨”且至少有1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为，，，且.若该大宗商品每个交易日的价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第31个交易日的成交概率与的大小.（结论不要求证明）
19. （本小题15分）已知椭圆，椭圆E上一点到两焦点的距离之和为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆E交于不同的两点，．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程．
20. （本小题15分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若，证明：当时，；
（Ⅲ）若存在，使成立，求实数的取值范围.
21. （本小题15分）对于有穷正数数列，若满足对任意的 ，都有（是常数，且），则称数列具有性质.
对数列定义“分拆”，将中的第项分拆为两项，并得到数列，其中，且.特别地，当时，；当时，.
对有穷正数数列，令数列.若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列.
（Ⅰ）若，判断以下数列是否为的1阶完美分拆数列（结论不要求证明）.
= 1 \* GB3 ① 1,1,1； = 2 \* GB3 ② 2,0.5,0.5.
（Ⅱ）当时，若为数列的1阶完美分拆数列，证明：数列中被分拆的一定是最大项；
（Ⅲ）若数列为数列的阶完美分拆数列，证明：的最大值为4.
11．12．13．2 ；6（答案不唯一）14． 4；3115． = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③④
16.（Ⅰ）证明：因为四边形是矩形，所以，又因为，， ，所以平面，因为平面，所以.
（Ⅱ）解：因为，，，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，因此，，.
设是平面CEF的一个法向量，
则即得
令，得，则. …………11分
设直线BF与平面CEF所成角为，则
.即直线BF与平面CEF所成角的正弦值为.
17.解：（Ⅰ）因为 ，所以.因为，所以，所以，所以.
（Ⅱ）选择条件①：因为，由正弦定理，得.因为，所以，所以..由正弦定理，得.所以三角形的周长
选择条件②：.因为，，所以.由正弦定理，得，，所以三角形的周长
18.解：（Ⅰ）根据题中数据，该大宗商品价格在30个交易日中有15天“上涨”. 设事件A =“该大宗商品价格‘上涨’”，则.
（Ⅱ）设事件B =“该大宗商品价格‘不变’”，事件C =“该大宗商品价格‘下跌’”，事件D=“该大宗商品价格在这5天中至少有3天‘上涨’且至少有1天‘不变’”.依题意可得，，.

（Ⅲ）．
19.解：（Ⅰ）由题意，得，解得，故.代入点，得，解得，故. 由，得，故离心率.
（Ⅱ）设直线的方程为，由题意可知存在且.联立消去，得，设，，则， 由韦达定理，得，. 由已知，得，
=0.所以 .
整理得 .代入得 .解得，符合. 所以直线的方程为，即.
20.解：（Ⅰ）时，，所以.，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（Ⅱ）.令，，则.
因为，所以当变化时，的变化情况如下表：
所以.由，可知在上单调递减，
所以.
（Ⅲ）由题意，存在，使成立，即存在，使成立，即成立.令，，则.
= 1 \* GB3 ①当时，在上，故在单调递增，所以，不合题意.
= 2 \* GB3 ②当时，令，.
因为，所以在单调递增，又因为，，
所以存在，使.所以当变化时，的变化情况如下表：
所以，符合题意.综上，的范围是.
21.解：（Ⅰ） = 1 \* GB3 ①是； = 2 \* GB3 ②否.
（Ⅱ）因为数列为数列的1阶完美分拆数列，所以数列的最大项只有一项，证明如下：
假设数列的最大项至少有两项，令都是数列的最大项，
设，因为，所以，与矛盾，
所以数列的最大项只有一项.
记数列的唯一最大项为，假设数列中被分拆的项是，且，
令，则，与矛盾，即假设不成立，
所以分拆的项一定是数列中的最大项.
（Ⅲ）当时，的1阶完美分拆数列为；
的2阶完美分拆数列为；
的3阶完美分拆数列为；
的4阶完美分拆数列为.
所以数列存在4阶完美分拆数列.
下面证明对于任意数列，不存在5阶完美分拆数列.
假设数列的2阶完美分拆数列为，
不妨设.
由（Ⅱ）知，为得到的3阶完美分拆数列，一定分拆 ，得到数列，其中，，，及.
若,则由，即及，可得
.
若，有，与题设矛盾，不合题意.
此时，数列中的最大项无法再分拆，此时分拆结束.
于是，为得到4阶完美分拆数列，必须有，此时,.
所以，分拆为，，得到数列，其中，及.
于是.
若是数列中的最大项，
因为，即，又，
于是，与假设矛盾.
所以不是此时数列的最大项.
若是数列中的最大项，
因为，所以，
又，所以 ，与假设矛盾.
所以不是此时数列的最大项.
所以是此时数列的最大项.
此时，应有，否则，，
于是，
与题设矛盾，不合题意，所以.
若，有，与题设矛盾，不合题意.
此时，数列中的最大项无法再分拆，此时分拆结束.
因此，若数列存在阶完美分拆数列，则.
综上，的最大值为4.
时段
价格变化
第1~15个交易日
↓
↑
↑
↓
→
↑
→
↑
↑
↑
↓
→
↑
↑
↓
第16~30个交易日
→
↑
↑
↑
→
↓
↓
↑
↓
→
↑
↓
↓
↑
↑
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
C
C
B
A
B
↑
极大值
↓
↓
极小值
↑