四川省泸州市2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试卷

这是一份四川省泸州市2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高 2025 级高一年级上学期质量监测试题数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的定义可得.
【详解】因为集合，，所以.
故选：A.
半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是（）
B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由已知利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】由题意得，扇形圆心角为弧度，半径为，
故扇形的面积为，
故选：C.
已知 a 为实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.
【详解】当时，必然有，故“”可以推出“”；
当时，不一定有，如满足，但不满足，故“”推不出 “”，故“”是“”的充分不必要条件，
【分析】利用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，所以的最小值为 .
故选：B.
6. 函数在区间上的图象大致为（）
故选：A.
4. 已知
，则
（
）
A.
B.
C.
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由
，得
，代入
化简可得.
【详解】由
，得
，
所以
.
故选：D.
5. 已知
，则
的最小值是（
）
A. 2
B. 3
C. 4D.
【答案】B
【解析】
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件。利用函数的奇偶性及零点个数判断即可.
【详解】依题意，，
函数是奇函数，图象关于原点对称，排除BD；
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正切函数的定义域及单调性求解.
【详解】由，得，
所以，所以，即.
所以使成立的 x 的取值集合是.
又
，函数
上有 3 个零点，排除A，C 符合要求.
故选：C
7. 已知函数
，使
成立的 x 的取值集合是（）
A.
B.
故选：B
8. 已知函数
，
，
的零点分别为 a，b，c，则 a，b
，c，的大小顺序为（
A
）
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断各函数的单调性，根据零点存在性定理判断的取值范围，从而判断的大小顺序.
【详解】函数的定义域为，且是增函数，因为，
所以函数的零点在内，即.
函数是定义在上的增函数.
因为，
所以函数的零点在内，即.函数的定义域为，且是增函数.因为，
所以函数的零点在内，即.
综上，.
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知，且，则下列不等式一定成立的是（）
B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用幂函数与指数函数的性质判断BD 的真假，利用特例说明 AC 未必成立.
【详解】对A：取，，则满足，但，故未必成立；
对B：因为函数在上单调递增，所以当时，必有；
对C：取，，则满足，但，故未必成立；对D：因为函数在上单调递增，所以当时，必有. 故选：BD
下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（）
B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正余弦函数、正切函数的性质逐个分析函数的周期和单调性，即可作出判断.
【详解】A：函数周期为，在上，单调递减，故A 满足题意； B：函数周期为，故B 不满足题意；
C：函数周期为，由，，，
所以函数单调递减区间为，.
所以函数在上单调递减，故C 满足题意；
D：函数
的周期为，且
，
由
，
，
.
所以函数
单调递减区间为
，.
所以函数在
故选：ACD
上单调递减.故D 满足题意.
，
中
给定函数，且，分别用，表示
的较小者，较大者，记为，．下列说法正确的是（
）
当时，
若直线与的图象有三个不同交点，则
函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】用作差法判断的大小，根据的定义，求出，判断A；分别求出 ，从而得到，判断B；作出的简图，并结合基本不等式，判断C；求出函数的解析式，并求得其值域，判断D.
【详解】对于A，当时，，即，所以
，所以A 正确；
对于B，且，，
，所以函数均 奇函数.
因为
，
所以当
所以
时，
，
，即
；当时，，即.
.
所以当
时，
；
当时，.所以B 正确 .
对于C，的简图如下：
由B 选项得，当，；
当时，单调递增.
所以若直线与的图象有三个不同交点，则.所以C 错误.
对于D，由B 知，即.
当时，；当时，.
所以函数的值域为.所以D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
计算．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数及对数的运算法则化简可得.
【详解】.
故答案为： .
已知函数，则的值域是．
【答案】

【解析】
【分析】根据分段函数的定义，分别讨论x 与的情况，可将函数表达式统一为，进而求解其值域.
【详解】当，则，则有，当时，，故，
因为，所以，故的值域为.
故答案为：.
若，满足，且，
则，且，即，即，所以
.
所以.
14. 已知函数，若
，
满足
，且
，则
的取值范围
是．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数图象可得，即数，可求得其取值范围.
【详解】函数
，且
，将
，其简图如下：
转化为关于的函
令，则在上单调递减，在
上单调递增.
因为，所以在上的值域为.
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为 R，集合
，
．
（1）求，
；
（2）已知集合
，若
，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
，
或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集，交集，补集的定义求得可得；
（2）由集合，得
根据
，确定实数 a 的取值范围．
【小问 1 详解】
集合，
，
所以，
，
所以或；
【小问 2 详解】
集合，集合
，
因为，所以.
所以实数 a 的取值范围是．
【答案】（1）2（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）求得函数的对称轴，分析其单调性，由在上单调递增，得到实数的取值范围，从而求得实数的最大值；
（2）当时．（i）直接求解求不等式，可得其解集；（ii）分析在上的单调性，结合其值域为，求实数 m 的取值范围．
【小问 1 详解】
函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为．所以函数在上单调递减，在上单调递增.
若在上单调递增，则，即，
所以实数的最大值为；
【小问 2 详解】
当时，.
令，则，即，解得.
所以不等式的解集为；
易知在上单调递减，在上单调递增，且，.
16. 已知函数
．
（1）若
（2）当
（i）求不等式
在时．
上单调递增，求实数 a 的最大值；
的解集；
（ii）若
在
上的值域为，求实数 m 的取值范围．
若
在
上的值域为，则
.
当
时，
.
在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
若在上的值域为，则，即，即，解得.
综上所述，实数 m 的取值范围为．
在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区 2023 年底至
2025 年底新能源汽车保有量如下表：
假设从 2023 年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为 y 辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式；
（2）2023 年底该地区传统能源汽车保有量为 20000 辆，且传统能源汽车保有量每年均下降 4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，所以可用函数（且）来描述，代入点 ，求得，即可求得解析式；
由题可知，从 2023 年底起经过年后，传统能源汽车保有量为，结合（1）
年份（年）
2023
2024
2025
新能源汽车保有量（辆）
1000
1500
2250
中所得解析式，列出相应的不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，
所以可用函数（且）来描述.
代入点，得，解得，.
所以.
2023 年的数据，满足，
所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为.
【小问 2 详解】
设从 2023 年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.由题意知，从 2023 年底起经过年后，新能源汽车保有量为；从 2023 年底起经过年后，传统能源汽车保有量为.
所以，即.
两边取常用对数，得.
因，，
所以.
所以从 2023 年底起经过 7 年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
即到 2030 年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
已知函数，．
（1）求 ；
当时，若，求的值；
若对任意，恒成立，求实数 a 的取值范围．
（3）利用三角恒等变换，将转化为，根据基本不
等式求得的最小值，从而求得实数 a 的取值范围．.
【小问 1 详解】
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据
，得
，结合
的取值范围，可求得
的值；
（2）由
，及
，得
，结合同角三角函数关
系式，即可求得
，从而得到
；
由，得
，即，
所以
所以
.
因为，所以
【小问 2 详解】
.
由（1）得
.
【小问 3 详解】
.
由，得，即
，
所以，即
当时，，所以，所以
，
所以.
因为，
当且仅当时，即时，即时，等号成立.
若
，则
，即.
所以
因为
，所以
，所以
.
.
所以
.
所以
，所以
.
所以，所以，即.
所以实数 a 的取值范围是.
已知函数．
判断的奇偶性，并证明；
解不等式；
若函数在定义域内某个区间上的值域为，则称为的优美区间．若存在优美区间，求 k 的取值范围，并证明：．
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）据题意求得的解析式，根据奇偶性的定义判断并证明；
判断函数的单调性，根据单调性将不等式转化为，求解可得；
根据优美区间的定义，分析函数的单调性，确定与的关系，并将问题转化为方程
有两个实数解，通过分离参数，并利用基本不等式，求得 k 的取值范围，并证得
．
【小问 1 详解】
是奇函数.证明如下：
由，得.
因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为 .
，
所以是奇函数.
【小问 2 详解】
设，
则.
因为，所以，即；
因为，所以，即，即.
所以函数是增函数. ，得，
所以，即，即.
因为恒成立，所以，解得.
所以不等式的解集为.
【小问 3 详解】
由（2）知是增函数，所以是增函数.所以在区间的值域为.
因为为的优美区间，所以.
即方程有两个实数解，分别为，且.
当，即时，方程显然不成立；
当，即时，.即时，方程有唯一解，不合题意；当且时，
当时，，所以， 当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以等号不成立，且单调递减，有唯一解，且.
即或时，有唯一实数解，不合题意.
综上所述，k 的取值范围是，且．有两个实数
解，
令
，
，
.
因为
是增函数，
在上单调递减，所以
有两解.
因为当
时，，
，当且仅当，即
，
时，等号成立.
所以当
时，
有两解
即
时，
有两个实数解，且
.