2026届吉林省通化市高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届吉林省通化市高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了关于函数，下列说法正确的是，设、，数列满足，，，则，复数等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数一个递增区间为
C．函数的图像关于直线对称
D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像
5．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ）
A．1B．C．2D．
6．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知集合，，若AB，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
9．复数（ ）
A．B．C．0D．
10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）
A．B．C．D．
12．设是等差数列的前n项和，且，则( )
A．B．C．1D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．
14．已知数列的前项和为，，且满足，则数列的前10项的和为______.
15．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.
16． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点.
（1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数；
（2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标；
②当的内切圆的面积为时，求直线的方程.
18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.
21．（12分）已知函数
（1）求函数在处的切线方程
（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.
22．（10分）已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解
【详解】
如图，其中，所以
.
故选：A
本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题
2．D
【解析】
作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．
【详解】
如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，
故选：D．
本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．
3．A
【解析】
设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．
【详解】
解：设直线为，则，，
而满足，
那么
设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
故选：．
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
4．B
【解析】
化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.
【详解】
，
故函数的定义域为，故错误；
当时，，函数单调递增，故正确；
当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.
平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.
故选：.
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
5．D
【解析】
根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.
【详解】
长方体中，，
点T在棱上，若平面.
则，
则，所以，
则，
所以
，
故选：D.
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.
6．A
【解析】
试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，
则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，
∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．
7．D
【解析】
先化简，再根据，且AB求解.
【详解】
因为，
又因为，且AB，
所以.
故选：D
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．D
【解析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
9．C
【解析】略
10．D
【解析】
画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．
【详解】
画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B的坐标分别为，
∴，
∴或，
∴的取值范围为．
故选D．
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．
11．A
【解析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.
故选：A
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题
12．C
【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.
【详解】
由于等差数列满足，所以，，.
故选：C
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．5
【解析】
由，，且，得，解得，则，则．
14．1
【解析】
由得时，，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和．
【详解】
解：数列的前项和为，，且满足，①
当时，，②
①-②得：，
整理得：（常数），
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以（首项不符合通项），
故，
所以：，
故答案为：1．
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的公式，属于基础题．
15．
【解析】
由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.
【详解】
设所给半球的半径为，则四棱锥的高，
则，由四棱锥的体积，
半球的体积为：.
【方法点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
16．充分不必要
【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.
【详解】
由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）①；②.
【解析】
（1）设过的直线交抛物线于，，联立，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出，化简即可；
（2）由（1）知点在轴上，故，设出直线方程，求出交点坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.
【详解】
（1）设过的直线交抛物线于，，
联立方程组，得：.
于是，有：
，
又，
；
（2）①由（1）知点在轴上，故，联立的直线方程：.
，又点在抛物线上，得，
又，
；
②由题得，
（解法一）
所以直线的方程为
（解法二）
设内切圆半径为，则.设直线的斜率为，则：
直线的方程为：代入直线的直线方程，
可得
于是有：
得，
又由（1）可设内切圆的圆心为则，
即：，解得：
所以，直线的方程为：.
本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
18．（1）；（2）
【解析】
方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.
其余两个方案与方案一的解法相近似.
【详解】
解：方案一：
（1）∵数列都是等差数列，且，
，解得
，
综上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵数列都是等差数列，且，
解得
，
.
综上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵数列都是等差数列，且.
，解得，
，
.
综上，
（2）同方案一
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.
19．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）解法一： 作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.
（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.
另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
，，，
，，，
，，.
（1）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴，又，
∵，，又平面，平面.
（2）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴.
同理可算得平面的一个法向量为
∴，
又由图可知二面角的平面角为一个钝角，
故二面角的余弦值为.
本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ） 结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：（Ⅰ）可得，结合，
解得，，，得椭圆方程；
（Ⅱ）易知直线的斜率k存在，设：，
由，得，
由，得，
∵，
设点O到直线：的距离为d，
，
，
由，得，
，，
∴

∴，
∴
而，，易知，∴，则，
四边形的面积
当且仅当，即时取“”.
∴四边形面积的最大值为4.
本题考查了由求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.
【详解】
（1）由于，
此时切点坐标为
所以切线方程为.
（2）由已知，
故.
由于，故，
设由于在单调递增
同时时，，时，，
故存在使得
且当时，当时，
所以当时，当时，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
故
由于，
所以，
.
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】
（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．