2025-2026学年庆阳市高三下学期联考数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年庆阳市高三下学期联考数学试题（含答案解析），共30页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，，，则，已知复数z＝等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
2．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
5．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A．B．C．D．
8．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是
A．B．C．D．
9．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（ ）
A．B．C．2D．﹣2
11．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种B．20种C．22种D．24种
12．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______.
14．三棱柱中， ，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．
15．已知，若，则________.
16．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角平面角的余弦值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
19．（12分）设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．
20．（12分）已知函数（）
（1）函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）当时，对于任意，当时，不等式恒成立，求出实数的取值范围.
21．（12分）已知函数．
(Ⅰ)求函数的极值；
(Ⅱ)若,且,求证：．
22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积的值（或最大值）．已知的内角，，所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：，且 ，求的面积的值（或最大值）．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积.
故选：A.
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
2．B
【解析】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.
【详解】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；
③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.
故选：B.
本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.
3．B
【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．
【详解】
将函数的图象向左平移个单位，
得到，
此时与函数的图象重合，
则，即，，
当时，取得最小值为，
故选：．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．
4．A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
5．A
【解析】
首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
样本空间样本点为个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是，
但合并计算时会有重复，重复数量为，
事件的样本点数为：个．
故不同的样本点数为8个，.
故选：A
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
6．D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
7．C
【解析】
根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
此时输出.
故选：C.
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
8．B
【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为，
.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
9．C
【解析】
根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得，，
当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，
，即，
故选：C.
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
10．D
【解析】
化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.
【详解】
因为z＝（1+2i）（1+ai）=，
又因为z∈R，
所以，
解得a＝-2.
故选：D
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．B
【解析】
分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.
【详解】
根据医院A的情况分两类：
第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同
分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，
共有种不同分配方案；
第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，
在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，
共有种不同分配方案；
共有20种不同分配方案.
故选：B
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.
12．D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围.
【详解】
连接，如下图所示：
设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，
由向量线性运算可知
正方体的棱长为2，则球的半径为1，，
所以
，
而
所以，
即
故答案为：.
本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.
14．
【解析】
分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心，
设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值
【详解】
如下图，
∵三棱柱为正三棱柱
∴设，
∴三棱柱的侧面积为
∴
又外接球半径
∴外接球表面积.
故答案为：

考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
15．1
【解析】
由题意先求得的值，可得，再令，可得结论．
【详解】
已知，
，，
，
令，可得，
故答案为：1．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
16．①
【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；
由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．
【详解】
解：①在中，，故①正确；
②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，
但是，故②错误；
③对于函数，若，满足，
但可能为奇函数，故③错误；
④函数与的图象，可令，即，
即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．
故答案为：①．
本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.
【详解】
（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.
由平面平面，且交于，平面，有平面，
由平面平面，且交于，平面，有平面
，所以∥，又平面，平面，所以∥平面
，由，有，∥，又平面，平面
，所以∥平面，
由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取，
点，点，点，，，
设面的法向量，所以
，取，
二面角的平面角为，则为锐角.
所以
本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.
18．（1）当 时，直线l方程为x＝－1；当 时，直线l方程为
y＝(x＋1)tanα； x2＋y2＝2x （2）或.
【解析】
（1）对直线l的倾斜角分类讨论，消去参数即可求出其普通方程；由，即可求出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件Δ＝0，即可求解.
【详解】
(1)当时，直线l的普通方程为x＝－1；
当时，消去参数得
直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.
由ρ＝2cs θ，得ρ2＝2ρcs θ，
所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcs α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，
整理得t2－4tcs α＋3＝0.
由Δ＝16cs2α－12＝0，得cs2α＝，
所以cs α＝或cs α＝，
故直线l的倾斜角α为或.
本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.
19． (1)（2）
【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{an}的公比为q，则q+q2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）
（2），
两式相减：
20．（1）极小值为，极大值为.（2）
【解析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数，再对函数求导，即可求得函数的极值；
（2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数，根据是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，，，
可知，，
解得，，
可知在，时，，函数单调递增，
在时，，函数单调递减，
可知函数的极小值为，
极大值为.
（2）可以变形为，
可得，
可知函数在上单调递减
，
，
可得，
设，
，
可知函数在单调递减，
，
可知，
可知参数的取值范围为.
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
21． (Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．
【详解】
(Ⅰ) 的定义域为且
令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减
函数的极大值为，无极小值
(Ⅱ)，
，即
由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减
且，则
要证，即证，即证，即证
即证
由于，即，即证
令
则
恒成立 在递增
在恒成立
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．
22．见解析
【解析】
若选择①，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，
将代入，得．
又，∴，当且仅当时等号成立．
∴，
故的面积的最大值为，此时．
若选择②，，结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，
则，此时为等腰直角三角形，.
若选择③，，则结合三角形的面积公式，得，化简得到，则，又，从而得到，则．