2025--2026学年山东省惠民县惠民一中高一下册第一次月考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省惠民县惠民一中高一下册第一次月考数学试题 [含答案]，共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列角中，与终边相同的角是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】终边相同的角相差360°的整数倍，所以要找到一个正数，使得等于选项中的某个角.
【详解】因为，
所以与终边相同的角是.
故选：B.
2. 下列命题中，正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 向量与向量的模相等
【答案】D
【解析】
【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误；
对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误；
对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误；
对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反．
根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确，
故选：D．
3. 若，且为第一象限角，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】因为，且为第一象限角，所以，
.
故选：C.
4. 已知，则（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
5. 已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则（）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
将所求式子平方，把已知条件代入即可求解.
【详解】由题意得，，
故选：A.
6. 已知，向量，，则“”是“”的（）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】若，则，故，故；
若，则，故或，
故“”是“”的充分不必要条件.
7. 已知函数，则（）
A. 是最小正周期为的奇函数B. 是最小正周期为的偶函数
C. 是最小正周期为的奇函数D. 是最小正周期为的偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式进行化简，再利用函数解析式求解相应的性质.
【详解】由诱导公式得，
因为，
所以是奇函数，其最小正周期为.
故为最小正周期为的奇函数.
故选：C.
8. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解.
【详解】设，所以，
则，，故;
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，若，则角可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】在中，因为，所以或．
故选：AC．
10. 已知函数，则（）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上的最小值为
C. 点是图象的一个对称中心
D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称
【答案】BC
【解析】
【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D.
【详解】对于A，的最小正周期为，A错误；
对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得此时函数单调递减，所以在区间上的最小值为，B正确；
对于C，因为，所以点是图象的一个对称中心，C正确；
对于D，因为，所以平移后得到的图象不关于轴对称，D错误；
故选：BC.
【点睛】三角函数图象变换题的解题入手点
1.对于函数，其图象的基本变换有如下几种：
（1）纵向伸缩变换：由的变化引起，时伸长，时缩短；
（2）横向伸缩变换：由的变化引起，时缩短，时伸长；
（3）横向平移变换：由的变化引起，时左移，时右移；
（4）纵向平移变换：由的变化引起，时上移，时下移．
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换．
2.若变换前后的函数名不同，则需要先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论．
3.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来进行推．
11. 已知向量，，，则下列说法正确的是（）
A. B. 在上的投影向量为
C. 与夹角的余弦值为D. 若与垂直，则实数
【答案】AC
【解析】
【详解】对A，，则，故A正确；
对B，在上的投影向量为，故B错误；
对C，与夹角的余弦值为，故C正确；
对D，，若与垂直，
则，解得，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______.
【答案】
【解析】
【详解】根据诱导公式可知，
且.
13. 在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________．
【答案】##0.875
【解析】
【详解】
因为三角形三边之比为，
所以可设三边长分别为，
根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知，
对应的角即为该三角形的最小角，
．
14. 已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可.
【详解】.
因为，所以时，，
因为在上单调递增，所以，，
解得，.
又，所以当时，，当时，范围不符合题意.
综上的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）求的坐标；
（2）求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量加减运算、数乘运算的坐标表示计算可得结果；
（2）利用向量夹角的坐标表示直接代入计算可得结果.
【小问1详解】
由可得，；
；
因此.
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
因此与夹角的余弦值为.
16. 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求出，进而求出余弦值、正切值.
（2）根据二倍角公式、两角和差的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
依题意，解得，
所以，．
【小问2详解】
由（1），，
所以．
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且.
（1）求角；
（2）若，平分，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求.
【小问1详解】
由条件，利用正弦定理可得，
因为，所以，
代入上式：，
整理得：，又，
故即，又，所以.
【小问2详解】
由三角形面积公式知，可得，
又，由余弦定理，得，
于是可得或.
因为平分，由角平分线性质，，
且，所以
故的长度为或.
18. 已知函数的最大值为.
（1）求函数的最小正周期和常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合.
【答案】（1）最小正周期为；.
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质即可求解；
（2）利用正弦函数的单调性求解即可；
（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.
【小问1详解】
，
此时函数的最小正周期，
因为的最大值为，且函数的最大值为，所以，
解得.
【小问2详解】
由（1）可知，
由，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
【小问3详解】
由，得，
即，所以，
解得，
因此，满足的的取值集合为.
19. 将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：，已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且.
（1）若为钝角，试探究与能否垂直?若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角.
【答案】（1）不能，理由见详解；
（2）；．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，求得，即，进而化简a+ba−5b，根据为钝角，即可得到结论；
（2）因为，求得，由向量的模的运算公式，求得，得到当时，，得出，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意，因为，可得，
解得，即，则，
所以a+ba−5b=a2−4a⋅b−5b2=36−48csθ−20=16−48csθ，
因为为钝角，所以，故a+ba−5b=16−48csθ>0，
所以与不可能垂直．
【小问2详解】
因为，所以，
所以a−4kb2=a2−8ka⋅b+16k2b2=36−48k+64k2=64k−382+27，
当时，，所以，此时，
因为，
所以csa,a−32b=a⋅a−32baa−32b=276×33=32，
又因为a⃗,a⃗−32b⃗∈0,π，所以a⃗,a⃗−32b⃗=π6．