2026年辽宁中考数学二轮复习 热点06特殊三角形勾股定理解直角三角形(热点专练)(解析版)

这是一份2026年辽宁中考数学二轮复习 热点06特殊三角形勾股定理解直角三角形(热点专练)(解析版)，共60页。试卷主要包含了项目学习等内容，欢迎下载使用。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 等腰三角形（含等边三角形）的判定与性质
题型02 直角三角形的判定与性质（含勾股定理）
题型03 利用三角函数解直角三角形
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 等腰三角形（含等边三角形）的判定与性质
例1．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（ ）
A．36°B．144°C．36°或72°D．72°或144°
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．根据题意分以下两种情况，当36°是等腰三角形的底角，以及当36°是等腰三角形的顶角，讨论求解，即可解题．
【详解】解：当36°是等腰三角形的底角，则底角的度数为36°；
当36°是等腰三角形的顶角，则底角的度数为180°−36°2=72°；
综上所述，等腰三角形的一个角是36°，其底角的可以是36°或72°．
故选：C．
例2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，若∠BDB'=120°，则BD的长为 ．
【答案】433或833
【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当∠BDB'=120°时，分两种情况：①当点B'在BC下方；②当点B'在BC上方，解直角三角形求解即可
【详解】解：当∠BDB'=120°时，分两种情况：
①当点B'在BC下方时，如图，
设AB'与BC的交点为O,
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
由折叠得，∠B'=∠B=30°
∵∠BDB'=120°，
∴∠B'DO=60°
∴∠DOB'=90°，
∴DO=12B'D=12BD，
∴BO=BD+DO=BD+12BD=32BD，
在Rt△ABO中，BO=AB⋅cs30°=23，
∴32BD=23
解得，BD=433；
②当点B'在BC上方时，如图，
由折叠得，∠ADB'=∠ADB=12∠BDB'=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=4，
∴BD=ABcs30°=432=833，
综上所述，BD的长为433或833
故答案为：433或833
例3．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得AC=AB=6，∠ACB=60°，CD=12AC=3，再根据三角形外角性质可得∠CDE=∠ACB−∠E=30°，得到∠CDE=∠E，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=6，
∴AC=AB=6，∠ACB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴CD=12AC=3，
∵∠E=30°，
∴∠CDE=∠ACB−∠E=60°−30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD=3．
【变式1】．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连结BE．由ED=AD，∠ADC=∠EDB，BD=CD，可证△ACD≌△EBD．

【迁移】如图②，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，连结BE交AD于点F，AE=EF，求证：AC=BF．
下面是小明同学的部分证明过程，请补全余下的证明过程．
证明：延长AD至点M，使DM=FD，连结MC．
【拓展】如图③，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连结AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连结BE，F是线段BE的中点，连结DF、AF．若AD=6，则AF=______．
【答案】迁移：见解析；拓展：33
【分析】（1）延长AD至M，使MD=FD，连接MC，可证得△BDF≌△CDM，从而MC=BF，∠M=∠BFM，可证得∠EAF=∠EFA，进而得出∠M=∠MAC，进一步得出结论；
（2）延长DF至点M，使DF=FM，连接BM、AM、AF，依次证明△BFM≌△EFD，△ABM≌△ACD，进一步得出△AMD是等边三角形，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】迁移：证明：如图②，延长AD至M，使MD=FD，连接MC，

在△BDF和△CDM中，
BD=CD∠BDF=∠CDMDF=DM，
∴△BDF≌△CDMSAS，
∴MC=BF，∠M=∠BFM，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴AC=BF；
拓展：解：如图③，延长DF至点M，使DF=FM，连接BM、AM、AF，

∵点F为BE的中点，
∴BF=EF，
在△BFM和△EFD中，
BF=EF∠BFM=∠EFDFM=DF，
∴△BFM≌△EFDSAS，
∴BM=DE，∠MBF=∠DEF，
∴BM∥DE，
∵CD=DE，
∴CD=BM，
∵∠BDE=120°，
∴∠MBD=180°−120°=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABM=∠ABC+∠MBD=60°+60°=120°，
∵∠ACD=180°−∠ACB=180°−60°=120°，
∴∠ABM=∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
AB=AC∠ABM=ACDBM=CD，
∴△ABM≌△ACDSAS，
∴AM=AD，∠BAM=∠CAD，
∴∠BAM+∠MAC=∠CAD+∠MAC，
∴∠MAD=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AD=DM=2DF=6，
∴AF⊥MD，
∴AF=AD2−FD2=62−32=33
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，等边对等角，勾股定理等知识，准确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式2】．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A．B．C．D．平分
【答案】B
【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．
【详解】解：当时，
∵点在上，
∴，
∴，
∴；故选项A不符合题意；
∵，
∴，不能得到；故选项B符合题意；
∵，
∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；
故选B
【变式3】．（2024·安徽合肥·三模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是BC的中点，E，F分别在BC，AB上，连接AE，CF，两线交于点G，连接BG，DG，∠FGB=∠CGD，CE=1．
(1)求AE的长；
(2)求证：BG=2GD；
(3)求AG的长．
【答案】(1)AE=7
(2)见解析
(3)AG=7−1
【分析】（1）如图，连接AD，根据等边三角形的性质，结合勾股定理可得CD=BD=12BC=32，则AD=332，DE=CD−CE=12，再利用勾股定理即可求解；
（2）如图，延长GD至点M，使得DM=DG，连接BM，易证△CDG≌△BDMSAS，得∠M=∠CGD，则CF∥BM，可知∠FGB=∠MBG，进而可知∠M=∠MBG，即可证明BG=GM=2GD；
（3）如图，过G作CF的垂线交BD于N，由∠FGB=∠CGD可得∠BGN=∠DGN，由角平分线定理知BGDG=BNDN=2，进而可得DN=12，则NE=DN+DE=1，在Rt△GNC中，GE=12CN=1，则AG=AE−GN=7−1．
【详解】（1）解：如图，连接AD，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，则AC=AB=BC=3，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD=12BC=32，则AD=AC2−CD2=332，
∵CE=1，则DE=CD−CE=12，
∴AE=AD2+DE2=7．
（2）证明：如图，延长GD至点M，使得DM=DG，连接BM，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDG
∴△CDG≌△BDMSAS，
∴∠M=∠CGD，则CF∥BM，
∴∠FGB=∠MBG，
又∠FGB=∠CGD，
∴∠M=∠MBG，
∴BG=GM=2GD．
（3）解：如图，过G作CF的垂线交BD于N，
则∠FGB+∠BGN=∠CGD+∠DGN=90°，
∵∠FGB=∠CGD，
∴∠BGN=∠DGN，即GN平分∠BGD，
令点N到BG，DG的距离分别为ℎ1，ℎ2，点G到BD的距离为ℎ，
由角平分线的性质可知，ℎ1=ℎ2，
∴S△BGNS△DGN=12BG⋅ℎ112DG⋅ℎ2=12BN⋅ℎ12DN⋅ℎ
∴BGDG=BNDN=2，
∴DN=12BN，
∵BN+DN=BD=32，
∴DN=12，则NE=DN+DE=1，
∴E是NC的中点，
在Rt△GNC中，GE=12CN=1，
则AG=AE−GN=7−1．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
题型02 直角三角形的判定与性质（含勾股定理）
例1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：
①∠A=∠C−∠B；
②a+ba−b=c2；
③a=32，b=42，c=52；
④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】∵∠A=∠C−∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
则①正确；
∵(a−b)(a+b)=c2，
∴a2−b2=c2，
即a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
则②正确；
∵a2=92=81，b2=162=256，c2=252=625，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形．
则③不正确；
设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，根据三角形内角和定理，得
3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴△ABC不是直角三角形．
则④不正确．
正确的有2个．
故答案为：2．
例2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1】．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【变式2】．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【思考尝试】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC边上的一点，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CE．用等式写出线段CD，BD，AD的数量关系，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为边BC上的点，且∠EAF=45°．用等式写出线段EF，BE，CF的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在△ABC中，∠BAC为直角，∠ABC=45°，平面内存在一点D，使CD⊥BD．若AD=42，CD=2，求△ABC的面积．
【答案】（1）BD2+CD2=2AD2，理由见解析；（2）EF2=BE2+CF2，理由见解析；（3）10或26
【分析】（1）由∠BAC=∠DAE可知∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，然后结合勾股定理即可得出结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，连接E'F，利用SAS证明△AEF≌△AE'F，得到EF=E'F，再根据勾股定理即可得出结论；
（3）延长DB到点D'，使BD'=CD，连接AD'，易得△ABC是等腰直角三角形，利用SAS证明△ABD'≌△ACD，得到AD'=AD=42，∠DAC=∠D'AB，因此得到△DAD'是等腰直角三角形，进而可求出AB=AC=25，故S△ABC=12×25×25=10．
如解图3，过点A作AE⊥AD交BD于点E，利用AAS证明△ABE≌△ACD，得到AE=AD=42，BE=CD=2，由勾股定理得BC=BD2+CD2=226，所以AB=213，进而可得S△ABC=12×213×213=26．
【详解】解：（1）BD2+CD2=2AD2．理由如下：
由题意，得△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，DE=2AD，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，
∴CE2+CD2=ED2=2AD2=2AD2，
∴BD2+CD2=2AD2．
（2）EF2=BE2+CF2．理由如下：
如解图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'，连接E'F，则AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠B=∠ACE'．
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=∠CAE'+∠CAF=∠FAE'=45°，
∴∠EAF=∠E'AF，
∴△AEF≌△AE'FSAS，
∴EF=E'F，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE'=90°，
即∠FCE'=90°，
∴E'F2=CE'2+CF2，
∴EF2=BE2+CF2．
（3）如解图2，延长DB到点D'，使BD'=CD，连接AD'．
易得△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
∵CD⊥BD，
∴∠BAC+∠CDB=180°，
∴∠DBA+∠ACD=180°，
∵∠DBA+∠ABD'=180°，
∴∠ACD=∠ABD'，
∴△ABD'≌△ACDSAS，
∴AD'=AD=42，∠DAC=∠D'AB，
∴∠DAD'=90°，
∴△DAD'是等腰直角三角形，
∴DD'=8，
∵CD=BD'=2，
∴BD=8−2=6，
∴BC=62+22=210，
∴AB=AC=25，
∴S△ABC=12×25×25=10．
如解图3，过点A作AE⊥AD交BD于点E，则∠EAD=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠BAE=∠CAD．
∵∠AEB=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠ADE+∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC．
又∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACDAAS，
∴AE=AD=42，BE=CD=2，
∴DE=8，
∴BD=BE+DE=10，
∴BC=BD2+CD2=226，
∴AB=213，
∴S△ABC=12×213×213=26．
综上所述，△ABC的面积为10或26．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
题型03 利用三角函数解直角三角形
例1．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的13处BE=13AB，已知试管AB=24cm，试管倾斜角α为10°，实验时，导气管BF交CD的延长线于点F，且ED⊥CF，测得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的长度．（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【答案】33.84cm
【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，等腰三角形的判定．
过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P，则四边形BPDH是矩形，得到BH=DP，BP=HD，在Rt△BEH中，HE=BE⋅sin∠EBH≈1.36，BH=BE⋅cs∠EBH≈7.84，从而DP=BH=7.84，BP=HD=DE−HE=26，证明PF=BP=26，根据DF=DP+PF即可解答．
【详解】解：如解图，过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P，
∵ED⊥CF
∴四边形BPDH是矩形，
∴BH=DP，BP=HD
∵AB=24，BE=13AB=8，∠EBH=a=10°，
∴在Rt△BEH中，HE=BE⋅sin∠EBH=8⋅sin10°≈1.36，
BH=BE⋅cs∠EBH=8⋅cs10°≈7.84，
∴DP=BH=7.84，
HD=DE−HE=27.36−1.36=26，
∴BP=HD=26，
∵∠PBF=145°−90°−10°=45°，
∴∠FBP=180°−∠BPF−∠PBF=45°，
∴PF=BP=26
∴DF=DP+PF=7.84+26=33.84，
答：DF的长度约为33.84cm．
例2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长，交直线于点，
由题意得：，
设，则，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和，
∴，
解得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．

【答案】
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【变式2】．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．
参考数据：，．
【答案】世纪钟建筑的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可．
【详解】解：如图，延长与相交于点，
根据题意，可得，
有，，，，，
在Rt中，，
，
在中，，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑的高度约为．

（20分钟限时练）
1．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点E，交AD于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠ABE=∠CBEB．2∠ABE=∠CAD
C．BF=2DFD．AF=AE
【答案】C
【分析】根据角平分线定义判断A；根据∠CAD和∠ABC都是∠C的余角判断B；根据含30°的直角三角形性质判断C；根据∠C和∠BAC都是∠CAD的余角，∠AEF是△EBC的外角，∠AFE是△FAB的外角，判断D．
【详解】A、由作图知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴A正确，不符合题意；
B、∵Rt△ABC，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=∠C+∠ABC=90°，
∴∠CAD=∠ABC，
∵∠ABC=2∠ABE，
∴2∠ABE=∠CAD，
∴B正确，不符合题意；
C、当∠ABC=60°时，
∠CBE=30°，
BF=2DF，
∴C不一定正确，C符合题意；
D、∵∠C+∠CAD=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵∠AEF=∠C+∠CBE，∠AFE=∠BAD+∠ABE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
∴D正确，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含30°的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键．
2．（2024·贵州贵阳·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=4，S菱形ABCD=16，则OE的长为（ ）
A．25B．4C．2D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出BD=8，由菱形的面积得出AC=4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD=4，BD⊥AC，
∴BD=2OB=8，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=16，
∴AC=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵O为AC的中点，
∴OE=12AC=2，
故选：C．
3．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：
嘉嘉：△PNC为直角三角形．
淇淇：当AM=2时，AN=7．
珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确B．嘉嘉和淇淇正确
C．淇淇和珍珍正确D．三人都正确
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质证明∠PNC=180°−∠C−∠NPC=90°，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题．
【详解】解：由旋转可得：∠MPN=60°
∵PM⊥BC
∴∠BPM=90°
∴∠NPC=180°−∠BPM−∠MPN=30°
∵△ABC为等边三角形
∴∠C=60°
∴∠PNC=180°−∠C−∠NPC=90°
∴△PNC为直角三角形，故嘉嘉正确；
∵在等边△ABC中，AB=10，∠B=60°
当AM=2时，BM=8，
∵PM⊥BC
∴∠BMP=30°
∴BP=12BM=4
∴PC=6
∵∠NPC=180°−∠BPM−∠MPN=30°
∴NC=12PC=3
∴AN=AC−NC=7，故淇淇正确；
当BM=4时，AM=10−4=6
∴BP=12BM=2
∴CP=10−2=8
∴CN=12CP=4
∴AN=AC−CN=6=AM
∵∠A=60°
由旋转性质可得：PM=PN，∠MPN=60°
∴△MPN是等边三角形
∴∠AMN=60°=∠B
∴MN∥BC，故珍珍错误；
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质．
4．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点P为直线BC上一点，且AC=CP，连接AP，则∠BAP的度数是（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．30°或135°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意点P为直线BC上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
以点C为圆心，AC为半径画弧，分别交直线BC于两点，即P1，P2,连接AP1，AP2
∵AB=AC，∠B=30°
∴∠BCA=30°，∠BAC=180°−30°×2=120°
∵AC=CP1
∴∠P1AC=180°−∠BCA÷2=75°，
∴∠P1AB=120°−75°=45°，
∵AB=AC，∠B=30°
∴∠BCA=30°，∠BAC=180°−30°×2=120°
∵AC=CP2
∴∠CAP2=∠AP2C=15°
∴∠P2AB=120°+15°=135°，
故选：C
5．（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，则△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断∠A=30°，∠B=60°，从而可求出∠C=90°，即证明△ABC的形状是直角三角形．
【详解】∵∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，csB=12，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−30°−60°=90°，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
6．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】解：x2−6x+8=0
x−2x−4=0
解得：x=2或x=4，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为2+4+4=10，
所以三角形的周长为10，
故答案为：10．
7．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．
在中，由即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴在中，，
故答案为：．
8．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出.
在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值.
【详解】解：在上取点，使，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当在上时，取最小值，为.
故答案为.
9．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
10．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；

故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
近三年：特殊三角形与勾股定理是辽宁省中考数学几何核心考点，每年考查分值约 15-20 分，覆盖选择、填空、解答全题型。核心考查等腰三角形 “等边对等角”“三线合一”、等边三角形三边相等 / 三角均为 60°、直角三角形斜边中线等于斜边一半，以及勾股定理与逆定理的计算与应用。常结合折叠、网格、实际场景（如梯子滑动、航海测距）命题，难度中档偏上，是几何计算与证明的重点。
预测2026年：该模块命题将强化 “数形结合” 与 “实际应用”，可能融入网格作图、动态折叠等情境。利用三角函数解三角形的实际应用、勾股定理的实际应用、等腰三角形的分类讨论（边 / 角不确定）仍为高频考点，需注意多解情况，避免漏解。
解｜题｜策｜略
等腰三角形
分类讨论：已知等腰三角形两边 / 角时，需分 “腰 / 底”“顶角 / 底角” 讨论，验证是否满足三边关系 / 内角和。
三线合一：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，常用于证明垂直、平分线段 / 角。
易错提醒：忽略分类讨论，或验证三边关系时出错。
等边三角形
性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备所有等腰三角形性质，且三边相等、三角均为 60°。
判定：优先用 “有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形” 简化证明。
3、易错提醒：混淆等边三角形与等腰三角形的性质，忽略 60° 角的特殊性。
解｜题｜策｜略
性质：两锐角互余；斜边中线等于斜边一半；30° 角对直角边等于斜边一半。
判定：有一个角为 90°；两锐角互余；勾股定理逆定理。
易错提醒：混淆 “斜边中线” 与 “直角边中线”，忽略 30° 角的前提是直角三角形。
勾股定理：已知直角三角形两边，求第三边，注意区分直角边与斜边。
逆定理：已知三边，判断是否为直角三角形，验证最大边的平方是否等于另两边平方和。
实际应用：将实际问题抽象为直角三角形，用勾股定理求距离、高度等。
易错提醒：混淆直角边与斜边，逆定理中未验证最大边。
解｜题｜策｜略
核心思路：将实际测量场景转化为直角三角形问题，未知量作为直角三角形的边；
多直角三角形综合：若场景复杂，可构造多个直角三角形，利用公共边或相等线段建立联系；
3、数据处理：灵活运用参考数据，优先选择计算简便的三角函数，减少运算量。
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．
图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算
……
交流展示
……
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．

【问题解决】
问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．

问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．

求证：线段是线段的双关联线段．
证明：延长交于点F．
是等边三角形，
．
，
（依据）．
，
，
；
…