四川省广安市2025_2026学年高三数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份四川省广安市2025_2026学年高三数学上学期第一次月考试题含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合复数运算法则求 的代数形式，再求其模.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
2. 已知命题 ；命题 ，则（ ）
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】举反例判断命题的真假，再结合命题的性质判断即可.
【详解】对于命题 ，由 时，不满足 ，可得 是假命题， 是真命题，
对于命题 ，由 时，满足 ，可得 是真命题， 是假命题，故 B 正确.
故选：B
3. 已知 是空间的一组基底，其中 ， ， ．若 ， ， ，
四点共面，则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对 ，使得 ，结合向量的数乘运算和相等向量
的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对 ，使得 ，
即 ，
则 ，
则 ， ， ，解得 .
故选：C
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，
六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了 378 里路，第一天健步行走，
从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”问此人第 4 天和第 5 天共走了
A. 60 里 B. 48 里 C. 36 里 D. 24 里
【答案】C
【解析】
【分析】每天行走的里程数 是公比为 的等比数列，且前 和为 ，故可求出数列的通项 后可得
.
【详解】设每天行走的里程数为 ，则 是公比为 的等比数列，
所以 ，故 （里），所以 （里），
选 C.
【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.
5. 已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲
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线 上，则双曲线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共渐近线方程可设双曲线 的方程为 ，代入点 坐标，解出即可.
【详解】设双曲线 的方程为 ，
将点 代入得 ，得 ，
所以双曲线 的方程为 .
故选：D.
6. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合， 为角 终边上的一点，将角 终边逆
时针旋转 得到角 的终边，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式可求得 的值，利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切可求得所求代数
式的值.
【详解】由题可知 ，所以 ，
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则
.
故选：A．
7. 已知函数 ，若 ， ，都有 成立，则
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，函数 是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求 的取值范围.
【详解】因为对于 ， ，都有 成立，所以函数 是增函数，
则函数 和 均为增函数，且有 ，即 解得
.
故选：C．
8. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算，计算可得 ，则 .构造函数 ，根据
导函数得到函数的单调性，即可得出 ，根据对数函数的单调性即可得出 ；先证明当
时， .然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得 .
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【详解】因为 ，
所以， .
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
因为 在 上单调递增，所以 ；
令 ，则 恒成立，
所以， 在 R 上单调递减，
所以，当 时，有 ，即 ，
所以
因为 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
故选：B．
【点睛】方法点睛：对 变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关
系.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，其中 的最小正周期为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一条对称轴为
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B. 若 ，则有 是 的整数倍
C. 的图象关于 对称
D. 若 ，函数 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意求得 ，对于 A： 说明 为一条对称轴；对于
B： 两个零点之间相差半个周期的整数倍；对于 C：验证 是否为 的零点；对于 D：先求出
的范围，再求 的值域.
【详解】因为 的最小正周期为 ，所以 ，所以 ，
对于 A：因为 ，所以 的一条对称轴为 ，故 A 正确；
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以
，
对于 B：由 得 ，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C：因为 ，所以 不是 的图象的对称中心，故 C 错误；
对于 D：由 得 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ABD
10. 眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件 ）和“老花”（设为事件 ）是影响中老
年人学习与生活质量的重要视力因素.设 ， ， ，则（ ）
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A. 与 互为对立 B. 与 相互独立
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对立事件及独立事件定义判断 A，B，应用条件概率公式判断 D，应用概率基本性质判断 C 即
可.
【详解】因为 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 ，则 与 不对立，故 A 错误；
得到 ， 与 相互独立，故 B 正确；
而 ，故
，故 C 正确；
，
所以 ，故 D 正确；
故选：BCD.
11. 已知函数 ， ， ，则下列结论中正确的
有（ ）
A. 当 时 有 1 个零点
B. 当 时 有 4 个零点
C. 当 有 6 个不同零点时，实数 m 的取值范围为
D. 当 的零点个数最多时，实数 m 的取值范围为[ln3，ln4]
【答案】BC
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【解析】
【分析】转化为方程 解的个数，令 ，画出 ， 的图象，数形结合，对
四个选项一一判断，得到答案.
【详解】A 选项， 的零点个数等价于关于 的方程 的解的个数，
令 ，画出 ， 的图象如下：
当 时， 的解为 ，令 ，结合图象可知，有 2 个解，
故 时， 有 2 个零点，A 错误；
B 选项，当 时， 有 2 个解，设为 ，
令 ，解得 或 ，不妨设 ，
其中 对应两个解 ， 对应两个解 ，
，共四个解，当 时 有 4 个零点，B 正确；
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CD 选项，当 时， 有 3 个解，分别为 ，
易得 ，
， 均有 2 个解，
当 或 时， 有 2 个解，此时 有 6 个解，
故 或 ，
当 有 6 个不同零点时，实数 m 的取值范围是 ，C 正确；
最多有 4 个解，所以 最多有 8 个解，
当 有 4 个解时，则 ，即 ，
即当 的零点个数最多时，m 的取值范围为 ，D 错误.
故选：BC
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知实数 、 满足 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可求最小值.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 .
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故答案为： .
13. 某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共 7 人进入决赛，其中
高一年级 2 人，高二年级 3 人，高三年级 2 人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件 为“高一年级 2 人
不相邻”，事件 为“高二年级 3 人相邻”，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用插空法求出事件 的排法，再使用捆绑法和插空法求出事件 的排法，利用条件概率公
式计算得到 .
【详解】由题意，先将高二和高三年级的 5 个人全排列，有 种排法，将高一年级 2 人进行插空，有 种
排法，
所以事件 “高一年级 2 人不相邻”的排法有 种排法.
将高二年级 3 人进行全排列，有 种排法，再将高二年级 3 人看作一个整体，和高三年级的 2 人进行全排
列，有 种排法，
排好后，将高一年级的 2 人进行插空，有 种排法，所以事件 共有 种排法.
所以， .
故答案为： .
14. 已知 ，当 时， 恒成立，则 的最小值为________．
【答案】e
【解析】
【分析】由分析得到 ，再构造函数 ， ，求导，进而分析其单调性即可求出 的
最小值．
【详解】由 ， 均递增，且与 轴均只有一个交点，
要使 在 上恒成立，只需要 ， 与 轴交于同一点，
令 ，得 ；令 ，得 ，
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所以 ，又 ， ，所以 ，
则 ，
令 ， ，则 ， ，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 在 处的切线方程为 ．
（1）求 a 的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 和
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，据此可得答案；
（2）由（1）可得 ，在 范围内解不等式 可得单调区间.
【小问 1 详解】
，因在 处的切线方程为 ，
则 ；
【小问 2 详解】
由（1）， ，
因 ， ，
，
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则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
16. 已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用数列中前 项和 与项 的关系求解；
（2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.
【小问 1 详解】
由题意
当 时， ；
当 时，
两式相减得 ，
所以 ，当 时也成立．
所以数列 的通项公式 .
【小问 2 详解】
根据题意，得
所以
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所以
17. 某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人，
将调查情况进行整理后制成如下表：
年龄（岁）
频数 5 5 10 15 10 5
赞成的人数 3 4 9 10 7 3
（1）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在 的市
民中随机选取 4 人进行追踪调查，记被选 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数
学期望；
（2）若在这 50 名被调查者中随机发出 20 份的调查问卷，记 为所发到的 20 人中赞成“车辆限行”的人数，
求使概率 取得最大值的整数 .
【答案】（1）分布列见解析， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意，随机变量 ，写出分布列，根据二项分布的期望公式计算即可；
（2）由 得到关于 的不等式组，根据组合数的计算以及 可得出所求的整数
.
【小问 1 详解】
由题意， 的可能取值为 0，1，2，3，4，
因为年龄在 的市民不赞成“车辆限行”的频率为 ，则 ，
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所以 ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
.
【小问 2 详解】
这 50 被调查者中，有 36 人赞成，14 人不赞成，
所以 ，
由 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 .
18. 已知四边形 是直角梯形， ， ， ， ，E，F 分别为 CD，
BC 的中点（如图 1），以 AE 为折痕把 折起，使点 D 到达点 S 的位置且平面 平面 （如
图 2）．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在梯形 中证得 ，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判断定理推理得证.
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（2）建立空间直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【小问 1 详解】
连接 ，令 ，由 E、F 分别为 CD、BC 的中点，得 ，
又四边形 ABCD 是直角梯形， ， ， ， ，
则 ， ，
因此 ， ，四边形 为正方形，
则 ， ，由平面 平面 ABCE， 平面 ABCE，
平面 平面 ，得 平面 SAE，而 平面 SAE，则 ，
又 ， 平面 SEF，所以 平面 SEF
【小问 2 详解】
由（1）得直线 两两垂直，以 O 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标
系，
则 ，
，设平面 SCE 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
由 平面 SEF，得平面 SEF 一个法向量为 ，
因此 ．而二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
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19. 定义：若函数 与 在公共定义域内存在 ，使得 ，则称 与 为“契
合函数”， 为“契合点”．
（1）若 与 为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数 a 的取值范围．
（2）若 与 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ．
①求 b 的取值范围；
②证明： ．
【答案】（1） ；
（2）① ；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程 有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的
性质求解即可.
（2）①根据给定的定义将问题转化为方程 有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用
极值点偏移求解.
【小问 1 详解】
由 与 “契合函数”，得 ，使
，令 ，依题意，方程 有唯一解，
求导得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
当 时， ， 时， ， ，
又 和 只有一个“契合点”，则直线 与函数 的图象只有 1 个交点，则 或 ，
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所以实数 a 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
①由 与 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” ，
得存在 ，使 ，
即关于 的方程 有两个相异正根 ，令函数 ，
求导得 ，
由 ，得 ，得当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上递增，在 上递减，则 ，
当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ；当 时， ，
因此当 时，直线 与函数 的图象有两个不同交点，
所以 b 的取值范围是 .
②由（1）知，当 时， ，令 ，
求导得 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ， ，
函数 在 上单调递减， ，因此当 时， ，
而 ，则 ，又 ，于是 ，
又 ，函数 在 上递减，则 ，
所以 .
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