北京市丰台区2026届高三下学期一模考试数学试卷含解析（word版）

这是一份北京市丰台区2026届高三下学期一模考试数学试卷含解析（word版），共31页。
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则
A B. C. D.
3. 已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. 8B. C. 40D.
6. 如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（ ）
A. B. 2C. D.
7. 已知角顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 某聚乙烯材料的抗拉强度（单位：）与时间（单位：年）的关系为，其中和是正的常数．已知经过5年，该材料的抗拉强度衰减为原来的一半，则其抗拉强度衰减为原来的大约经过（参考数据：）（ ）
A. 7.3年B. 11.6年C. 12.5年D. 23.2年
9. 已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为___________．
12. 抛物线的焦点坐标为_____．
13. 已知函数．若，则______；若在区间上至少有3个零点，则的一个取值可以为______．
14. 西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种．
15. 已知函数，其中．给出下列四个命题：
①存在实数，使的值域为；
②存在实数，使有8个零点；
③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形；
④对于任意实数，存在，使有3个极大值点．
其中所有正确命题的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在多面体中，面是矩形，，．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 在中，，，分别为内角，，所对的边，．
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日的价格变化情况，如下表所示．在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价格与前一个交易日价格相同．
用频率估计概率．
（1）试估计该大宗商品价格“上涨”的概率；
（2）假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取天，试估计该大宗商品价格在这天中至少有天“上涨”且至少有天“不变”的概率；
（3）假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为，且．若该大宗商品每个交易日价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第个交易日的成交概率与的大小．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：当时，；
（3）若存在，使成立，求实数的取值范围．
21. 对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列．
（1）若，判断以下数列是否为1阶完美拆分数列（结论不要求证明）：
①②2，0.5，0.5．
（2）当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项；
（3）若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4．
时段
价格变化
第个交易日
↓
↑
↑
↓
↑
↑
↑
↑
↓
↑
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↓
第个交易日
↑
↑
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↓
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↓
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