2026年陇南市高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年陇南市高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了函数在的图像大致为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为
A．或11B．或11C．D．
2．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )
A．B．40C．16D．
5．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
6．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）
A．1．1B．1C．2．9D．2．8
8．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
9．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( )
A．B．1C．D．2
11．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
12．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.
14．已知全集，集合，则______.
15．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________．
16．已知等差数列的前n项和为，，，则＝_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分.
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.
18．（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由．
19．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.
20．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？
参考公式：
21．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；
（2）设数列，其前项和为，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A．
2．A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
3．C
【解析】
求出，进而可求,即能求出向量夹角.
【详解】
解：由题意知，. 则
所以，则向量与的夹角为.
故选:C.
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.
4．D
【解析】
如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.
【详解】
如图所示：过分别作于，于.
，则，
根据得到：，即，
根据得到：，即，
解得，，故.
故选：.
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
5．B
【解析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
6．B
【解析】
根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
7．C
【解析】
根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.
【详解】
初始值，
第一次循环：，；
第二次循环：，；
第三次循环：，；
第四次循环：，；
第五次循环：，；
第六次循环：，；
第七次循环：，；
第九次循环：，；
第十次循环：，；
所以输出.
故选：C
本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.
8．D
【解析】
设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.
【详解】
，由得，整理得，
，解得，
因此，向量在向量方向上的投影为.
故选：D.
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
9．C
【解析】
先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.
【详解】
当时，，所以，故当
时，，所以，而
，所以，又当时，
的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程
的最小实根为，，则，即，此时
令，得，所以最小实根为411.
故选：C.
本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.
10．B
【解析】
由题意或4，则，故选B．
11．C
【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
12．D
【解析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．
【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：，
此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示，再由双曲线a，b，c关系表示，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.
【详解】
因为双曲线为，所以该双曲线的渐近线方程为.
又因为其一条渐近线经过点，即，则，
由此可得.
故答案为：.
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.
14．
【解析】
根据题意可得出，然后进行补集的运算即可．
【详解】
根据题意知，，
，，
．
故答案为：．
本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．
15．
【解析】
从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果
【详解】
从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，
∴
故答案为：
组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
16．
【解析】
利用求出公差，结合等差数列的通项公式可求.
【详解】
设公差为，因为，所以，即.
所以.
故答案为：
本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分，所以，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得；（2）设，，，由三点共线得，再次代入点的坐标并化简得，同理由三点共线，可得，化简得，故.
试题解析：
（1）由，整理得，
设，，则，
因为直线平分，∴，
所以，即，
所以，得，满足，所以.
（2）由（1）知抛物线方程为，且，，，
设，，，由三点共线得，
所以，即，
整理得：，①
由三点共线，可得，②
②式两边同乘得：，
即：，③
由①得：，代入③得：，
即：，所以.
所以.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立，相当于得到的坐标，但是设而不求.根据直线平分，有，这样我们根据斜率的计算公式，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线来求解.
18．（1）（2）为定值．
【解析】
（1）根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程．
（2）根据题意设直线方程：,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①
把和代入,得和 ,
,的表达式,比即可得出为定值．
【详解】
解：（1）依题意,,,．
所以椭圆的标准方程为．
（2）为定值.
①因为直线分别与直线和直线相交,
所以,直线一定存在斜率．
②设直线：,
由得,
由,
得． ①
把代入,得,
把代入,得,
又因为,
所以,
,②
由①式,得, ③
把③式代入②式,得,
,即为定值．
本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）因为，可得，即可求得答案；
（2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积.
【详解】
（1），
，
解得，
抛物线的方程为.
（2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点，
，
过点的抛物线的切线：，
由,消掉,
可得，
，即，
解得，，
又由，
得，
，，
同理可得，，
，，
，
切线的方程为，
点到切线的距离为，
，
即的面积为.
本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式
20．（1）（2）当时，年利润最大．
【解析】
（1）方法一：令，先求得关于的回归直线方程，由此求得关于的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.
（2）求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.
【详解】
（1）方法一：取，则得与的数据关系如下
，
，
，
.
，
，
关于的线性回归方程是即，
故关于的线性回归方程是.
方法二：因为，
，
，
，
，
所以，
故关于的线性回归方程是，
（2）年利润，根据二次函数的性质可知:当时，年利润最大．
本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.
21．（1），.，.
（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
【解析】
（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.
【详解】
解：（1），是边长为3的等边三角形，又，
，.
由，得.
法1：在中，由余弦定理，得
.
故直道长度关于x的函数关系式为，.
在和中，由余弦定理，得
①
②
因为M为的中点，所以.
由①②，得，
所以，所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为
，.
法2：因为在中，，
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
在中，因为M为的中点，所以.
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
（当且仅当即时取“”）.
故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.
22．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1），分，，三种情况推理即可；
（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.
【详解】
（1）由，得.
当时，方程的，因此在区间
上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.
又，所以函数在区间上恒成立；
当时，方程有两个不等实根，且满足，
所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间
上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；
当时，在区间上，函数在区间
上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；
综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.
（2）由第（1）知：若时，.
若，则，
即成立.
将换成，得成立，即
，
以此类推，得，
，
上述各式相加，得，
又，所以.
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.
x
1
2
3
4
5
y
17.0
16.5
15.5
13.8
12.2
1
2
3
4
5
7.0
6.5
5.5
3.8
2.2