四川省广安市2026届高三数学上学期第二次月考试题含解析

这是一份四川省广安市2026届高三数学上学期第二次月考试题含解析，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 复数 ，其中 i 为虚数单位，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得.
【详解】因为 ，则
故选：C
2. 已知集合 ，则 中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求解计划是先求解集合 中不等式，确定集合 的元素，再根据交集的定义求出 ，最后得
出 中元素的个数.
【详解】集合 由满足 的自然数 组成，
又 ，
所以满足 的自然数的 ，故集合 ，
集合 ，
所以 ，包含 个元素.
故选：B.
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，设“出现的点数为偶数”为事件 A，“出现的点数大于 4”为事件 B，则下述
正确的是（ ）
A. A 与 B 对立 B. A 与 B 互斥
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C. A 与 B 相互独立 D.
【答案】C
【解析】
【分析】抛掷一枚骰子的所有可能结果是： ；事件 A 包含的结果是： ；事件 B 包含
的结果是： ，由对立互斥独立的概念逐一判断各个选项即可求解.
【详解】抛掷一枚骰子的所有可能结果是： ；
事件 A 包含的结果是： ；
事件 B 包含的结果是： .
因为 没包含所有可能结果（如 1，3 没包含在内），A 与 B 不对立，故 A 错误；
因为 ，A 与 B 不互斥，故 B 错误；
因 ， ，
因此 A 与 B 相互独立，故 C 正确；
， ，而 ，故 D 错误.
故选：C.
4. 定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知函数 的一个周期为 2，根据周期性以及奇函数分析求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
可知函数 的一个周期为 2，
又因为 为奇函数，且当 时， ，
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所以 .
故选：A.
5. 如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 AB，AC 两边交于 M，N 两点，设
，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由重心以 、 表示 ，根据题目条件转化为 、 ，最后由三点共线求得.
【详解】由于 为 的重心，所以 ，
由于 、 、 三点共线，所以 ， ，
故选：B.
6. 已知数列 中， 且 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，推得 ，得到数列 是周期为 的数列，结合 ，即可求解
.
【详解】由题意知，数列 满足 且 ，
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则 ，
所以数列 是周期为 的数列，则 .
故选：A.
7. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数 在闭区间 上连续，
在开区间 内可导，则在区间 内至少存在一个点 ，使得
称为函数 在闭区间 上的中值点．若关于函数
在区间 上的“中值点”个数为 m，函数 在区间 上的“中值点”的个数为 n，
则有 （ ）（参考数据： ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解．
【详解】设函数 在区间 上的“中值点”为 ，由 ，得 ，
则由拉格朗日中值定理得， ，即 ，
而 ，则 ，即函数 在区间 上的“中值点”的个数为 1，因此 ，
设函数 在区间 上的“中值点”为 ，由 ，求导得 ，
由拉格朗日中值定理得， ，即 ，
令函数 ， ， 在 上单调递增，
， ，
则 在 上有唯一零点，即方程 在区间 上有 1 个解，
因此函数 在区间 上的“中值点”的个数为 1，即 ，所以 ．
故选:B．
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8. 已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取
值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】命题等价于 在 上单调递增，再利用单调性求出参数范围.
详 解 】 当 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 令 函 数
，
则函数 在 上单调递增，
因此 ， 恒成立，
令函数 ，求导得
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上递减，在 上递增， ，则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 已知 a，b≠0，且 a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举例说明判断 AC；利用幂函数、指数函数单调性推理判断 BD.
【详解】对于 AC，取 ， ，AC 错误；
对于 B，函数 在 R 上单调递增， ，B 正确；
对于 D，函数 在 R 上单调递增， ，D 正确.
故选：BD
10. 若 ，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用赋值法计算可判断 A 错误，BC 正确，对二项展开式两边同时求导并令 计算可判断 D
错误.
【详解】对于 A：令 ，则 ，故 A 错误；
对于 B：令 ，则 ，故 B 正确；
对于 C：令 ，则 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，
两边同时求导得 ，
令 ，则 ，故 D 错误.
故选：BC.
11. 若 的图象在 ， 处的切线分别为 ， ，且 ，则（ ）
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A. B. 的最小值为 2
C. 直线 ， 在 轴上的截距之差的绝对值为 2 D. 直线 ， 在 轴上的截距之积可能为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据 及导数的几何意义得 ，再借助于基本不等式即可判断 A、B，写出 、 的方
程，得到 、 在 轴上的截距，由此判断 C，D.
【详解】对于 A、B：由题意可得 ，当 时， ，
当 时， ，所以 的斜率分别为 ，
因为 ，所以 ，得 ， 故 A 正确.
因为 ，所以 ， 因为 ，所以取不到最小值，故 B 错误．
对于 C、D： 的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，所以 在 轴上的截距为 ，
的方程为 ，可得 在 轴上的截距为 ，
所以 在 轴上的截距之差为 ，故 C 正确.
在 轴上的截距之积为 ，故 D 错误．
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题关键是找到 ，各选项均是建立在此结论的基础上，由 可求
的最小值；转化为 的问题都可以利用 计算.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知 ，则 _____.
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【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式，即可求得答案.
【详解】由题意知 ，故 .
故答案为：
13. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和公式，和等差数列各项之间的关系，求出前 7 项和.
【详解】已知 ，∴ ，
则 ，
由公式得 ，
故答案为：14.
14. 已知函数 在 上恰好有 7 个零点，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先化简为 ，令 ，即 在 上恰
有 7 个不相等的实根，由 的性质可得解
【详解】 ，令 ，
，
，
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由题意 在 上恰有 7 个零点，即 在 上恰有 7 个不相等的实根，
即 ，或 ， ，
当 时， ，
…
当 ， .
由 的性质可得 ，
解得 ．
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 函数 的最小正周期为 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周期公式得 ，进而由 得 ，再根据 即可求得答
案；
（2）根据函数图象平移得 ，再根据三角函数的性质求值域即可.
【小问 1 详解】
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解：因为函数 最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以，
【小问 2 详解】
解：因为函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以，当 ，即 时， 有最大值 ；
当 ，即 时， 有最小值 ；
所以，函数 在区间 上的值域为
16. 如图，直三棱柱 中， 分别为 和 的中点．
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（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，可证 ，再利用线面平行的判定定理可证
平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据 可求 的长，再求出平面 的法向量后可求
线面角的正弦值.
【小问 1 详解】
取 的中点为 ，连接 ，
因为 ， ，故 ，
由直三棱柱的性质可得 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
因为 ，故 ，故 ，设 .
由直三棱柱可得 平面 ，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
故 ，且 .
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因为 ，故 即 ，故 （ 舍去），
故 ， ，又 .
设平面 的法向量为 ，则 ,
所以 ，取 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 是边 的中点， ， ，求 的面积；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；
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（2）借助向量模长与数量积的关系计算可得 ，再利用面积公式计算即可得.
【小问 1 详解】
由 ，则 ，
又 ，
则有 ，
即 ，又 ，故 ，
则 ，即 ，又 ，则 ；
【小问 2 详解】
由 是 的中点，则 ，
则
即 ，则 ，
解得 或 （负值，舍去），
则 .
18. 甲同学参加一项抽奖活动，在一个盒子中，有大小形状完全相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个红球.
（1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球
的概率；
（2）一次随机抽取两个球，若取到的两个球颜色相同则中奖，颜色不同则不中奖，抽完奖之后把球再放回
盒子里以便于再次抽奖.
（i）求甲抽取一次，中奖的概率；
（ii）甲一共抽取了三次，中奖次数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得；
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（2）（i）借助组合数计算即可得；（ii）计算出 的所有可能取值及其对应概率即可得分布列，利用分布列
计算即可得其数学期望.
【小问 1 详解】
设事件 表示“第 次取球时，取到红球”，
则 ， ，
则 ，
即在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为 ；
【小问 2 详解】
（i） ；
（ii） 的可能取值为 ，
则 ， ，
， ，
则 的分布列为：
则其数学期望 .
19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求 图象在 处的切线方程；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
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（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）先求导数，求出 和 的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由题意，通过参变分离得到 对 恒成立，令 再利用导数求
即得答案；
（3） ，令 ， ， ，因 是单调
函数，故 有两个零点，等价于 在 上有两个零点.进而通过利用导数求得函数 的单调性、
极值，即可得 的取值范围；或通过参变量分离，利用导数求得函数 的单调性，由 与
图象有两个公共点可得 的取值范围.
【小问 1 详解】
时， ，∴ ，
，则 ，即切线的斜率为 .
∴ 图象在 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
，即 ，
∴
由题意，得 对 恒成立
令 ，则
.
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由 ，得 ，∴ 在 上单调递增；
由 ，得 ，∴ 在 上单调递减.
所以 ，
故 .
【小问 3 详解】
，令 ， ， ，
因 是单调函数，故 有两个零点，等价于 在 上有两个零点.
方法 1：
①当 时， ，则 在 上递减， 最多有一个零点，故不满足题意；
②当 时，
令 可得 ，即 在 上单调递增；
令 可得 ，即 在 上单调递减.
且当 时， ，则
当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，故
要使 在 上有两个零点，则 ，解得
方法 2： 在 上有两个零点，等价于方程 有两个实根，即 有两个根
也等价于 与 图象有两个公共点
，则可得 在 递增， 递减
且 ，当 时， ，则
当 时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，故
则 的大致图象为
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故当 时， 与 图象有两个公共点，即 有两个零点
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