2025--2026学年江苏南通市海安市实验中学高一下册4月阶段检测数学试题 [含答案]

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1．在中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用正弦定理即可.
【详解】在中，由正弦定理：
，即，解得：.
故选：B
2．计算的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
.
3．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件.（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据余弦定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断.
【详解】若，则，则角为锐角，但不能说明角也是锐角，所以不能推出为锐角三角形，
反过来，若为锐角三角形，则角是锐角，则，即，
所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.
4．函数的最小正周期为（ ）
A．4πB．2πC．πD．
【答案】C
【分析】使用二倍角公式化简即可.
【详解】，所以.
5．在边长为3的等边三角形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量的数量积计算．
【详解】，
．
故选：C．
6．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据大边对大角，只需边长对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.
【详解】因为三角形是锐角三角形,所以最大边长对应的角为锐角，设该角为,
所以,即,解得或（舍去）.
故选：C.
7．已知，，则（ ）
A．B．2C．D．-2
【答案】D
【详解】由 ，，得 .
.
.
8．如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值
【详解】如图可知x，y均为正，设，
共线， ，
，
则，
，
则的最小值为，故选D.
【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题
二、多选题
9．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案.
【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则，故A正确；
对于B，在平行四边形中，，则，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，在平行四边形中，，
，故D正确.
故选：ACD.
10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若是等边三角形，则
【答案】ACD
【分析】根据是锐角三角形，得，再根据正弦函数的单调性可得，可得A正确；
对于B、C、D分别根据余弦定理角化边，可判断B、C、D.
【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，即，故A正确；
对于B，由及余弦定理，可得，化简得，得或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由及余弦定理得 化简得，所以等腰三角形，故C正确；
对于D，由是等边三角形，所以，，所以，所以，故D正确．
故选：ACD
11．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到
D．是函数图象的一个对称中心
【答案】ABD
【分析】先利用三角恒等变换的公式化简，然后再逐项进行分析即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
A．，故正确；
B．因为，所以，
由在上单调递减可知在上单调递减，故正确；
C．函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，
得到函数，不是，故错误；
D．令，所以，
当时，，所以是函数图象的一个对称中心，故正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．已知向量，，若与垂直，则的值为_____.
【答案】1
【详解】已知，，
因此： ，
由题意 ，
即 ，
解得.
13．已知，则_____________．
【答案】
【分析】利用诱导公式以及二倍角公式求解即可．
【详解】
故答案为：
14．点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】以为原点平面直角建立坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示得出所求表达式，再配方求最值即可．
【详解】如图，以为原点平面直角建立坐标系，
则，设，
，
则当时，取得最小值，最小值为．
四、解答题
15．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)证明：；
(2)若，边上中点为D，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，求得角，即可证明；
（2）根据（1）的结果，再结合，再根据余弦定理求和，再根据余弦定理求的值.
【详解】（1）由正弦定理可知，，
即，则（舍）或，
又，所以，即；
（2）由条件可知，
，且，
中，，即，
中，.
16．已知
（1）求的值；
（2）已知，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先化简，算出，即可齐次化求解.
（2）先求出，进而求出，再通过即可求解.
【详解】（1）由已知得，所以
（2）由，可得，
则
因为，所以，又，则
因为，，则，则，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是缩小角的范围，要注意和一些特殊角的三角函数值比较大小，从而缩小角的范围.
17．已知向量，，，.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围；
(3)若，求的最大值及对应的.
【答案】(1)
(2)
(3)，对应.
【分析】（1）根据向量共线的坐标公式求解即可.
（2）把与的夹角为锐角，转化为数量积大于0，再结合角的范围求解即可.
（3）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．
【详解】（1）因为向量，，且，
所以，即.
因为，所以.
（2）因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线.
化简得.
因，故，时，.
由（1）知共线时，需舍去.
故的取值范围为.
（3）
.
因，故，的最大值为，
此时，的最大值为.
故最大值为，对应.
18．在菱形中，，，，.
(1)若，求的值；
(2)求的值；
(3)若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3)不是定值，取值范围为.
【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值；
（2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值；
（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围.
【详解】（1）因为，，所以,
又因为，所以，，所以；
（2）因为，所以，
在菱形中，，所以，所以
（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
由菱形边长为，，得，，，，
因为，易得，由可得，
在线段上，则 ，.
，，所以，又，
所以，又因为，所以.
故不是定值，取值范围为 .
19．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量.
(1)设函数求函数的友好向量；
(2)若向量的友好函数在处取得最大值，求；
(3)设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用两角差的正弦公式对展开，结合题目中的定义即可得解；
（2）利用辅助角公式及正弦函数图象求出，再利用倍角公式即可求出答案；
（3）将方程化为，令，作出的图象，数形结合即可求解.
【详解】（1）因为，
所以函数的友好向量为.
（2）向量的友好函数为（其中），
函数在处取得最大值，即，
所以，
则.
（3）由题意，向量的友好函数，
方程为，
则方程有四个实数解，
所以有四个实数解，
令，
①当，
②当，
据此作出的图象：
由图可知，当时，函数与有四个交点，即实数的取值范围为.