山西省太原市2026年高三下高考二模数学试卷

这是一份山西省太原市2026年高三下高考二模数学试卷，共39页。试卷主要包含了BC，ACD，BCD，10， 5， 14等内容，欢迎下载使用。

太原市 2026 年高三年级模拟考试（二）数学试题参考答案及评分建议
四．解答题:本题共 5 小题，共 77 分.
解:（1）由题意得T  2  2， 0 ， 1， f (x)  sin( x ) ，
||
)
 f ( 3  sin( 3 )  1， 3    2k， k  Z ，    2k，
44424
，，

     f ( x)  sin( x  ) ，………4 分
一．选择题：
B
D
A
B
C
D
B
A
二. 选择题：
9.BC
10.ACD
11.BCD
三．填空题:
12.10
13. 5
14. 14
22
由 2k x 
24
4
 2k得
2
4
 2k x 
4
3 2k，
4
k  Z ，
 f (x) 的单调递增区间为[ 2k, 3 2k]， k  Z .………6 分
44

)
（2）由题意得 g ( x)  f ( x    sin x ， g (  x)  sin(  x) ，………8 分
433
sin x sin(
 y  g ( x) g ( x)  x)  3 sin x cs x  1 sin2 x  3 sin 2x  1 cs2x  1
3322444
)
 1 sin(2x   1 ,  y  g ( x) g ( x) 的值域为[ 3 , 1] .………13 分
26434 4
c3
a
e  

解：（1）由题意得4a  8,
2 ,a  2,

得b 1,
椭圆C 的方程为 x
2
4
 y 2
 1 . ………6 分


3,
c
a2  b2  c2
3

 2 3m
（2）由（1）得 F2 (
3,0) ，设直线l 的方程为 x  my 
， P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ，
x  my 3,

221
 4
y
1
由x2  2 
(  2 3m )2 
4  m2
4
4  m2
4 m2  1

得(4  m ) y  2
3my 1  0 ， y1  y2 
4  m2
，y1 y2   4  m2 ，
( y  y )2  4 y y
12
1 2
| y1  y2 |
4 3 m2  1
1

4  m2
， ………10 分
3
2
3
S1  S2  2 | F1 F2 | (| y1 |  | y2 |) | y1  y2 | 4  m2 2 ， m  ，
直线l 的方程为 x 
2 y 
 0 .………15 分
解:（1） AB 2 ， AC  3 ， BAC  45 ，
 BC 2  AB2  AC 2  2 AB  AC cs BAC  5 ， BC  5 ，………1 分
 PC  2 ， PB  1， BC 2  PB2  PC 2  5 ，BPC  90 ， PB  PC ，
5
 PA ， PC  2 ， AC  3 ， AC 2  PA 2  PC 2  9 ， PA  PC ，
 PA ∩ PB  P ， PC  平面 PAB ，………4 分
2
2
AB2  PB2  PA 2
csABP 
2AB  BP
 
2
，0  ABP  180 ，sin ABP ，
2
△ PAB 的面积为 S
 1 AB  PB sin ABP  1  2 
2  1 ，
PAB2
222
三棱锥 P  ABC 的体积V  1 S PC  1  1  2  1 .………6 分
3 PAB
323
2
过点 B 作 BD  AC ，垂足为 D ，BAC  45， AB 
以 D 为原点，DB, DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,1,0) ，B(1,0,0) ，C(0,2,0) ，过点 P 作 PQ  平面 ABC，垂足为Q ，由直线 PB 与平面
， AD  BD  1 ，
ABC 所成的角为60 ，可得 PQ 
31

， BQ ，
22
设(0  2) 为在 Dxy 平面内射线 Bx 从 x 轴的非负半轴开始，绕点 B 按逆时针方向旋
转至 BQ 时的旋转角，则Q(1
1 cs,
2
1 sin,0) ， P(1
2
1 cs,
2
1 sin,
2
) ，……8 分
3
2
设 m  (x, y, z) 是平面 PAC 的一个法向量，
则
m  AC,

3y  0,


113
m  AP,
(1 2 cs) x  (1 2 sin) y 
 z  0,
2
3
令 x  
，则 y  0, z  2  cs， m  (
3,0,2  cs) ，………10 分
显然 n  (0,0,1) 是平面 ABC 的一个法向量，
cs  m, n 
m  n
，
3  (2  cs)2
1
3
3  t 2
| m || n |
2  cs
………12 分
3  t 2
令t  2  cs， 0  2，则1  t  3 ， f (t) t

在[1,3] 上递增，
3

 1  cs  m, n t，
23  t 22
3
1
设平面 PAC 与平面 ABC 的夹角为，则
2
 cs| cs  m, n |，
2
平面 PAC 与平面 ABC 夹角的取值范围为   .15 分
[, ]
6 3
解：（1） f (x)  ax  a  ln x ， f (x)  a  a
xx2
 1 ， f (1)  0 ， f (1)  2a 1，
x
 f (x) 在 x  1 处的切线方程为 y  f (1)  f (1)(x 1) ，即 y  (2a 1)(x 1) ，
该切线过点(3,2) ， 2  (2a 1)(3 1) ， a  1.………5 分
由题意易得 f (1)  0 ，由（1）得 f
(x)  a  a
x2
 1 
x
ax2  x  a x2
， x  0 ，
当 a  0 时， f (x)  0 ， f (x) 在(0,) 上单调递减， f (x) 有唯一零点 x  1 ；…7 分
当 a  1 时， f (x)  0 ， f (x) 在(0,) 上单调递增， f (x) 有唯一零点 x  1 ；…8 分
1 1 4a2
1 1 4a2
2
1
当0  a  时，令 f
2
(x)  0 ，则 x1 
2a或 x2 2a，
 f (x) 在(0, x1 ) 和(x2 ,) 上单调递增，在(x1 , x2 ) 上单调递减，………9 分
① x1  1  x2 ， f (x) 在(x1, x2 ) 内的零点是 x  1 ；
② f (x) 在(x1, x2 ) 上单调递减， f (x1 )  f (1)  0  f (x2 ) ，
当 x  0 时， f (x)  ax  a  ln x   ， f (x) 在(0, x ) 内有一个零点；
x1
a
③当 x   时， f (x)  ax  x  ln x   ， f (x) 在(x2 ,) 内有一个零点；
综上，当 a  0 或 a  1 时， f (x) 有一个零点；
2
当0  a 
1 时，f (x) 有三个不同零点.………12 分
2
由（2）得当0  a  1 时，f (x) 有三个不同零点，即 f (x) 在(x , x ) 内的零点是 x  1 ，
212
在(0, x1 ) 和(x2 ,) 内各有一个零点，分别记它们为 m, n ， 0  m  x1  1  x2  n ，
则 f (m)  am 
a  ln m  0 ， f (n)  an  a mn
 ln n  0 ，………13 分
1
f ()  a  
1  1 1
1 1 4a2
 x
1 1 4a2
amln mf (m)0 ，且2 ，
mmx12a 2a
1
 f (x) 在(x2 ,) 内有一个零点， n  m ，………16 分
 f (x) 的三个不同零点的乘积为1 m  n  1 .………17 分
12
解：（1）由题意得 P1 ( A)  0, P1 (B)  3 , P1 (C )  3 ，
2121124
P2 ( A)  3 P1 (B)  3 P1 (C ) 
    ，
33339
P (B)  1 P ( A)  2 P (C )  1  0  2  2  4 ，
23 13 1

3339
P (C )  2 P ( A)  1 P (B)  2  0  1  1  1 ，

23 13 1
21
3339
24111
P3 ( A)  3 P2 (B)  3 P2 (C ) 
  
3939
 .………5 分
3
2112
由题意可得 Pn1 ( A)  3 Pn (B)  3 Pn (C ) ， Pn1 (B)  3 Pn ( A)  3 Pn (C ) ，
P(C )  2 P ( A)  1 P (B) ，且 P ( A)  P (B)  P (C )  1(n  N * ) ，………8 分
n1
3 n3 n
nnn
 P( A)  2 P (B)  1 P (C )  2 P (B)  1 [1  P ( A)  P (B)] ，
n1
3 n3 n
3 n3nn
 Pn (B)  3Pn1 ( A)  Pn ( A) 1 ， Pn1 (B)  3Pn2 ( A)  Pn1 ( A) 1，
又 P (B)  1 P ( A)  2 P (C)  1 P ( A)  2 [1 P (B)  P ( A)]  2  1 P ( A)  2 P (B)
n1
3 n3 n
3 n3n

n33 n3 n
 2  1 P ( A)  2  (3P( A)  P ( A) 1)  4  2P( A)  P ( A) ，
33 n
3n1n
3n1n
3P( A)  P( A) 1  4  2P ( A)  P ( A) ，
n2
n1
3n1n
 P( A)  P( A)  1 P ( A)  7 .………11 分
n 2
n13 n9
17
由（2）得 P( A)  P( A)  P ( A)  ，设 a  P ( A)  1 (n  N * ) ，
n 2
1
n1
3 n9
11
n3
1
则 an 2  an1  3 an  0 ，且 a1   3 , a2  9 ，
由方程 x2
 x  3  0 的根为 x1 
 3 
6
3i

, x2
 3 3i
，
6
可得 a  x n  kx n  (  3 3i )n  k (  3  3i )n ，
n1266
 3  3i
 3  3i
1
a1 
则

66
k   ,
3
 k  1 ，

a  (
 3  3i
)2 (
 3  3i
)2 k  1 ,3
 2669
 a  1 [(  3 3i )n  (  3  3i )n ]  1 ( 3 )n[( 3  1 i)n  ( 3  1 i)n ]
n36
6332222
 2 ( 3 )n cs 5n, P ( A)  1  2 ( 3 )n cs 5n.………17 分
336
n3336
注：以上各题其它解法请酌情赋分.