2026年中考数学二轮复习讲练测(浙江专用)热点05赵爽弦图相关问题专项训练(热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年中考数学二轮复习讲练测(浙江专用)热点05赵爽弦图相关问题专项训练(热点专练)(学生版+解析)，共16页。
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 利用弦图证明或再认识勾股定理
题型02 弦图中求线段长或面积
题型03 弦图变式探究
题型04 弦图与相似三角形综合
题型05 弦图的构造与逆向应用
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 利用弦图证明或再认识勾股定理
例1（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的三角形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
例2（2022·浙江杭州·二模）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将三角形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)若三角形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
【变式1】（2022·湖南长沙·一模）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题：
(1)请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
(2)请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理．
【变式2】（2022·湖南株洲·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【变式3】（2023·山东济宁·二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．


(1)如图2、3、4，以直角三角形的四边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(2)如图5所示，分别以直角三角形四边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①；
②与的关系为，与的关系为______．
题型02 弦图中求线段长或面积
例1（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中大正方形面积为，，则小正方形的面积为 ______．

例2（2022·浙江温州·三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段和上分别取点和点，使，连接、、和，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作，，，，连接并延长交于点．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2021·浙江温州·模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形中，以点B为圆心，为半径作，再以为直径作半圆交于点E，若边长，则的面积为（ ）
A．20B．C．24D．
【变式2】（2022·浙江金华·模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2是小明同学根据弦图思路设计图案．在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E．连结DE并延长至点F，使得DF=CE，过B作BH⊥CE于点H，延长AF交BH于点G．若AB=10，则四边形EFGH的面积为______．
【变式3】（2025·浙江宁波·二模）弦图是我国古代数学家证明勾股定理时使用的一种精巧的几何图形，最早见于《周髀算经》和三国时期刘徽的《九章算术注》．弦图的基本结构由四个全等的直角三角形和一个中心正方形组成．如下弦图中，四边形和四边形为正方形，点E，F，G，H分别在边上，，连结，分别交于点M，N，．则的长为（ ）
A．B．C．D．
题型03 弦图变式探究
例1（2022·浙江衢州·一模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）
A．6B．5C．D．
例2（2025·浙江温州·二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图由两个全等的三角形和三角形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点 ，，在一条直线上，若，，则拼补后的正方形边长为（ ）
A．5B．6C．D．
【变式1】（2021·浙江绍兴·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）

A．9B．8C．7D．6
【变式2】（2022·浙江金华·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连接图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若大正方形的边长为，，则小正方形的边长为（ ）
A．B．C．1D．
【变式3】（2023·浙江丽水·一模）公元3世纪，我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结、，设，，．

（1）若，则______．
（2）若，则的值是______．
题型04 弦图与相似三角形综合
例1（2025·浙江·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，射线与的延长线相交于点P．若，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
例2（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连结并延长交于点，交于点，正方形的面积为，正方形的面积为，若时，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1】（2025·浙江宁波·三模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2025·浙江杭州·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分．
(1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论．
(2)已知，求的长．
题型05 弦图的构造与逆向应用
例1（2022·浙江温州·模拟预测）古希腊希波克拉底在研究勾股定理的应用时曾经构造了经典的“月牙图”，从中发现了很多特殊的性质．如图，已知A是以为直径的半圆上的一点，D，E，M，N分别是半圆，半圆，，的中点，连接，，过点A作于点H．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
例2（2024·山东青岛·二模）在一个图形的内部（含边界）任取一点构造直角，使直角绕着顶点旋转，与该图形相交能构成一个新的封闭区域，那么我们称这个图形为“底弦图”，其中直角所对的“线”称为“直角弦”．
(1)如图1，“底弦图”是一个半径为3的圆，的顶点在上，所对的即为它所对的“直角弦”．小乐同学发现，在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为____________；
(2)如图2，“底弦图”是一个边长为3的正方形，的顶点在正方形的中心，元线即为所对的“直角弦”．在旋转过程中所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
(3)如图3，“底弦图”是一个长为6，宽为4的三角形．，在旋转过程中的两边与三角形分别相交于点E，F（点E在AB上，点F在BC上），所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是___________．
【变式2】（2025·贵州·一模）【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决．
【初步探究】
（1）如图②，M，N是正方形内的点，且，，连接，则的度数为_；（M，N不重合）
【问题解决】
（2）如图③，在中，，P为边上一个动点（不与点A，C重合），连接，过点C作于点D，E是上一点，且，过点E作交于点F，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．

【变式3】（2025·山东淄博·一模）东汉末年，我国古代数学家赵爽在《周髀算经》注中用一幅“弦图”巧妙证明了勾股定理．这幅图（如图）由四个全等的直角三角形（称为“朱实”）和一个小正方形（称为“黄实”）拼成一个大正方形．其中，，四边形恰为正方形，体现了“数形相生”的思想．今年月日，恰逢学校数学文化节，数学社的同学们接到了一项实践探究任务：仿照赵爽弦图，探究图形的分解与再生．
(1)任务一：弦图生变，形解三角
某数学探究小组受赵爽弦图的启发，将正方形变成三角形，如图所示，在正的内部，构造，，，，两两相交于，，三点（，，三点不重合）．①请探究，，是否全等？②是否为等边三角形？请说明理由．
(2)任务二：弦图拓新，巧构六合
该数学探究小组仿照赵爽弦图，利用个全等的三角形和一个小的正六边形，拼成一个大正六边形，如图所示，若点为的中点，求大正六边形与小正六边形的面积比．
(3)任务三：弦图妙用，面积探究
该数学探究小组又尝试将正方形变成三角形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和三角形拼成大三角形，请探究与是否相似？并说明理由．若，，连结，，求三角形的面积．

（20小时限时练）
一、单选题
1．（2025·浙江·模拟预测）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连结并延长交于点N．若，则正方形与正方形的面积的比值为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若正方形的面积为8，，则正方形的面积为（ ）
A．56B．90C．64D．68
4．（2025·浙江绍兴·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·浙江温州·三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结CE，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·浙江丽水·一模）如图是我国汉代数学家赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结小正方形的对角线并延长与大正方形各边相交得到正方形．若，，则的长为_____________．
7．（2024·浙江杭州·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．
（1）连接，若恰为中点，则的度数为_______°；
（2）连接，若与的面积相等，，则的长为_________________．
8．（2025·浙江·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．
（1）若，则______．
（2）若，则的值是______．
9．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边于点M，N．若F，H是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为______ ．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，已知,，则_____________（结果用含,代数式表示）．
近三年具体考查形式
“赵爽弦图”作为中国古代数学文化的经典载体，在近三年浙江省中考中稳定出现，常作为中档或压轴题。考查形式灵活多样：
选择题/填空题：常以弦图为背景，考查勾股定理、面积关系、线段比例等基础计算。
解答题：是考查的主阵地，通常作为几何综合题或探究题。形式包括：① 直接利用弦图证明勾股定理；② 在弦图基础上进行变式与拓展（如改变内接图形形状、进行图形分割与拼接）；③ 将弦图思想应用于解决新问题（如求最值、证明线段关系）。
命题特点
文化传承与数学探究并重：题目常以“赵爽弦图”或“弦图”为引，介绍历史文化背景，随即转入数学探究，体现了“文化自信”与“数学素养”的融合。
“从特殊到一般”的探究路径：命题常遵循“特例感知→变式探究→拓展应用”的逻辑链条，引导学生从经典模型中提炼数学方法，并迁移到新情境中。例如，2023年衢州卷16题、2023年杭州卷10题是典型代表。
模型高度几何化，综合性强：弦图本身蕴含丰富的全等、相似、面积等几何关系。命题常将其与相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转换、代数运算深度结合，考查学生的几何直观与逻辑推理能力。
注重“等面积法”的运用：用不同方式表示同一个图形的面积，从而建立等量关系，是解决弦图相关问题的核心思想之一。
（3）核心考查内容与能力要求
核心知识：
勾股定理及其证明（尤其是等面积证法）。
全等三角形的判定与性质。
相似三角形的判定与性质。
正方形、直角三角形的性质。
代数运算与变形能力（常涉及勾股定理的变形）。
核心能力：
几何直观与模型识别能力：能迅速识别图形中的弦图结构或弦图变式。
逻辑推理与证明能力：能严谨地推导线段、面积之间的数量关系。
等量转换与方程思想：熟练运用“等面积法”或利用相似比建立方程。
迁移与应用能力：能将弦图中蕴含的数学思想（如“出入相补”）应用于新的几何构图。
趋势展望
预计2026年中考将延续并深化现有特点：
文化背景更丰富：可能结合更多中国古代数学著作（如《周髀算经》、《九章算术》）中的问题。
探究层次更深入：可能增减“逆向构造”或“动态变化”情境，如在弦图框架内，内接图形形状或位置发生变化，探究不变关系或函数关系。
与其它热点结合更紧密：可能与函数（求动点坐标关系）、最值问题（利用弦图结构求线段和的最值）等结合，提升综合难度。
2026年中考复习备考方向与策略建议
追本溯源，理解经典证明：必须让学生亲手用“赵爽弦图”的方法证明一次勾股定理，深刻理解“大正方形面积＝小正方形面积＋4个直角三角形面积”这一核心等量关系。这是所有变式题的根基。
专题训练“弦图”基本模型及其变式：
标准弦图：外方内四直一角（小正方形）。
变式弦图：外方向内倾斜（内接平行四边形、三角形），或直角三角形形状改变（等腰直角、含特殊角）。
通过对比练习，让学生掌握“无论内接图形如何变，外围四个直角三角形全等”这一关键特征。
强化“等面积法”与“相似法”双轨训练：
等面积法：针对涉及面积关系的问题，训练学生用不同方式（整体、部分和）表示同一图形面积。
相似法：针对涉及线段比例的问题，训练学生在弦图中快速找到相似三角形（常由直角和公共角产生）。
提升代数运算与变形能力：此类题最终常归结为关于a, b, c的代数式运算与方程求解。需减强学生从几何条件中抽象出代数关系，并进行熟练变形的能力。
进行“模型迁移”应用训练：选择一些非标准弦图背景，但蕴含相同思想（如用全等直角三角形拼接图形）的题目，训练学生识别模型本质并应用相关结论解决问题的能力。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：直接给出赵爽弦图或类似拼图，要求根据图形面积关系写出勾股定理 a² ＋ b² ＝ c²，或进行简单的证明说明。
核心策略：等面积法。用两种方式表示外围大正方形的面积。
实战技巧与步骤：
标量：设直角三角形两直角边与斜边。
整体法：表示大正方形边长，面积。
部分和法：大正方形面积＝内部小正方形面积＋4个直角三角形面积。
建立等式。
教学关键：让学生理解“拼图”背后的代数恒等变形。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：在标准的弦图构图中，已知其中部分线段长度，求其他线段长、正方形面积或图形总面积。
核心策略：利用勾股定理和全等性质进行直接计算。
实战技巧：
牢记弦图中的基本关系：大正方形边长＝a＋b，小正方形边长＝|a－b|，大正方形面积＝c²＋2ab＝(a＋b)²。
若已知a和b，可直接求一切。
易错点：忽略小正方形边长为|a－b|，当a＜b时易出错。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：保持外围四个全等的直角三角形不变，改变内部接的四边形形状（如变为三角形、平行四边形），探究新图形（如三角形）的面积或圆长与直角三角形边长a,b的关系。
核心策略：抓住“外围四个直角三角形全等”这一不变核心，推导新图形的边长与a,b的关系。
实战技巧与步骤：
分析新图形：确定内接图形是什么（如三角形），找出它的邻边分别由哪些线段组成。
表示边长：利用全等直角三角形的边角关系，用a,b表示出三角形的长和宽。通常，三角形的长和宽可能分别为(a＋b)和(b－a)或与之相关的表达式。
计算求解：根据题目要求（面积、圆长），代入表达式计算。
能力提升：此题型训练学生的几何观察力和用字母表示数量的能力。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：在弦图或其变式图形中，连接某些线段，构造出新的三角形，要求证明三角形相似或利用相似比求线段比例。
核心策略：寻找“共角”或“直角”模型，证明三角形相似。
实战技巧：
常出现的相似模型：由弦图内小正方形的顶点与外围大正方形顶点连线构成，利用70°角与公共角，证明三角形相似。
例如，2023年杭州卷10题，需要证明△PGF∽△PAH等，从而建立面积比与边长比的关系。
解题关键：准确标注相等的角，并利用相似将面积比转化为线段比的平方。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：不直接给出弦图，而是提供一个需要利用弦图思想或方法解决的问题。例如，已知a²＋b²和ab，求(a＋b)²；或通过图形剪拼验证公式。
核心策略：识别题目本质是弦图公式(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab的变形或几何实现。
实战技巧：
代数层面：直接利用完全平方公式进行变形。
几何层面：将a²,b²,ab分别理解为正方形和长方形的面积，通过构造一个边长为(a＋b)的大正方形来直观体现公式。例如，2023年衢州卷16题，通过图形的剪拼，将五块纸片拼成两个正方形，本质上就是弦图构造过程。
教学重点：培养学生将代数公式与几何图形互逆联想的能力。
热点05 赵爽弦图相关问题专项训练
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 利用弦图证明或再认识勾股定理
题型02 弦图中求线段长或面积
题型03 弦图变式探究
题型04 弦图与相似三角形综合
题型05 弦图的构造与逆向应用
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。

题型01 利用弦图证明或再认识勾股定理
例1（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的三角形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)
(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
例2（2022·浙江杭州·二模）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将三角形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)若三角形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=2
【分析】（1)由三角形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD=70°，证出AH=CF，在Rt△AEH和RtΔCFG中，由勾股定理求出EH=FG，同理：EF=HG,即可得出四边形EFGH为平行四边形；
（2)在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在RtΔBEF中，∠BEF=45°，得出BE=BF，求出DH=BE=x+1，得出AH=AD+DH=x+2，在Rt△AEH中，由三角函数得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：在三角形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=70°．
又∵BF=DH，
∴AD+DH=BC+BF，
即AH=CF，
在Rt△AEH中，EH=．
在Rt△CFG中，FG=．
∵AE=CG，
∴EH=FG．
同理得，EF=HG.
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1．
设AE=x，
则BE=x+1．
∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°，
∴BE=BF，
∵BF=DH，
∴DH=BE=x+1，
∴AH=AD+DH=x+2．
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2，
∴AH=2AE，
∴2+x=2x，
∴x=2，
即AE=2．
【点睛】本题考查了三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键。
【变式1】（2022·湖南长沙·一模）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题：
(1)请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ；
(2)请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理．
【答案】(1)a2+b2＝c2；
(2)见解析
【分析】（1）用不符合语音叙述勾股定理即可；
（2）根据四个全等直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积列出等量关系即可证明．
【详解】（1）解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）证明：∵大正方形的面积为c2，小正方形的面积为（b-a）2=b2-2ab+a2，4个直角三角形的面积为4×ab=2ab，
∴2ab+ b2-2ab+a2=c2，即a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，利用“分割法”求解几何图形的面积是解答的关键．
【变式2】（2022·湖南株洲·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【答案】或
【分析】设，则，根据和两种情况计算即可；
【详解】设，则，
当时，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴；
综上所述或；
【点睛】本题主要考查了勾股定理验证图形、正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．
【变式3】（2023·山东济宁·二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．


(1)如图2、3、4，以直角三角形的四边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
(2)如图5所示，分别以直角三角形四边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①；
②与的关系为，与的关系为______．
【答案】(1)3
(2)，详见解析
(3)①，②，．
【分析】（1）根据题意，设直角三角形的四边分别为、、，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
（2）根据半圆面积和勾股定理即可证明；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，；
②由，则，同理可得，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）在图2中，直角三角形的边长分别为、、，则
由勾股定理，得，
∴；
在图3中，三个扇形的直径分别为、、，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图4中，等边三角形的边长分别为、、，则
，，，
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
（2）结论：．证明如下：
∵，
∴，
∴
∴；
（3）①如图：设中间两个正方形为E、F，边长分别为e、f
∵∠1、∠2、∠3所在的三角形为直角三角形
∴
∴；
②∵
∴
∴
∴；
∵
∴
∵
∴
∴，．

【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，掌握勾股定理的内容以及数形结合思想成为解答本题的关键．
题型02 弦图中求线段长或面积
例1（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中大正方形面积为，，则小正方形的面积为 ______．

【答案】
【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形；先设出直角三角形的边长，然后根据“弦图”中大正方形面积为，，可以求得三角形的四边长，然后即可得到小正方形的边长，从而可以求得小正方形的面积．
【详解】解：设直角三角形长的直角边长为，短的直角边长为，斜边为，
“弦图”中大正方形面积为，，
，
解得，
小正方形的边长为，
小正方形的面积为，
故答案为：．
例2（2022·浙江温州·三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段和上分别取点和点，使，连接、、和，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作，，，，连接并延长交于点．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点M作MS⊥CG于点S，设PQ交BF、DG于点T、K，根据题意得：AE=CG=BF=DH，BF=DG，四边形EFGH是正方形，∠AEB=∠DGC=70°，先证明△BPE≌△DQG，可得S4=S2，从而得到，继而得到，，再根据△KGQ∽△TFQ，可得，从而得到，再由，可设SM=3x，则CS=4x，从而得到，CM=5x，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作MS⊥CG于点S，设PQ交BF、DG于点T、K，
根据题意得：AE=CG=BF=DH，BF=DG，四边形EFGH是正方形，∠AEB=∠DGC=70°，
∵，
∴CG=AE=DH=3，EF=FG=EH=1，EH∥FG，
∵，
∴PE=GQ，
∴△BPE≌△DQG，
∴S△BPE=S△DQG，即S4=S2，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵EH∥FG，
∴∠PET=∠GQK，
∵∠PET=∠KGQ=70°，PE=GQ，
∴△PET≌△QGK，
∴ET=KG，
设KG=ET=a，则FT=1-a，
∵HG∥EF，
∴△KGQ∽△TFQ，
∴，即，
解得：，即，
∴
∵∠SQM=∠KQG，
∴，
在中，BF=3，CF=CG+FG=4，
∴，
∴可设SM=3x，则CS=4x，
∴，CM=5x，
∴，
解得：，
∴．

【点睛】本题主要考查了以弦图为背景的综合题，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
【变式1】（2021·浙江温州·模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形中，以点B为圆心，为半径作，再以为直径作半圆交于点E，若边长，则的面积为（ ）
A．20B．C．24D．
【答案】B
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据相似三角形的判定与性质，可以得到DE和CE的值，从而可以求得△CDE的面积．
【详解】解：取CD的中点F，连接BF、BE、EF，
由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，
∴BF是EC的垂直平分线，
∴∠FBC+∠BCE＝70°，
∵∠BCD＝70°，
∴∠DCE+∠BCE＝70°，
∴∠FBC＝∠DCE，
又∵∠BCF＝∠CED＝70°，
∴△BCF∽△CED，
∴，
∵BC＝10，CD＝10，CF＝5，∠BCF＝70°，
∴BF＝，
∴，
解得CE＝4，ED＝2，
∴△CDE的面积为：，
．
【点睛】本题考查圆的有关计算、勾股定理、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2】（2022·浙江金华·模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2是小明同学根据弦图思路设计图案．在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E．连结DE并延长至点F，使得DF=CE，过B作BH⊥CE于点H，延长AF交BH于点G．若AB=10，则四边形EFGH的面积为______．
【答案】20
【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质，得出CH=EH，根据正方形的性质，结合已知条件，证明，说明，得出四边形EFGH为三角形，利用“AAS”证明，得出，说明CE=2DE，根据勾股定理算出DE的长，即可求出四边形EFGH的面积．
【详解】解：连接BE，如图所示：
∵BE=BC，，
，
四边形ABCD为正方形，
∴，，
为直径，
∴，
，，
，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
四边形EFGH为三角形，
，，
∴，
∵，，
∴，
，
，
，
设，则，
，
解得：或（舍去），
，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，证明，根据勾股定理，算出DE的长，是解题的关键．
【变式3】（2025·浙江宁波·二模）弦图是我国古代数学家证明勾股定理时使用的一种精巧的几何图形，最早见于《周髀算经》和三国时期刘徽的《九章算术注》．弦图的基本结构由四个全等的直角三角形和一个中心正方形组成．如下弦图中，四边形和四边形为正方形，点E，F，G，H分别在边上，，连结，分别交于点M，N，．则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弦图得：，从而可证明，得，设，由，由勾股定理，得，再证明，设，则，，则有，求得，然后证明，得，即，所以，求解得：，（舍去），则有，，最后由求解即可．
【详解】解：过点M作于P，
由弦图可得：，
∴，，，
∵正方形，
∴
∴
∴
设，由，
由勾股定理，得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设，则，，
∴
∴
∵，，
∴
∴即，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查利用弦图求解，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握弦图的特征是解题的关键．
题型03 弦图变式探究
例1（2022·浙江衢州·一模）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，，则的面积为（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】由已知证得，进而证得即四个全等的直角三角形长的直角边为短的直角边2倍，进而求得各边长，再由图形面积的割补关系，可得所求三角形的面积为一个直角三角形减半个小正方形的面积，进而可得到答案．
【详解】解：如图，∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查全等形的证明及性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例2（2025·浙江温州·二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图由两个全等的三角形和三角形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点 ，，在一条直线上，若，，则拼补后的正方形边长为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质、长方形的性质，关键是根据题意得到线段的关系．
根据三角形和三角形全等，四边形是正方形，可知，继而可求，再根据正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵三角形和三角形全等，四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形边长为，
．
【变式1】（2021·浙江绍兴·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）

A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．
【详解】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，
∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，
∴S2的值是：7．
．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键．
【变式2】（2022·浙江金华·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连接图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若大正方形的边长为，，则小正方形的边长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】如图2，由题意可设，，则可以用表示出，又由于大正方形的边长为，可得，与构成方程组，可求出，从而得到的值，然后在中，利用勾股定理列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：如图2，设，，
∴，
∴，
∵大正方形的边长为，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：，（舍去），
在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴小正方形的边长为．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，正方形的面积，二元一次方程组，一元二次方程等知识．设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
【变式3】（2023·浙江丽水·一模）公元3世纪，我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结、，设，，．

（1）若，则______．
（2）若，则的值是______．
【答案】 1 /
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，进而求得，即可求出的值；
（2）由题意可知，进而得到，设，，得到，，从而求得，则，再利用勾股定理，求得，即可求出的值．
【详解】解：（1）由题意可知，，
，，
，
，
故答案为：1；
（2）设，，，
由题意可知，，
，
，
设，，则，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
题型04 弦图与相似三角形综合
例1（2025·浙江·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，射线与的延长线相交于点P．若，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理．作于点，于点，设，在中，求得，，在中，求得，，在中，求得， ，再证明，求得，据此求解即可．
【详解】解：作于点，于点，设，
在中，，
∴，，
∵正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
．
例2（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连结并延长交于点，交于点，正方形的面积为，正方形的面积为，若时，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查了弦图的计算，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，则，过点作，可得得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴．
．
【变式1】（2025·浙江宁波·三模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由等腰三角形的性质得，即得，再由得，即得，得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：
【变式2】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由为等腰三角形，可得，进而得到，再根据可得，即得，据此得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式3】（2025·浙江杭州·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分．
(1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)，证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是错误解答此题的关键．
（1）由两角相等很容易得到；
（2）根据相似比列方程，再解方程即可得解．
【详解】（1）解：，
证明：平分，
，
而，
；
（2）解：设，
，
，
，
解得（负值舍去），
．
题型05 弦图的构造与逆向应用
例1（2022·浙江温州·模拟预测）古希腊希波克拉底在研究勾股定理的应用时曾经构造了经典的“月牙图”，从中发现了很多特殊的性质．如图，已知A是以为直径的半圆上的一点，D，E，M，N分别是半圆，半圆，，的中点，连接，，过点A作于点H．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取中点，连接与交于点，连接与交于点，由，设，则，，再证明，求出，，最后根据D，E，M，N分别是半圆，半圆，，的中点，由对称性可得在直线上，在直线上，垂直平分，垂直平分，据此求出，最后根据，解得，即可得到．
【详解】解：取中点，连接与交于点，连接与交于点，
∵为直径的半圆，
∴，，
∵，，
∴设，则，，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∵D，E，M，N分别是半圆，半圆，，的中点，
∴由对称性可得在直线上，在直线上，垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
．
例2（2024·山东青岛·二模）在一个图形的内部（含边界）任取一点构造直角，使直角绕着顶点旋转，与该图形相交能构成一个新的封闭区域，那么我们称这个图形为“底弦图”，其中直角所对的“线”称为“直角弦”．
(1)如图1，“底弦图”是一个半径为3的圆，的顶点在上，所对的即为它所对的“直角弦”．小乐同学发现，在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为____________；
(2)如图2，“底弦图”是一个边长为3的正方形，的顶点在正方形的中心，元线即为所对的“直角弦”．在旋转过程中所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
(3)如图3，“底弦图”是一个长为6，宽为4的三角形．，在旋转过程中的两边与三角形分别相交于点E，F（点E在AB上，点F在BC上），所对的“直角弦”的长度仍是定值，该定值为________．
【答案】(1)
(2)3
(3)8
【分析】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质，三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，错误作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）如图所示，连接，则是的直径，由此求出的长即可得到答案；
（2）如图所示，连接，根据正方形的性质证明，得到，则可推出，则在旋转过程中所对的“直角弦”的长度是定值3；
（3）过点P作于H，则四边形是三角形，证明，得到，可得．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴是的直径，
∴的长，
∴在旋转过程中，所对的“直角弦”的长度是定值，该定值为；
故答案为：；
（2）解：在旋转过程中所对的“直角弦”的长度是定值3，理由如下：
如图所示，连接，
∵点P是正方形的中心，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴在旋转过程中所对的“直角弦”的长度是定值3，
故答案为：3；
（3）解：如图所示，过点P作于H，则四边形是三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8
【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是___________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，连接， 即可得到，再由D、E、F分别是、、的中点， 可得，即可得出 即可求解.
【详解】解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
，，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
故答案为：．
【变式2】（2025·贵州·一模）【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决．
【初步探究】
（1）如图②，M，N是正方形内的点，且，，连接，则的度数为_；（M，N不重合）
【问题解决】
（2）如图③，在中，，P为边上一个动点（不与点A，C重合），连接，过点C作于点D，E是上一点，且，过点E作交于点F，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．

【答案】（1）或；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）当M在N的下方时，如解图①，延长交于点O，证明，得出，，，从而可得，证明，即可得出；同理，当M在N的上方时，，即可得解；
（2）过点F作于点G，则四边形是三角形，得出，．再证明，得出，即可得解；
（3）设，则，由（2）可知，，得出．证明，得出，即，解得，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：（1）当M在N的下方时，如解图①，延长交于点O，

图①
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
同理得．
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
同理，当M在N的上方时，．
（2），理由如下：
如解图②，过点F作于点G，

∵，，
∴，
∴四边形是三角形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如解图②，

∵，
∴设，则，
由（2）可知，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴在中，，
解得（负值已舍去），
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添减适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【变式3】（2025·山东淄博·一模）东汉末年，我国古代数学家赵爽在《周髀算经》注中用一幅“弦图”巧妙证明了勾股定理．这幅图（如图）由四个全等的直角三角形（称为“朱实”）和一个小正方形（称为“黄实”）拼成一个大正方形．其中，，四边形恰为正方形，体现了“数形相生”的思想．今年月日，恰逢学校数学文化节，数学社的同学们接到了一项实践探究任务：仿照赵爽弦图，探究图形的分解与再生．
(1)任务一：弦图生变，形解三角
某数学探究小组受赵爽弦图的启发，将正方形变成三角形，如图所示，在正的内部，构造，，，，两两相交于，，三点（，，三点不重合）．①请探究，，是否全等？②是否为等边三角形？请说明理由．
(2)任务二：弦图拓新，巧构六合
该数学探究小组仿照赵爽弦图，利用个全等的三角形和一个小的正六边形，拼成一个大正六边形，如图所示，若点为的中点，求大正六边形与小正六边形的面积比．
(3)任务三：弦图妙用，面积探究
该数学探究小组又尝试将正方形变成三角形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和三角形拼成大三角形，请探究与是否相似？并说明理由．若，，连结，，求三角形的面积．
【答案】(1)①，理由见解析；②为等边三角形，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析；
【分析】（）由等边三角形的性质得，，进而得，即可求证；
（）连接，可得，设，则，得，再根据相似三角形的性质解答即可求解；
（）利用余角性质可得，即得，设，由锐角三角函数得，又由可得，进而得，即可得，得到，，再利用勾股定理得，得，由全等三角形的性质，即得，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：①，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，
∵点为的中点，
∴，
∵个三角形全等，
∴，，
∴，
∴，
∵是正六边形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵是正六边形，
∴正六边形正六边形，
∴,
即；
（3）解：，理由如下：
∵四边形是三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和形在，三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，掌握以上知识点是解题的关键．

（20小时限时练）
一、单选题
1．（2025·浙江·模拟预测）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连结并延长交于点N．若，则正方形与正方形的面积的比值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的判定与性质，由四边形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形得设得证明可得从而可求出结论
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴；
∵四边形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴
设
∴
∴，
由题意得，
∴
∴，即，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
解得，
∴
∴，
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若正方形的面积为8，，则正方形的面积为（ ）
A．56B．90C．64D．68
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与三角函数的综合应用．解题关键是利用三角函数关系求出直角三角形的直角边长度，再结合图形面积关系求解正方形的面积．
根据全等三角形的性质得到，，，再利用直角三角形的三角函数关系求出两个直角边，再利用勾股定理求出正方形的边长，最后再利用正方形的面积计算公式即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的面积为8，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴正方形的面积为．
．
4．（2025·浙江绍兴·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质，正方形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，，，
，
，
，
设，则
，
，
．
5．（2022·浙江温州·三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结CE，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令CE交BG于点M，过点M作于点N，设CH=4x，先求得HD=EH=EF=FG=FB=CG=GH=2x， ，再证得，最后求得，，即可求解．
【详解】解：如下图，令CE交BG于点M，过点M作于点N，设CH=4x，
，
，，
四边形EFGH是正方形，
EF=FG=GH=HE，，
，
HD=EH=EF=FG=FB=CG=GH=2x，
，
在和中，

，
，
在和中，
，
，
即，即，
，，
，
，
故应选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质及三角函数，作辅助线构造直角三角形求正切值是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·浙江丽水·一模）如图是我国汉代数学家赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结小正方形的对角线并延长与大正方形各边相交得到正方形．若，，则的长为_____________．
【答案】
【分析】利用方程思想求解BF，AF，再利用锐角三角函数求解SK，SF，再利用勾股定理求解FK，OF，从而可得答案．
【详解】解：如图，记NK，BG的交点为S，
由正方形EFGH，正方形NKTM，直角三角形AFB，
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
设 结合题意可得：

解得： （不合题意的根舍去）
∴ 则
∴。
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用，熟练的运用正方形的性质解决问题是解本题的关键．
7．（2024·浙江杭州·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．
（1）连接，若恰为中点，则的度数为_______°；
（2）连接，若与的面积相等，，则的长为_________________．
【答案】 45
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；
（2）设，由题意得，，得到，根据题意列方程即可得到结论．本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，公式法解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，错误地识别图形是解题的关键．
【详解】解：（1）∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，
∴，
，
恰为中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
（2）四边形是正方形，
，
设，
由题意得，，
，
若与的面积相等，
，
，
或（不合题意舍去），
，
，
故答案为：．
8．（2025·浙江·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．
（1）若，则______．
（2）若，则的值是______．
【答案】 /度
【分析】（1）由全等三角形的性质及正方形的性质可得，，，则可得，然后根据求解即可得；
（2）作，交的延长线于点，设，则，由可得，利用勾股定理求得，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：（1）∵由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，，，
∴，
，
故答案为：．
（2）如图，作，交的延长线于点，设，
，
，
正方形的面积为，正方形的面积为，且，
，
或（不不符合题意，舍去），
，
，
解得或（不不符合题意，舍去），
，
∵，
∴，
，
，
又∵，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
9．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边于点M，N．若F，H是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为______ ．
【答案】/
【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，根据题意，延长交于点P，过点M作的垂线，垂足为Q，得到和的长，即可得到结果．
【详解】解：如图，延长交于点P，过点M作的垂线，垂足为Q，
由，设，
∵F，H是线段的两个三等分点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，已知,，则_____________（结果用含,代数式表示）．
【答案】
【分析】根据平移的性质可得，在根据正切的定义可得，在根据全等三角形的性质可得，，则，进而得到；在根据相似三角形的性质可得，，进而得到，即可得，最后代入即可解答．
【详解】解：由图形变换可知，在图2中，四边形为三角形，,
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∵,
∴即：，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
近三年具体考查形式
“赵爽弦图”作为中国古代数学文化的经典载体，在近三年浙江省中考中稳定出现，常作为中档或压轴题。考查形式灵活多样：
选择题/填空题：常以弦图为背景，考查勾股定理、面积关系、线段比例等基础计算。
解答题：是考查的主阵地，通常作为几何综合题或探究题。形式包括：① 直接利用弦图证明勾股定理；② 在弦图基础上进行变式与拓展（如改变内接图形形状、进行图形分割与拼接）；③ 将弦图思想应用于解决新问题（如求最值、证明线段关系）。
命题特点
文化传承与数学探究并重：题目常以“赵爽弦图”或“弦图”为引，介绍历史文化背景，随即转入数学探究，体现了“文化自信”与“数学素养”的融合。
“从特殊到一般”的探究路径：命题常遵循“特例感知→变式探究→拓展应用”的逻辑链条，引导学生从经典模型中提炼数学方法，并迁移到新情境中。例如，2023年衢州卷16题、2023年杭州卷10题是典型代表。
模型高度几何化，综合性强：弦图本身蕴含丰富的全等、相似、面积等几何关系。命题常将其与相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转换、代数运算深度结合，考查学生的几何直观与逻辑推理能力。
注重“等面积法”的运用：用不同方式表示同一个图形的面积，从而建立等量关系，是解决弦图相关问题的核心思想之一。
（3）核心考查内容与能力要求
核心知识：
勾股定理及其证明（尤其是等面积证法）。
全等三角形的判定与性质。
相似三角形的判定与性质。
正方形、直角三角形的性质。
代数运算与变形能力（常涉及勾股定理的变形）。
核心能力：
几何直观与模型识别能力：能迅速识别图形中的弦图结构或弦图变式。
逻辑推理与证明能力：能严谨地推导线段、面积之间的数量关系。
等量转换与方程思想：熟练运用“等面积法”或利用相似比建立方程。
迁移与应用能力：能将弦图中蕴含的数学思想（如“出入相补”）应用于新的几何构图。
趋势展望
预计2026年中考将延续并深化现有特点：
文化背景更丰富：可能结合更多中国古代数学著作（如《周髀算经》、《九章算术》）中的问题。
探究层次更深入：可能增减“逆向构造”或“动态变化”情境，如在弦图框架内，内接图形形状或位置发生变化，探究不变关系或函数关系。
与其它热点结合更紧密：可能与函数（求动点坐标关系）、最值问题（利用弦图结构求线段和的最值）等结合，提升综合难度。
2026年中考复习备考方向与策略建议
追本溯源，理解经典证明：必须让学生亲手用“赵爽弦图”的方法证明一次勾股定理，深刻理解“大正方形面积＝小正方形面积＋4个直角三角形面积”这一核心等量关系。这是所有变式题的根基。
专题训练“弦图”基本模型及其变式：
标准弦图：外方内四直一角（小正方形）。
变式弦图：外方向内倾斜（内接平行四边形、三角形），或直角三角形形状改变（等腰直角、含特殊角）。
通过对比练习，让学生掌握“无论内接图形如何变，外围四个直角三角形全等”这一关键特征。
强化“等面积法”与“相似法”双轨训练：
等面积法：针对涉及面积关系的问题，训练学生用不同方式（整体、部分和）表示同一图形面积。
相似法：针对涉及线段比例的问题，训练学生在弦图中快速找到相似三角形（常由直角和公共角产生）。
提升代数运算与变形能力：此类题最终常归结为关于a, b, c的代数式运算与方程求解。需减强学生从几何条件中抽象出代数关系，并进行熟练变形的能力。
进行“模型迁移”应用训练：选择一些非标准弦图背景，但蕴含相同思想（如用全等直角三角形拼接图形）的题目，训练学生识别模型本质并应用相关结论解决问题的能力。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：直接给出赵爽弦图或类似拼图，要求根据图形面积关系写出勾股定理 a² ＋ b² ＝ c²，或进行简单的证明说明。
核心策略：等面积法。用两种方式表示外围大正方形的面积。
实战技巧与步骤：
标量：设直角三角形两直角边与斜边。
整体法：表示大正方形边长，面积。
部分和法：大正方形面积＝内部小正方形面积＋4个直角三角形面积。
建立等式。
教学关键：让学生理解“拼图”背后的代数恒等变形。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：在标准的弦图构图中，已知其中部分线段长度，求其他线段长、正方形面积或图形总面积。
核心策略：利用勾股定理和全等性质进行直接计算。
实战技巧：
牢记弦图中的基本关系：大正方形边长＝a＋b，小正方形边长＝|a－b|，大正方形面积＝c²＋2ab＝(a＋b)²。
若已知a和b，可直接求一切。
易错点：忽略小正方形边长为|a－b|，当a＜b时易出错。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：保持外围四个全等的直角三角形不变，改变内部接的四边形形状（如变为三角形、平行四边形），探究新图形（如三角形）的面积或圆长与直角三角形边长a,b的关系。
核心策略：抓住“外围四个直角三角形全等”这一不变核心，推导新图形的边长与a,b的关系。
实战技巧与步骤：
分析新图形：确定内接图形是什么（如三角形），找出它的邻边分别由哪些线段组成。
表示边长：利用全等直角三角形的边角关系，用a,b表示出三角形的长和宽。通常，三角形的长和宽可能分别为(a＋b)和(b－a)或与之相关的表达式。
计算求解：根据题目要求（面积、圆长），代入表达式计算。
能力提升：此题型训练学生的几何观察力和用字母表示数量的能力。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：在弦图或其变式图形中，连接某些线段，构造出新的三角形，要求证明三角形相似或利用相似比求线段比例。
核心策略：寻找“共角”或“直角”模型，证明三角形相似。
实战技巧：
常出现的相似模型：由弦图内小正方形的顶点与外围大正方形顶点连线构成，利用70°角与公共角，证明三角形相似。
例如，2023年杭州卷10题，需要证明△PGF∽△PAH等，从而建立面积比与边长比的关系。
解题关键：准确标注相等的角，并利用相似将面积比转化为线段比的平方。
解｜题｜策｜略
典型题干特征：不直接给出弦图，而是提供一个需要利用弦图思想或方法解决的问题。例如，已知a²＋b²和ab，求(a＋b)²；或通过图形剪拼验证公式。
核心策略：识别题目本质是弦图公式(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab的变形或几何实现。
实战技巧：
代数层面：直接利用完全平方公式进行变形。
几何层面：将a²,b²,ab分别理解为正方形和长方形的面积，通过构造一个边长为(a＋b)的大正方形来直观体现公式。例如，2023年衢州卷16题，通过图形的剪拼，将五块纸片拼成两个正方形，本质上就是弦图构造过程。
教学重点：培养学生将代数公式与几何图形互逆联想的能力。