2026年天津市红桥区九年级数学中考一模试卷（含解析）

这是一份2026年天津市红桥区九年级数学中考一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了本卷共12题，共36分等内容，欢迎下载使用。
答卷前，请你务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算即可得到结果.
【详解】解：．
2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主视图是从几何体的正面看到的平面图形，根据从组合体的正面看到的正方形的个数与位置之间的关系画出主视图即可．
【详解】解：组合体的主视图如下：
故选：D．
3. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得出答案．
【详解】因为，，且，
所以，
给不等式两边同时加2，得，
因此的值在和之间．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项：“强”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不可能完全重合，“强”字不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：“本”字沿中间的一竖所在的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，“本”字是轴对称图形，故B选项符合题意；
C选项：“节”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不可能完全重合，“节”字不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：“用”字沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不可能完全重合，“用”字不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
5. 据2026年4月7日《天津日报》报道，在清明假期，津城市场以花为媒、多业联动，户外休闲、逛街购物、特色餐饮融合沉浸式体验，点燃假期消费“春日引擎”．市商务局数据显示，我市重点监测的468家商贸流通企业3天累计实现销售1030000000元．将数据1030000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义确定a和n的值，科学记数法要求，n为原数的整数位数减1．
【详解】∵原数共有10位整数，
∴，移动小数点可得，
∴．
6. 的值等于（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将特殊角度的三角函数值，代入原式化简即可得到结果．
【详解】解：∵ ，，
∴．
7. 若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先确定反比例函数比例系数的符号，再根据各点横坐标判断点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较y值大小．
【详解】解：∵反比例函数为，且
∴比例系数
∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小
∵点的横坐标，
∴点在第三象限，可得
∵
∴点、都在第一象限，
∴
∴．
8. 《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”意思是：假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两金．问：1头牛、1只羊各值多少金？设1头牛值x两金，1只羊值y两金，则可以列出的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找准题目中的等量关系，根据两个条件分别列出方程即可得到方程组．
【详解】解：∵设1头牛值金两，1只羊值金两，题目条件为5头牛、2只羊共值金10两，
∴；
∵又已知2头牛、5只羊共值金8两，
∴；
∴可列方程组．
9. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：
．
10. 如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可.
【详解】解：∵以为边向外作等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由旋转可知：，
∴C错误；
，，
∴即：三点共线，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴A错误；
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴，
∴B正确；
∵不一定相等，
∴不一定垂直于，
∴D错误.
11. 如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，由作图可知，，可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出的长度．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，，
，
由作图可知，，
如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，
则有点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，
过点作轴，
在和中，，
，
，，
，
点的坐标为，
设的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
，
点的坐标是，
．
12. 如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论：
①该球经过区域；
②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度；
③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域．
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】因为已知抛物线的顶点坐标和抛物线上一点坐标，所以可先设抛物线的顶点式，代入点的坐标求出抛物线的解析式，这是解题的突破口．对于结论①，因为要判断球是否经过区域，所以将代入抛物线解析式，求出对应的y值，再与的长度比较．对于结论②，因为要比较水平距离和时的高度，求出对应的y值并比较大小．对于结论③，因为球员向正后方移动2m，抛物线形状和最大高度不变，所以先确定新抛物线的顶点坐标，设出新的顶点式，代入新的射门点坐标求出解析式，再将代入求出y值，与、的长度比较．
【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ​，解得，
∴原抛物线解析式为：；
判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误．
判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误．
判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确．
综上，正确结论为③，共1个．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子里装有9个球，其中有2个蓝球、3个黄球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的定义，绿球的数量与总球数的比值即为所求概率．
【详解】解：因为不透明袋子中装有9个球，其中绿球有4个，
所以从袋子中随机取出1个球是绿球的概率为．
14. 计算的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，分别对系数和同底数幂进行运算即可得到结果．
【详解】解：．
15. 计算的结果为________．
【答案】2
【解析】
【分析】因为符合平方差公式的结构，所以可采用平方差公式进行计算．
【详解】原式．
16. 若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】根据一次函数图像与系数的关系，判断的取值范围，选取一个符合范围的值即可．
【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，
，
k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）．
17. 如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，，过点D作，垂足为E．
（1）线段的长为________；
（2）F为的中点，G为边上一点，若，则线段的长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质求出，证明是直角三角形，由勾股定理求出；
（2）过点作于点，于点，得到和都是直角三角形，求出，，证明四边形是矩形，即可得到答案．
【详解】解：（1）边长为6的等边三角形，
点D在边上，，
，垂足为，
是直角三角形，
在中，
，
由勾股定理得：；
（2）过点作于点，于点，
，
和都是直角三角形，
由（1）可知，，
点是的中点，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在经过点A的圆上．
（1）线段的长为________；
（2）l为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线l上画出点Q，使，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求解；
（2）借助网格，利用直径定理确定圆心，利用平行线分线段成比例确定中点，利用垂径定理确定垂直，最后利用线段的垂直平分线确定点的位置．
【详解】解：（1）由勾股定理得；
（2）如图，
取圆与网格线的交点D，E，连接；
取格点F，连接与圆相交于点G；
取与圆的交点H，连接与相交于点O；
连接与网格线相交于点I，连接与网格线相交于点J；
连接，取与网格线的交点K，连接并延长，与相交于点P；
连接并延长，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为________．
【答案】（1）
（2） （3）数轴见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）根据解不等式的步骤求出不等式①的解集；
（2）根据解不等式的步骤求出不等式②的解集；
（3）把两个不等式的解集表示在数轴上；
（4）根据数轴上两个不等式解集的公共部分，找出不等式组的解集．
【小问1详解】
解：解不等式①，，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：；
【小问2详解】
解：解不等式②，，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：；
【小问3详解】
解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
解：由数轴可知，原不等式组的解集为．
20. 为了解某校学生参加公益活动的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为________，图①中m的值为________，统计的这组学生参加公益活动的时间数据的众数和中位数分别为________和________；
（2）求统计的这组学生参加公益活动的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有学生800人，估计该校学生参加公益活动的时间是的人数约是多少？
【答案】（1）40，30，8，8
（2）
（3）200人
【解析】
【分析】（1）利用部分数据和占比求出总数，利用众数和中位数的定义求解；
（2）利用加权平均公式求解；
（3）利用样本频数估计总体频数．
【小问1详解】
解：；
∵，
∴；
∵8出现的次数最多，
∴众数为8；
中位数取排序后第20个和第21个数据的平均数，
∴中位数为；
【小问2详解】
解：观察条形统计图，
，
这组数据的平均数是；
【小问3详解】
解：，
估计该校学生参加公益活动的时间是9h的人数约为200人．
21. 已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接．
（1）如图①，若，求和的大小；
（2）如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）因为为的直径，所以，结合已知，可先求出的度数；然后利用等腰三角形内角和定理可求出的度数；因为同弧所对的圆周角相等，则有，再结合与互余，可求出的度数．
（2）因为是的切线，连接，，有；再根据条件和垂径定理可推出，进而得到相关角的关系，确定的形状；利用切线的性质、圆周角定理，得出是含角的直角三角形，再结合已知，求解出线段长度，进而得到的长．
【小问1详解】
解：为的直径，
．
，，
．
．
．
．
【小问2详解】
解：如图，连接，．
与相切，
，即．
为的直径，，
，，
．
为等边三角形．
．
，．
，
．
．
．
，
．
在中，．
22. 在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，．
【答案】150m
【解析】
【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，
在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度．
【详解】解：如图，过B作，垂足为H．
根据题意，，，．
在中，，
．
在中，，，
．
，
．
．
．
答：池塘两端的距离约为150m．
23. 已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．小亮从宿舍出发，先匀速步行了到超市；在超市停留了后，匀速骑行了到书店；在书店停留了后，匀速步行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）①填表：
②填空：当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为________；
（2）当时，请直接写出y关于x的函数解析式；
（3）若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到书店．在从宿舍到书店的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）①0.1，1.6，0.8；②2或
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；
②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；
（2）理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；
（3）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．
【小问1详解】
解：①小亮去超市的速度为，
1分钟时小亮离宿舍的距离为；
由图可知30分钟时，小亮离宿舍的距离为；
小亮从书店回宿舍的速度为，
55分钟时，小亮离宿舍的距离为；
②小亮去超市时：；
小亮从书店回宿舍时：，
，
∴当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为2或；
【小问2详解】
解：由①得小亮去超市的速度为，
∴当时，；
由图可知，当时，；
当时，设直线解析式为，
将代入解析式得，
解得，
∴；
综上，；
【小问3详解】
解：根据题意可知，小华的速度为，
所以小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为，
当时，，
得，
解得；
当时，，
得，
解得；
如图所示，为小华的函数图象，

结合图形，当时，．
24. 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，．
（1）填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设．
①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标．
（2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值．
【小问1详解】
过点C作轴于D，
，，
∴OD=OCcs60°=4×12=2 ，
∵，
∴点D与点A重合，
∴CD=OCsin60°=4×32=23，
∴C(2,23) 。
∵四边形是平行四边形，
，的纵坐标和相等，横坐标为 ，
∴B(4,23) ．
【小问2详解】
① 由折叠性质得OO'=2OP=2t ，，O'C'=OC=4 ，
∴O'(2t,0) ，C'(2t−2,23) ，
设直线的解析式为，把O'(2t,0) ，C'(2t−2,23) ，代入得k1·2t+b1=0k1·2t−2+b1=23，解得k1=−3b1=23t，
∴直线的解析式为 ，
同理可得直线的解析式为，
联立和的方程得交点F(t+1,3(t−1)) ，
∴BF=(4−(t+1))2+(23−3(t−1))2=6−2t ．
直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）．
(2) ② 当43≤t≤2 时，过点F作 ，
∵直线与直线平行且经过原点，
∴直线解析式为，
由题意可得 ，O'(2t,0) ，D(t,3t) ，
∴可得直线的解析式为，
联立和的方程得交点F(t+1,3t−1) ，
∴Q(t,3t−1) ，
∴面积S=S△DFQ+S四边形QFAP
=12t+1−t3t−3t−1+12t+1−t+2−t·3t−1
=−32t2+23t−3
=−32t−22+3，
此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大，
故最大值在处，；最小值在端点处，Smin=739；
当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ，
同理可知C'(2t−2,23) ， ，F(t+1,3(t−1)) ，Q(t,3(t−1)) ， ，
面积S=S△DFQ+S四边形QFC'E
=12t+1−t3t−1−3t−23+12t+1−t+2t−2−t·23−3t−1
=−32t2+23t−3
=−32t−22+3，
此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小，
时，； 时，；
故此时，32