北京市丰台区2025-2026学年第二学期期中练习高二数学（含解析）

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一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 函数的导函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】函数，
则，故A正确.
2. 函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数平均变化率定义求解即可
【详解】因为函数，所以函数在区间上的平均变化率为：
.
3. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，求导得，则，
所以当时的瞬时速度为5 m/s.
4. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可知，从个不为零的数字选个排列的个数为.
5. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的定义和性质分析求解.
【详解】由题意知，①，此时无解；
②，解得.
经检验可知符合题意.
6. 在的展开式中，含x的项的系数为（ ）
A. B. 40C. D. 80
【答案】B
【解析】
【详解】的展开式的通项为，
令，则，
故的展开式中含x的项的系数为.
7. 若随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项分布方差计算公式和方差运算性质即可求解.
【详解】由题意可得，
则.
8. 已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（ ）
A. 是的极小值点
B. 在区间上单调递增
C. 是在区间上的最小值
D. 曲线在点处的切线斜率大于零
【答案】D
【解析】
【详解】由的图象可知：当时，，当时，，
仅在和时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，不是函数的极小值点，故A错误，
由图象可知在区间上不单调，B错误；
当时，，当时，，
则在上单调递减，在单调递增，
即是在区间上的极小值也是最小值，C错误，
由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D正确.
9. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】令，，
因为，
则 ，
所以在上单调递增.
因为，所以关于的不等式，
可化为，即
因为在上单调递增，所以由 可得，
由定义域知，解得.
即不等式的解集为
10. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可.
【详解】已知，，
又抽取男生30名和女生20名，所以.
根据条件概率公式，可得.
再根据条件概率公式，可得.
所以随机变量，
令，
解得，
因为，所以当时，取得最大值.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则___．
【答案】
【解析】
【分析】由离散型随机变量的性质，概率之和为1即可求解.
【详解】由概率之和为1可得：，解得.
12. 某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为___．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算.
【详解】乘火车、飞机的事件分别为，这人迟到的事件为，
则，，
因此，
所以这个人迟到的概率为0.38.
13. 已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】由，得，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，；
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由于函数在区间上不单调，
故，或，解得或，
故的一个取值可为0.
14. 已知，则___；___．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】①令，代入等式，左边，右边，故.
②令，左边，右边，即 (1)
令，左边.
右边，即 (2)
(1)+(2)得：，即.
代入，得，故.
15. 已知函数 . 给出下列四个结论：
①，无零点；
②若在处取得极小值，则；
③当时，，，使得；
④当时，，集合恰有3个元素.
其中正确结论的序号是___．
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①，需分和讨论，函数的零点问题等价于；当时，对于一元二次方程，利用判别式判断是否存在零点；对于②，先对求导，根据在处取得极小值，分析导函数在附近的符号变化，推导的取值范围；对于③，当时，判断在上是否有最大值，先分析的单调性，结合极限趋势，判断是否存在实数使得恒成立；对于④，集合元素个数等价于方程的解的个数，先分析时的单调性与极值，结合，判断方程解的个数.
【详解】对于①，当时，，无零点；
当时，令，，只需即可；
，此时方程无解；
，无零点，故①正确.
对于②，当时，，无极值；
当时，，；
令，得或；
当时，，当时，，单调递减；
时，，单调递增；时，，单调递减；
此时，在处取得极小值，在处取得极大值；.
当时，， 当时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增；
此时，在处取得极小值，在处取得极大值；.
综上所述，当时，在处取得极小值，故②错误.
对于③，由②知，当时，时，，单调递增；时，，单调递减；
当时，在处取得极大值，也是最大值，即；
当时，，，即，，使得，故③正确.
对于④，由②知，当时，时，，单调递减；
时，，单调递增；时，，单调递减；
此时，在处取得极小值，即，在处取得极大值，即；
当时，；当时，；
，集合有3个元素.
当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增；
此时，在处取得极小值，即，在处取得极大值，即；
当时，；当时，；
，集合有3个元素.
综上所述，，集合有3个元素，故④正确.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛．
（1）如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？
（2）如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？
【答案】（1）30 （2）51
【解析】
【分析】（1）先选男生有种选法，再选满足条件的女生有种选法，再由分步乘法计数原理即可得出答案.
（2）方法一直接法，求出符合条件的两类选法，由分类加法计数原理即可得出答案；方法二排除法，用总的方法总数减去两种不符合条件的情况，即可得出答案.
【小问1详解】
选1名男生，有种选法，
选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法．
所以符合条件的不同选法有（种）．
【小问2详解】
方法一（直接法）：符合条件的选法有两类：
第1类，2名男生，2名女生的选法有种；
第2类，3名男生，1名女生的选法有种；
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
方法二（排除法）：
因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种，
其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况，
所以男生不少于2名的不同选法有（种）．
故共有51种不同的选法．
17. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可.
（2）根据导数与最值的关系求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
令，则或.
当在区间上变化时，，的变化情况如表所示：
所以当时，在区间上取得最大值，最大值为.
18. 李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试.
（1）记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望；
（2）求李华能通过考试的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的求法及期望公式求解即可；
（2）利用互斥事件和的概率公式求解.
【小问1详解】
由已知可得的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
【小问2详解】
因为至少答对其中2道才能通过考试，
所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况，
这两种情况是互斥的，
由（1）知， ，，
所以.
所以李华能通过考试的概率为.
19. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25；
乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23；
丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）甲
【解析】
【分析】（1）用频率估计概率结合古典概率计算可得；
（2）依题意列出的可能取值，求出对应的分布列，再代入期望公式计算可得；
（3）由概率比较可得.
【小问1详解】
甲以往的10次成绩中有6次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
【小问2详解】
用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为；
由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为；
【小问3详解】
由于铅球比赛成绩最远者胜，且甲、丙取得优秀奖的概率相同，均大于乙，但甲的最好成绩高于丙，故甲获得冠军的概率最大.
20. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若，求的极大值；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的意义求解即可；
（2）利用导数分析单调性求解可得；
（3）两边同乘后转化为恒成立，构造函数，求导后根据的取值讨论单调性和最值可得.
【小问1详解】
函数的定义域为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，且，
所以，所以；
经检验，符合题意；
【小问2详解】
当时，，
此时，函数的定义域为，，
令，则，
当在区间上变化时，、的变化情况如表所示：
所以，当时，有极大值，并且极大值为；
【小问3详解】
若恒成立，即恒成立，
设，
只要即可；
，
①当时，令，得，
，，变化情况如下表：
所以，故满足题意；
②当时，令，得舍，或；
，，变化情况如下表：
所以，得；
③当时，存在，满足，
所以不能恒成立，所以不满足题意；
综上，实数的取值范围为.
21. 对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列.
（1）若，直接写出，；
（2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由；
（3）若数列满足，求数列的个数．
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用变换的定义即可得解；
（2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得；
（3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
因为，
由数列为数列，所以，
对于数列中相邻的两项，
令，若，则，若，则，
记中有且个，则有个1，
则.
因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同，
所以不存在符合题意的数列.
【小问3详解】
首先证明，
对于数列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
因为，
所以，
故，
其次，由数列为数列可知，，
解得，
这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列中的个数为个，此时数列有个，
所以数列的个数为个.X
0
1
P
2m
m
单调递增
单调递减
单调递增
0
1
2
3
0
1
2
3
单调递增
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
↗
极大值
↘