2026年上海市青浦区高三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年上海市青浦区高三下学期二模数学试卷和答案试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一. 填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 每题 4 分，第 7-12 每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
已知集合
A  0,1, 2, 3 ，集合 B   1,1
，则 A  B 
抛物线 y 2  8 x 的准线方程是
在平面直角坐标系 xOy 中, 角的顶点与坐标原点 O 重合、始边与 x 轴的正半轴重合, 其终
边经过点 P 1, 3
已知复数 z  1  3i
1  2i
, 则tan
，则 z 
已知函数 f  x   1 x3  x  3 ，则曲线 y 
3
f  x  在点0, f 0 处的切线方程为
某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产量的 3 ，其产品次品率为5% ；乙生产线的产量占全厂总产量的 2 ，其产品次品率为10% 。
55
若从全厂产品中随机抽取 1 件，抽到次品的概率为
已知 x  m6  a  a x  a x2  a x6 ，若a  20 ，则m 
01263
若函数
y  sinx  （常数  0 ）在区间 0, 上没有最值，则的取值范围是
3 

已知 ABC 为等腰三角形，且 sin A  2sin B ，则 csB 

2
2
2
2
已知点 F 是双曲线 E : xy 1a  0,b  0 的左焦点，经过原点 O 的直线l 与双曲线 E
ab
交于 P 、 Q 两点，若 PF
 5 QF
且PFQ  60 ，则双曲线 E 的离心率为
若数列an  共 10 项, 其中 a1  1 , a10  16 , 且 ak 1  ak  1, 2 , 1  k  9, k  Z  , 则这样的不同数列共有 个（用数字作答）
已知平面内的三个非零向量 a 、b 、 c 满足：
    ，

 2 ，

a, bab
a c
    b  
c

c
4

b  c  c  a 17 ，则当
取得最大值时， c 
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 每题 4 分，第 15-16 每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
下列说法中错误的是（）
平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
总体的数据都分布在样本的极差范围内
设 y  f  x  是定义在 R 上且周期为 2 的奇函数，当 2  x  3 时， f  x   lg 2  x  2  ，
则 f   1   （ ）
2 

1
B. 1C. 2D. 3
已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米，地面上的动点 P
到两旗杆顶点的仰角相等，则点 P 的轨迹是（ ）
A. 椭圆B. 圆C. 双曲线D. 抛物线
n
对于数列 a  ，若存在 M  0 ，使得对任意 n  N• ，有
a2  a1  a3  a2    an1  an  M ，则称an  为“有界变差数列”
有以下两个结论：
① 若各项均为正数的等比数列an  为“有界变差数列”，则其公比 q 的取值范围是(0,1)；
② 若数列 x  ,  y  均为“有界变差数列”，且 y  y  0 ，则数列 xn  是“有界变差数列”．则以下
y
nn
选项正确的是（）.
n1
 n 
A. ①是假命题, ②是真命题B. ①是假命题, ②是假命题
C. ①是真命题, ②是假命题D. ①是真命题, ②是真命题
三．解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分)，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期。一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格：
求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 8
天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，
并根据列联表判断，是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
潜伏期（单位：天）
[0,2]
(2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,14]
人数
50
150
200
300
200
60
40
潜伏期≤8 天
潜伏期>8 天
总计
50 岁以上（含 50）
100
50 岁以下
65
总计
200
附： 2
n(ad  bc)2
 a  bc  d a  c b  d 
P2  6.635  0.01, P2  5.024  0.025, P2  3.841  0.05, P2  2.706  0.1.
(本题满分 14 分, 第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分)
已知函数 y 
f  x 
，其中
f x 
3 sin2x  1 cs2x .
22
若
f  x   1 , x
0, , 求 cs2x 的值；
030
2 0
若方程
f  x   a
在区间 0, 7 上恰有两个不同的零点 x , x ，求实数 a 的取值范围及
612

x1  x2 的值.
(本题满分 14 分, 第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分)
如图所示, 在三棱锥 P  ABC 中， AB 是 ABC 外接圆的直径，  PAC 是边长为 2 的等边三角形，
E、F 分别是 PC、PB 的中点， PB  AB ， BC  4 .
求证：平面 PAC  平面 A B C ；
求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值.
(本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分)
x22x22
已知椭圆 C1 : 4  y 1与椭圆C2 : 2  y  1，椭圆C 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 为椭圆
C1 上异于其左、右顶点的任一点, 直线l1 , l2
均过点 P .
求PF1F2 面积的最大值；
若 l1 过点 F1 且与C 2 交于 D、E 两点， l2 过点F2 且与 C 2 交于 M、N 两点，当直线l1 , l2 的斜
率 k , k 满足k k  1 时，证明： DE  MN 为定值；
121 22
是否存在点 P ，满足l1 , l2 均与C 2 相切，且l1  l2 ? 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
(本题满分 18 分, 第 1 小题 4 分, 第 2 小题 6 分, 第 3 小题 8 分)
函数 y  f  x  和 y  g  x  有相同的定义域，导函数分别为 y  f   x  ， y  g   x  ，若在定义域内
均有 f   x   g   x  ，则称 y  f  x  是 y  g  x  的“G 函数”.
判断
y   x3  x
是否为 y  csx 的“G 函数”，并说明理由；
已知函数 y  f  x  和 y  g  x  都是定义域在R 上的偶函数，且 y  f  x  是 y  g  x  的“G 函
数”，证明： g  x   f  x   c （c 为常数）；
若 3  a  1, f  x   x ln x   a  3  x, g  x   e x  a  x  3  , x  0 ，证明：函数 y 
2
函数 y  g  x  的“G 函数”.
f  x  是
参考答案
2

一、填空题
1. {0} 2.
x  2
3. 3
4.
5. y   x  3
6. 7% 7. 1
8.  0, 5 
9. 7
10.31
11. 28 12.
6 84
7
二、选择题
13. C 14. B 15. B 16. A
三、解答题
17.（1） x  7
（2）列联表如下， 2  2.38  3.841 ，没有 95%的把握
潜伏期≤8 天
潜伏期>8 天
总计
50 岁以上（含 50）
75
25
100
50 岁以下
65
35
100
总计
140
60
200
6
18.（1） 1  2
（2） a   1, 1  ； x
 x 的值为 4
62 123

19.（1）证明略 （2） 5
10
2
20.（1）1 （2）定值为3
2 63 
，证明略 （3）存在，点 P 坐标为 , 
33 

21.（1）是，理由略 （2）证明略 （3）证明略