2026年高考数学三轮复习讲义-平面向量矩形大法及解析（word版）

这是一份2026年高考数学三轮复习讲义-平面向量矩形大法及解析（word版），共40页。学案主要包含了求向量数量积，求长度或模长，求数量积的最值或取值范围问题，求模长的最值或取值范围问题等内容，欢迎下载使用。
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：(1)
(2)
证明：由极化恒等式得
因为矩形ABCD，所以，则由①、②可得PA·PC=PB·PD
由PA·PC=PB·PD可得PA2+PC2=PB2+PD2.
几点说明：
(1)矩形大法,适用于以矩形为背景的问题。如果题目本身给出了矩形当然好,如果没给出矩形,但是给出了两条线段(两个向量垂直),那么我们就可以以这个直角为矩形的一个内角,构造矩形。一旦构造出矩形,就可以运用矩形大法解决问题了.
(2)矩形大法的第一个结论,往往适用于求向量的数量积。这两个向量的数量积不容易求,就可以转化为另外两个向量的数量积。这里体现了数学中的转化(化归)思想，具有深刻的意义.
(3)矩形大法的第二个结论,往往运用于与向量(线段)长度有关的问题。如果两个向量的长度都不确定,另外两个向量中一个长度确定，那么这种转化一定会给我们带来极大的方便。(模长平方和：|PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|²，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题。结合三角不等式或轨迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形大法转化为对角线关系，快速得出范围。)
(4)矩形大法，常用于求与向量有关的最值或取值范围问题，这种方法以几何推理为基础,所以会在很大程度上依赖平面几何的知识。
(5)有人喜欢建立坐标系,用坐标法解决问题。用坐标法有两个缺点：一是会产生大量运算,二是很多问题未必能容易地建立坐标系。矩形大法是一种用逻辑推理代替代数运算的方法,值得大力倡导
题型一 求向量数量积
【例1】在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则__________.
【变式1】已知O为矩形内一点，满足，，，则 ．
题型二 求长度或模长
【例2】已知点为矩形所在平面上一点,若,求.
【变式1】在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则
2 B.4 C.5 D.10
题型三 求数量积的最值或取值范围问题
【例3】在三角形中,,，点P满足,则的最大值为( )
A.11 B.16 C.18 D.25
【变式1】在四边形中，，，则的最小值为 .
题型四 求模长的最值或取值范围问题
【例4】已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________.
【变式1】已知向量满足,,则的最大值等于
【变式2】已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点为圆上两个不同的点，且，若，则最小值为 .
【变式4】在平面内，若，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【变式5】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【变式6】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且.若，则的最小值为______．