2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第02讲成对数据的统计分析(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第02讲成对数据的统计分析(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共62页。试卷主要包含了相关关系的概念和判断，相关系数的比较和计算，线性回归方程与样本中心，求线性回归方程，非线性回归方程，残差及相关指数的应用，独立性检验等内容，欢迎下载使用。
考情探究 PAGEREF _Tc1914072017 \h 2
\l "_Tc503357659" 知识梳理 PAGEREF _Tc503357659 \h 2
\l "_Tc994089280" 探究核心考点 PAGEREF _Tc994089280 \h 4
\l "_Tc235755300" 考点一 相关关系的概念和判断 PAGEREF _Tc235755300 \h 4
\l "_Tc231998385" 考点二 相关系数的比较和计算 PAGEREF _Tc231998385 \h 5
\l "_Tc1514037390" 考点三 线性回归方程与样本中心 PAGEREF _Tc1514037390 \h 7
\l "_Tc892680427" 考点四 求线性回归方程 PAGEREF _Tc892680427 \h 8
\l "_Tc959178647" 考点五 非线性回归方程 PAGEREF _Tc959178647 \h 9
\l "_Tc1903265747" 考点六 残差及相关指数的应用 PAGEREF _Tc1903265747 \h 11
\l "_Tc1418487764" 考点七 独立性检验 PAGEREF _Tc1418487764 \h 12
\l "_Tc1307884201" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc1307884201 \h 15
\l "_Tc2114639162" 基础过关 PAGEREF _Tc2114639162 \h 15
\l "_Tc2033521531" 能力提升 PAGEREF _Tc2033521531 \h 18
\l "_Tc194129512" 真题感知 PAGEREF _Tc194129512 \h 21
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】主要以应用题的方式出现，多与经济、生活实际相联系，需要在复杂的题目描述中找出数量关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题
【备考策略】
（1）了解样本相关系数的统计含义.
（2）理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.
（3）会利用统计软件进行数据分析．
【命题预测】本节是高考的热点，主要以解答题形式出现，经常与概率综合出题，一般难度为中等．也可能以选择题、填空题形式出现，难度不大．
一、相关关系
1.变量的相关关系
2.样本相关系数
①样本相关系数r的计算公式：.
②样本相关系数r的性质：
二、回归模型
1.一元线性回归模型
①最小二乘法：即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．
若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，.
其中，称为样本点的中心．
②线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量
2.判断回归模型的拟合效果
三、独立性检验
1.2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：
2．独立性检验
①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验；
②基于小概率值的检验规则：
②基于小概率值的检验规则：
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过
考点一 相关关系的概念和判断
典例1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
典例2．下列关系中，是因果关系的为（ ）
A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系
B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系
C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系
D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系
跟踪训练1．下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）
A．光照时间和果树亩产量B．降雪量和交通事故发生率
C．每亩田施肥量和粮食亩产量D．圆的面积和半径
跟踪训练2．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）．
A．①②B．①③C．②D．②③
考点二 相关系数的比较和计算
典例1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
典例2．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ）
A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系
B．图1数据正相关，图2数据负相关
C．图1相关系数小于图2相关系数
D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0
跟踪训练1．下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（%）：
(1)求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)预测2026年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
样本相关系数，．
考点三 线性回归方程与样本中心
典例1．已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
A．B．当时，
C．变量和呈负相关D．该经验回归直线必过点
典例2．下列说法正确的是（ ）
A．样本数据点的中心不一定在线性回归直线上
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
D．如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1
跟踪训练1．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．回归直线可以不经过样本中心
B．可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强
C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
跟踪训练2下列命题正确的是（ ）
A．线性回归直线必过样本数据的中心点；
B．当相关系数时，两个变量负相关；
C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；
D．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；
考点四 求线性回归方程
典例1．某公司在5个月期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
(1)从这5个月中随机抽取三个月份，记销售额高于30万元的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
参考公式：，．
跟踪训练1．随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2020年到2024年充电桩数量y（单位：万个），为方便研究，年份代码用x表示（如：表示2020年），具体参考数据如下表：
(1)请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程；
(2)假设该地区现有10个充电桩，其中6个为快充桩.现随机抽取2个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X，求X的分布列及均值．
（参考公式：，．）
跟踪训练2．根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下：
2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表
(1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）．
(2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率．
(3)实际7月新能源汽车的渗透率为，请：
①结合预测值分析误差原因；
②提出改进模型的建议.
（参考数据及公式：，．）
考点五 非线性回归方程
典例1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位：万元）的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值.
有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③⑤
典例2．当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
(3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
附：若随机变量，则，.
跟踪训练1．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：
(1)若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好．
附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数
参考数据：，，，
线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）．
考点六 残差及相关指数的应用
典例1．变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（ ）
A．B．C．1D．2
典例2．（多选）某同学根据的5组数据，绘制了散点图（图1），并进行回归分析，若在这5组数据的基础上又增加了2组数据（图2），重新进行回归分析，则下列叙述正确的是（ ）
A．决定系数变大B．样本相关系数的绝对值更趋近于0
C．残差的平方和变大D．解释变量与响应变量的相关性变强
跟踪训练1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好
B．两个变量的相关系数为，则越接近于与之间的线性相关性越强
C．数据“2，3，4，5，6”的第60百分位数是4
D．样本数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为
跟踪训练2．（多选）某种产品的广告支出费（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应关系如下表.
根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法中正确的是（ ）
A．第三个样本点对应的残差
B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
C．销售量的变化有97%是由广告支出费引起的
D．用该回归方程可以比较准确地预测广告支出费为20万元时的销售量
考点七 独立性检验
典例1．为了研究某新型病毒与快速检测试剂结果的关系，研究人员随机调查了200名接受过该试剂检测的人群，得到如下列联表：
(1)记快速检测结果为阳性者感染该病毒的概率为P，求P的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析快速检测结果是否与感染该病毒有关．
附：，其中．
典例2．某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了名患者进行调查，得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求的最小值；
(2)现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附，
跟踪训练1．近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
(1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率．
附：．
跟踪训练2．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：
(1)在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义．
附
一、单选题
1．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．x与y的样本是负相关
C．当时，y的预估值为2.2
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变
2．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4
B．设且，则
C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1
D．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差
3．某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据：
已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为（ ）
A．9.75千元B．10.05千元C．10.25千元D．10.75千元
4．已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为．
若，则（ ）
A．6.8B．7.8C．8.8D．9.8
5．下列说法正确的是（ ）
A．某物理量的测量结果服从正态分布，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5
C．将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变
D．设具有线性相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强
6．某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．时，残差为
C．与有正相关关系D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元
二、多选题
7．下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4
C．已知随机变量服从二项分布，若，则
D．对于样本相关系数，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
三、填空题
8．已知的取值如下表：
从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则 .
9．一组数据的线性回归方程为，若，则 ．
四、解答题
10．某咖啡店想了解顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关，随机调查了名顾客，得到如下的列联表：
(1)根据的独立性检验，分析顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关；
(2)从这名顾客中随机选择名，已知其中至少有名女性顾客，求这名顾客都喜欢拿铁的概率.
附：，
11．随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，）
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，.
12．某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得免费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况
经计算得：．
(1)求关于的线性回归方程及第5天的残差：（精确到0.001）
(2)为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表：
①完成以上列联表：
②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传．
参考公式：
1．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4
D．若，则事件A，B相互独立
2．（多选）某市对2017年至2021年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：
根据所给数据，得出关于的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该市2017年至2021年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数
B．y关于t的线性回归方程为
C．估计该市2023年烧烤店盈利店铺的个数为147
D．预测从2028年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100
3．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．样本数据，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数
B．数据的方差为0，则所有的都相等
C．若随机变量，则
D．在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上，则决定系数
4．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．

(1)根据图中数据，估计强化训练后的成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）的众数与成绩的分位数；
(2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．
将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
附：，．
5．某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表：
(1)测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差；
(2)据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到）
参考数据：，，，，
附：对于样本数据，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：，
1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．越接近1，相关性越强
D．越接近0，相关性越弱
2．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
二、解答题
4．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1)填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
5．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
6．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
7．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年上海卷第17题（3），5分
回归直线
概率
2025年天津卷第5题，5分
相关系数
正态分布
2025年全国一卷第15题（2），8分
独立性检验
概率
2024年甲卷第17题，12分
独立性检验
不等式
相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度
正相关与负相关
如果从整体上看，
当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，则称这两个变量正相关；
当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关
线性相关
如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关
非线性相关
如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关
当r>0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量正相关；当r