2022届山东省高三下学期5月大联考 数学试卷 附答案

这是一份2022届山东省高三下学期5月大联考 数学试卷 附答案，共2页。试卷主要包含了已知数列中，，，，则等内容，欢迎下载使用。

本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设全集 QUOTE ，集合 QUOTE ， QUOTE ，则
A．B．C．D．
2．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则
A．B．C．D．5
3．已知角的终边与单位圆的交点在直线上，则
A．B．C．D．
4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是1和4)制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为
A．B．
C．D．
5．若函数的最小正周期为4，则下列区间中单调递增的是
A．B．C．D．
6．已知函数有两个极值点，且，则的极大值为
A．B．
C．D．
7．已知数列中，，，，则
A．3B．C．D．
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为
A．16B．24C．25D．36
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．直线与圆交于两点，为坐标原点，且为直角三角形，则实数的值可能为
A．B．C．D．0
10．某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级的数学成绩(百分制，均位于
内)，并将所得数据分为6组：，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是
A．甲班数学成绩的平均分约为分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
B．乙班数学成绩的最高分高于甲班数学成绩的最高分
C．甲班数学成绩的及格率低于乙班数学成绩的及格率(成绩不低于60分为及格)
D．甲班数学成绩不低于80分的人数多于乙班数学成绩不低于80分的人数
11．已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．与平面所成的角可以是
D．平面与底面和侧面的交线长之和为
12．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是
A．
B．若，则
C．若，则面积的最小值为
D．四点共圆
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，则与夹角的余弦值为 .
14．若幂函数的图象过点，则曲线在点处的切线方程为 .
15．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且满足(为坐标原点)，则双曲线的离心率为 .
16．记为函数的阶导数且，.若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.据此计算在处的3次泰勒多项式为 ；在处的10次泰勒多项式中的系数为 .（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知的内角的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）若为锐角，求的面积.
18．（12分）
已知数列满足．
（1）请在集合中任取一个元素作为的值，求数列的通项公式；
（2）若第（1）问取，令，求数列的前项和．
若第（1）问取，求数列的前项和．
注：如果同时选择的两个取值分别解答，按第一个解答计分.
19．（12分）
如图，在三棱柱中，平面，，且，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）
“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，其中的“挑战答题”更是趣味盎然、引人入胜.“挑战答题”规则为：（1）挑战开始后，挑战者依次回答界面中出现的问题，答对就继续下一题，答错有两种选择：= 1 \* GB3①结束本局，挑战结束；= 2 \* GB3②通过分享界面复活本局，复活之后可继续本次挑战，且答对题数可累加；（2）答对题或题以上均为挑战成功，可获得分，否则无积分可得；（3）每次挑战，通过分享界面复活的机会只有一次.
（1）如果甲对“挑战答题”中的每一道题回答正确的概率均为，且各题是否回答正确互不影响，求甲挑战一次就获得成功的概率；
（2）假设乙挑战一次获得成功的概率为，他在一周内(7天)每天都挑战一次，且各次挑战是否成功互不影响.设乙在一周内挑战答题总得分为，求的分布列及数学期望.
21．（12分）
已知函数.
（1）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
（2）设是两个不相等的实数，且.求证：.
22．（12分）
已知直线与椭圆.过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）设为坐标原点，当点不在坐标轴上且时，求此时点的坐标.
2022年高三5月大联考（新高考卷）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC10．ABD11．AB12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．（或）
15．16．；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】（1）由正弦定理，可得，
又，，所以.（1分）
因为，所以，
所以.（3分）
在中，因为，所以，所以为锐角，
故.（5分）
（2）方法一：由（1），得.
因为为锐角，所以.（7分）
由余弦定理，可得，
解得（舍去）或.（9分）
所以的面积为（10分）
方法二：如图，过点A作于点.
因为，均为锐角，所以点D在线段BC上.
在中，，.（7分）
在中，，，则.
所以.
所以的面积为.（10分）
18．（12分）
【解析】（1）当取时，可得，（1分）
所以
，（4分）
容易验证，也满足上式，（5分）
所以.（6分）
当取时，可得，（1分）
所以，（3分）
即数列是以为首项，为公比的等比数列，（4分）
故即.（6分）
（2）当取时，
所以，（9分）
所以.（12分）
当取时，，
①若为偶数，则；（9分）
②若为奇数，则.（11分）
故.（12分）
19．（12分）
【解析】（1）方法一：如图，取的中点，连接
由题可得平面，所以，.
因为，，所以，，（2分）
又，所以平面，且四边形为正方形，（4分）
所以，，
又，所以平面.（5分）
方法二：如图，取的中点，连接
由题可得平面，所以，.
因为，，所以，，（2分）
又，所以平面，且四边形为正方形．（4分）
因为平面，所以平面平面,
又平面平面，，所以平面.（5分）
（2）由（1）可知，两两垂直,以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
令，则，.
故,,,,.
所以,,.（8分）
由（1）可知为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则，即，
令则则为平面的一个法向量.（10分）
所以.
结合题意知二面角的余弦值为.（12分）
20．（12分）
【解析】（1）记事件为前题都回答正确；
记事件为前题有且只有题回答错误，其余回答正确，且第题回答正确.
记挑战一次获得成功为事件，则事件包含，两个事件，且，互斥，
所以.（2分）
因为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为，
所以.
故甲挑战一次就获得成功的概率为.（4分）
（2）设乙在一周内挑战成功的次数为，
由题意知，服从二项分布，即. （5分）
因为，所以，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
（10分）
因为，（11分）
所以.（12分）
21．（12分）
【解析】（1）当时，，
因为，所以，即，不符合题意；（2分）
当时，由可知，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.（3分）
所以.（4分）
由恒成立可知，所以.（5分）
又因为，所以的取值范围为.（6分）
（2）因为，所以，即.
令，由题意可知，存在不相等的两个实数，使得.（7分）
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.
不妨设，则.
设，（8分）
则，
所以在上单调递增，（9分）
所以，即在区间上恒成立.
因为，所以.（10分）
因为，所以.（11分）
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即.（12分）
22．（12分）
【解析】设，.
（1）当时，不妨设.由可得，
则，，
所以椭圆在点处的切线方程为，
整理可得.
同理可得椭圆在点处的切线方程为.
当时，椭圆在点处的切线方程满足方程，同理也满足，（2分）
因为椭圆在点处的切线经过点，所以.
同理椭圆在点处的切线也经过点，所以.
所以直线既经过点，又经过点.
所以直线的方程为，（4分）
因为，所以，即，
由可得.
所以直线恒过定点.（6分）
（2）方法一：由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为.
由，可得.（7分）
所以，.
所以
.（9分）
因为，所以.
所以，可得，即.（10分）
又因为直线的方程为，且.
所以.
所以，，
故点的坐标为.（12分）
方法二：因为，所以.
设，则.（7分）
因为，均在椭圆上，所以，所以.
同理可得.
所以.所以，即.（8分）
设点到直线的距离为，则，所以，.（10分）
由题意可知直线的斜率存在且不为.
设直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，即，解之可得.
由（1）可知，直线的斜率为则，所以，.
所以点的坐标为.（12分）
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
A
D
C
B
D
A