山东省2024届高三下学期5月联合模拟考试数学试题（Word版附答案）

这是一份山东省2024届高三下学期5月联合模拟考试数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了BD 10，证明等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（ ）
A．3B．3.5C．4D．5
2．已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（ ）
A．120B．72C．64D．48
5．已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．60°B．120°C．135°D．150°
6．已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
7．已知等差数列满足，则下列数值中可能得取值是（ ）
A．B．C．4D．6
8．已知函数，则与图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，为复数，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则的最小值为2D．若，则或
10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．B．
C．事件与是互斥事件D．事件与相互独立
11．已知双曲线的渐近线方程为，过的右焦点的直线交双曲线右支于，两点，的内切圆分别切直线，，于点，，，内切圆的圆心为，半径为，则（ ）
A．的离心率等于B．切点与右焦点重合
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．二项式的展开式中，的系数为10，则___________.
13．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为___________.
14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，，若，当四面体体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性.
16．（15分）
如图，在四棱台中，底面为正方形，为等边三角形，为的中点.
（1）证明：；
（2）若，，求直线与平面所成角的余弦值.
17．（15分）
已知数列满足，，.
（1）若，为递增数列，且，，成等比数列，求；
（2）若，，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.
18．（17分）
已知椭圆的上顶点为，左焦点为，点为上一点，且以为直径的圆经过点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，线段上存在点满足，过与垂直的直线交轴于点，求面积的最小值.
19．（17分）
设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义，两点间的距离.
（1）求中的点对的个数；
（2）从集合中任取两个不同的点，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，.（注：当足够大时，）
高三数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1-5 CBCBB 6-8 DAD
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.BD 10.AC 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2 13. 14.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：（1）因为，，
所以， 2分
曲线在处的切线与垂直，
所以， 4分
得； 5分
（2）由得，
的定义域为， 6分
当时，令得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减； 9分
当时，的定义域为，令得
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增. 12分
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减.
当时，在上单调递减，在上单调递增 13分
16.（1）证明：连接，因为为等边三角形，所以， 2分
因为为正方形，所以
在四棱台中，，
所以，
所以平面， 4分
因为，所以平面，
因为平面，所以； 6分
（2）因为，，，所以，所以，
所以平面，即平面， 8分
以点为坐标原点，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，， 10分
设是平面的法向量，
所以得，得， 12分
直线与平面所成角正弦值为， 14分
直线与平面所成角的正弦值 15分
17.解：（1）为递增数列，所以，所以为等差数列， 2分
因为2，，成等比数列，所以， 4分
整理得，得，， 6分
因为为递增数列，所以； 7分
（2）由于是递增数列，因而，于是
①
但，
所以.② 9分
又①，②知，，因此
③ 10分
因为是递减数列，
同理可得，
故，④
由③，④即知，， 12分
于是
， 14分
故数列的通项公式为. 15分
18.解：（1）由题意知，，因为点在椭圆上，
所以， 2分
所以， 3分
由，得①，
又②，
由①②得，， 5分
所以的方程为：； 6分
（2）由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，
且，，，
将代入，
整理可得，
，
解得， 8分
由根与系数的关系可得，，
根据，得， 10分
解得， 11分
设与直线垂直的直线方程为，
令，则，即，
故，
， 14分
记面积为，
则
， 16分
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为7. 17分
19.解：（1）当时，中的的点对
第一个位置坐标相同时，此时点对有，，，4对，
同理，第二、三个位置坐标相同时，各有4对，故共有12对。 3分
（2）①根据题意可知，中点的个数为个，
对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，即，剩下个坐标值满足，此时所对应情况数为种.即， 8分
故分布列为：
数学期望；
倒序相加得，
即. 11分
②当足够大时，，
由方差定义， 12分
因为，
故上式. 16分
所以 17分
1
2
…
…