2026年山西省运城市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2026年山西省运城市中考二模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了八年级安全标兵竞赛成绩等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：，
∴ 四个数中最小的数是．
2. 氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A.该选项不是轴对称图形；
B. 该选项不是轴对称图形；
C. 该选项是轴对称图形；
D. 该选项不是轴对称图形．
3. 油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵，，
∴．
4. 2026年是“十五五”的开局之年，为加快构建全国一体化算力网，我国算力网络全年投资规模预计约为4500亿元．数据“4500亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【详解】解：数据“4500亿元”用科学记数法表示为元．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：
解不等式①得；
解不等式②得；
∴该不等式组的解集为，
在数轴上表示解集为．
6. 如图，的顶点在上，边经过圆心，且边与相切于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，利用圆的切线的性质得出直角，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴．
7. 在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（ ）
A. 小明的测量数据波动更大B. 小亮的测量数据波动更大
C. 两人的测量数据波动一样D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，据此计算两组数据的方差，再比较大小即可得到结论．
【详解】解：∵ 小明测量数据为 ，
∴ 小明数据的平均数 ，
小明数据的方差 ，
∵ 小亮测量数据为 ，
∴ 小亮数据的平均数 ，
小亮数据的方差 ，
∵ ，
∴ 小明的测量数据波动更大．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
9. 实验室用智能配液机器人匀速向烧杯中加入某种溶质，在溶液达到饱和之前，烧杯内溶液的总质量是加入溶质的时间的一次函数，部分数据如下表：当溶液的总质量为时，加入溶质的时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设关于的一次函数解析式为，再利用待定系数法求出解析式即可求解．
【详解】设关于的一次函数解析式为，把，代入得，
，解得，
，当时，，解得．
10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，的延长线交于点，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于点，连接，利用锐角三角函数求出，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，连接，
∵四边形为平行四边形，且，，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分的面积为．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】先运用完全平方公式展开平方项，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类项即可求出结果．
【详解】解：原式
．
12. 如图1是某校的一块宣传展板，其外轮廓是一个正五边形，其示意图如图2所示，则__________．
【答案】72
【解析】
【详解】解：．
13. 为践行绿色低碳理念，增强环保意识，美化生态家园，某校在植树节组织学生前往劳动实践基地参加植树活动．所有学生被随机分配到A，B，C，D四个小组，则小明和小亮在同一小组的概率为__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意，列表如下：
由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一小组的结果为4种，
∴小明和小亮在同一小组的概率．
14. 我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，根据该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多，建立分式方程即可．
【详解】解：设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，
根据题意，得．
15. 如图，在中，，点D是边上一点，连接并延长到点，使，点F在的延长线上，且，连接，．若，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据锐角三角函数以及相似三角形的判定和性质求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算与解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用有理数的乘方，负整数指数幂，求一个数的绝对值等运算法则进行计算；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
．
．
或．
解得．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）连接，则的面积为__________．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解；
（2）求出直线与轴和轴的交点坐标，利用割补法求三角形的面积．
【小问1详解】
解：将分别代入，
得
解得
∴一次函数的表达式为；
将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如图所示，设直线与轴、轴的交点分别为，
当时，，即，
∴；
当时，，解得，即，
∴；
∴的面积为：
．
18. 安全教育无小事．某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛．信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）．所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，得到了下面的统计图．信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩（单位：分，满分100分）如下：七年级安全标兵竞赛成绩：86，88，93，79，93，87，93，90，93，99，100．八年级安全标兵竞赛成绩：87，95，91，90，92，90，94，91，91，89，91．请根据信息回答问题．
（1）①__________，__________．
②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图．
（2）估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数．
（3）小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）①93，91，②，补全条形统计图见解析
（2）全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人
（3）不合理．理由见解析
【解析】
【分析】（1）①利用中位数和众数的定义求解；
②求出总数，然后根据占比求出圆心角度数，求出选项B的人数补全条形统计图即可；
（2）根据样本频数估计总体频数；
（3）通过中位数和众数作出决策即可．
【小问1详解】
解：①七年级的中位数为排序后的第6位数，即；
八年级中91出现的次数最多，
∴众数；
②总数为（人），
“A”所对应的扇形圆心角的度数为；
选项B的人数为（人），
补全条形统计图如答图所示．
【小问2详解】
解：（人），
答：全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人；
【小问3详解】
解：不合理．理由如下：
答案不唯一，例如：①从中位数的角度看，七年级竞赛成绩的中位数为93分，高于八年级竞赛成绩的中位数91分，因此七年级的成绩更好．
②从众数的角度看，七年级竞赛成绩的众数为93分，高于八年级竞赛成绩的众数91分，因此七年级的成绩更好．
19. 近年来，我国航天事业在多个领域取得了举世瞩目的成就．一家玩具店看准商机，特推出“神舟”和“天宫”模型积木．已知购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元．
（1）求每盒“神舟”模型积木和每盒“天宫”模型积木的进价．
（2）店家计划再次购进这两种模型积木共40盒，且购进“神舟”模型积木的盒数不少于购进“天宫”模型积木盒数的．在进价和售价不变的情况下，每盒“神舟”模型积木可盈利15元，每盒“天宫”模型积木可盈利18元．店家应如何进货才能获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每盒“神舟”模型积木的进价为50元，每盒“天宫”模型积木的进价为60元
（2）购进“神舟”模型积木10盒，“天宫”模型积木30盒时获利最大，最大利润为690元
【解析】
【分析】（1）设每盒“神舟”模型积木的进价为元，每盒“天宫”模型积木的进价为元，根据“购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购进“神舟”模型积木盒，利润为元，则购进“天宫”模型积木盒，先求出m的取值范围，再根据题意，列出w关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设每盒“神舟”模型积木的进价为元，每盒“天宫”模型积木的进价为元，
依题意，得，
解得，
答：每盒“神舟”模型积木的进价为50元，每盒“天宫”模型积木的进价为60元．
【小问2详解】
解：设购进“神舟”模型积木盒，利润为元，则购进“天宫”模型积木盒，
依题意，得，
解得，
又，
且为整数，
，
随的增大而减小，
∴当时，最大，此时（元），
（盒），
答：购进“神舟”模型积木10盒，“天宫”模型积木30盒时获利最大，最大利润为690元．
20. 在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解．
测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为．
任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】风电架的高度约为
【解析】
【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解．
【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点．
∴四边形为矩形，，
，
，
，
，
设，则．
在中，，
，
．
在中，，
，
，
．
．
．
解得，
答：风电架的高度约为．
21. 阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务．

任务：
（1）问题一的横线处应填__________．
（2）将问题二的证明过程补充完整．
（3）如图4，已知线段是上一点，，请作出，使点为中边上的中顶点（要求：尺规作图，不写作法，标明字母）．
【答案】（1）是 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得的长，结合定义，即可求解；
（2）证明得出，根据进而得出，即可得证；
（3）过点作的垂线，截取，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
，
∴点是边上的中顶点．
【小问2详解】
解：补充证明如下：
，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
【小问3详解】
解：答案不唯一，如答图，即为所求，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 综合与实践
【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．
【问题解决】
（1）请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式．
（2）在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称．
①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确．
②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度．
【答案】（1），图见详解
（2）①设计师助理的说法不正确，见解析 ②
【解析】
【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数表达式；
（2）①确定抛物线的顶点坐标和二次项系数，利用待定系数法求出函数表达式，然后求解即可；
②设，根据函数表达式求出相关距离，然后列出的函数表达式，利用二次函数的图象和性质求出最值即可．
【小问1详解】
解：建立平面直角坐标系如下：
由题意得，，抛物线的顶点的坐标为，
∴设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：①设计师助理的说法不正确，理由如下：
由题意得，过点的抛物线和过点的抛物线的二次项系数都为，
∵过点的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴过点的抛物线的函数表达式为
当时，，
∵点到矩形上侧的边的距离为，，
∴设计师助理的说法不正确；
②设，
则到矩形右侧边的水平距离为，
点在竖直方向到抛物线的距离为，
∴，
整理得，
∴当时，的长度最大，
根据对称性可得，，即当时，的长度最大，
∴．
23. 综合与探究
【问题情境】在中，，平分交于点．
（1）【猜想证明】如图1，平分交于点F，连接，判断四边形的形状并证明．
（2）【深入探究】平分交的延长线于点，交BE于点．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，直线与直线相交于点．
①以图2为例，求证：；
②若，，在旋转的过程中，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，连接，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形为菱形．见解析
（2）①见解析，②的长为或．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可；
（2）①先证明，推出，即可证明；
②分两种情况讨论，当和时，利用解直角三角形的知识求解即可．
【小问1详解】
解：四边形为菱形，理由如下：
证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
①证明：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
由旋转的性质，得， ，，
∴ ，，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
②解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由旋转的性质得，，
如图，当点在线段上时，，
即是以为直角边的直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在线段下方时，，
即是以为直角边的直角三角形，
由①可知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．加入溶质的时间
4
8
12
16
…
溶液的总质量
27
39
51
63
…
小亮
小明
A
B
C
D
A
A，A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，B
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，C
C，D
D
D，A
D，B
D，C
D，D
“消防安全”讲座
最感兴趣的内容调查问卷
在讲座中，你最感兴趣的内容是（ ）（单选）
A．相关法律法规
B．灭火方法和逃生技巧
C．生活中的安全隐患及预防办法
D．其他
平均数/分
中位数/分
众数/分
七年级
91
93
八年级
91
91
三角形中的“中顶点”
【概念理解】若位于三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的乘积等于这个点与该边所对顶点之间距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“中顶点”．如图1，在中，点是边上的中顶点，连接，则．

【问题解决】问题一：如图2，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，都落在格点（小正方形的顶点）处，则点__________（填“是”或“不是”）边上的中顶点．
问题二：如图3，在中，过点作于点，已知点为边上的中顶点，求证：是直角三角形．
解：点为边上的中顶点，
∴．
∴．
∵，∴．
……