第三章 2026届高中数学（通用版）一轮复习 第五节　不等式中的恒（能）成立问题 课件

这是一份第三章 2026届高中数学（通用版）一轮复习 第五节　不等式中的恒（能）成立问题 课件，共39页。PPT课件主要包含了考点·分类突破，课时·跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
　　用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、分类讨论法、拆解法等，其解题思路是构造新函数分类讨论，将不等式恒（能）成立问题转化为函数的最值问题处理.
精选考点 | 课堂演练
分离参数法解决恒（能）成立问题（师生共研过关）
（2024·邵阳第二次联考节选）设函数f（x）＝m（x＋1）ex，m＞0.若对任意x∈（－1，＋∞），有ln f（x）≤2ex恒成立，求m的最大值.
解：ln f（x）≤2ex对任意x∈（－1，＋∞）恒成立，即ln m≤2ex－ln（x＋1）－x对任意x∈（－1，＋∞）恒成立.令g（x）＝2ex－ln（x＋1）－x，x∈（－1，＋∞），则只需ln m≤g（x）min即可.
∴g（x）min＝g（0）＝2.故ln m≤2＝ln e2，∴0＜m≤e2，故m的最大值为e2.
　　分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围.
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
分类讨论法解决恒（能）成立问题（师生共研过关）
已知函数f（x）＝x[（a－1）ex－a]＋ex，若对于任意的x≤0，都有f（x）≥1，求实数a的取值范围.
解：对于任意的x≤0，都有f（x）≥1，即x[（a－1）·ex－a]＋ex－1≥0，令g（x）＝x[（a－1）ex－a]＋ex－1，则g'（x）＝（a－1）·xex＋a（ex－1），且对于任意的x≤0，都有g（x）≥0.
①当a≥1，x≤0时，（a－1）xex≤0，a（ex－1）≤0，所以g'（x）≤0，所以g（x）在（－∞，0]上单调递减，所以g（x）≥g（0）＝0，符合题意；
解题技法　　根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
拆解法求解双变量的恒（能）成立问题（师生共研过关）
（1）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
所以a≥h（x）max＝h（1）＝1，故实数a的取值范围是[1，＋∞）.
　　“双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有：
（1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max；
（2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min；
（3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max.
已知函数f（x）＝aex－4，g（x）＝ln x－x－1，其中e为自然对数的底数，a∈R. 若对任意的x2∈（0，1]，总存在x1∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围.
关键能力 | 课后练习
2. 设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　）
5. 已知函数f（x）＝－ax2＋ln x（a∈R）.若存在x∈（1，＋∞），f（x）＞－a，求a的取值范围.
解： 由题设知f'（x）＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－（x＋1）2＋1在[1，＋∞）上恒成立，而函数y＝－（x＋1）2＋1在[1，＋∞）上单调递减，则ymax＝－3，所以a≥－3，所以a的最小值为－3.