2025—2026年济南历下区第二学期八年级数学期中考试试题以及含答案

这是一份2025—2026年济南历下区第二学期八年级数学期中考试试题以及含答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=125∘，则∠B的度数是（ ）
A.75∘ B.65∘ C.55∘ D.45∘

（第1题图） (第5题图) (第8题图)
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A.a(x+y)=ax+ay B.a2−a−2=a(a−1)−2 C.(b+3)(b−3)=b2−9 D.y2−4y+4=(y−2)2
3.多项式5m2n−10mn2中各项的公因式是（ ）
A.mn B.5mn C.m2n2 D.5m2n2
4.下列等式一定成立的是（ ）
A.ab=a+1b+1 B.ab=abb2 C.ab=a2b2 D.ab=a−cb−c
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为(m, n)，则点C的坐标为（ ）
A.(−m, −n) B.(m, −n) C.(−m, n) D.(−n, −m)
6.在 2026 年米兰 —— 科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数是（ ）
A.m+n2万 B.am+bnm+n万 C.am+bna+b万 D.m+na+b万
7.2026 年 3 月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试。已知在一次配送中无人机的飞行路程为 2 海里，快艇的航线路程为 3 海里，无人机的平均速度是快艇的 2 倍，且无人机比快艇的配送时间少 10 分钟。设快艇的平均速度为x海里/小时，根据题意可列分式方程（ ）
A.3x−22x=16 B.2x−32x=16 C.32x−2x=16 D.22x−3x=16
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90∘，AD=3，BC=9，∠C=45∘，点E为CD中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F，则线段AF的长度为（ ）
A.10 B.63 C.12 D.65
9.已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y。若d=x−y，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（ ）
A.16 B.25 C.36 D.64
10.如图 1，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠ABC=30∘，DE是△ABC的中位线。点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN。现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180∘，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图 2 所示。当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论：①旋转后拼成的图形始终是平行四边形；②线段MN的最小值为 2；③线段MN的最大值为213；④旋转后拼成图形的周长是123+2MN；⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为279−4。以上结论正确的有（ ）
A. 5个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.五边形的外角和是______
12.当x=______时，分式x2－9x+3的值为零。
13.若多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是______。（写出一个即可）
14.如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2=______。

（第14题图） （第16题图）
15.在平行四边形ABCD中，∠BAD=120∘，对角线AC与BD相交于点O。已知点E，F分别在边AB，BC上，且AE=CF=3，连接CE与AF。若点M，N分别为AF，EC的中点，连接MN，则MN=______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 6 分）因式分解：(1) 3a2−3b2； (2) x2−xy+14y2。
17.（本小题满分 7 分）解方程：(1)3x−1=4x； (2)1x−2+3=x−1x−2。
18.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：已知r=2026，求2r+2r2+2r+1+r−1r+1+r的值。
19.（本小题满分 8 分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC是的一条对角线，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。求证：AE=CF。
20.（本小题满分 8 分）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”。
小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：S=12(p+q)(R−r)。
小明做出以下思考：
请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明。
21.（本小题满分 10 分）在由小正方形组成的7×7方格纸中，每个小方格的边长均为 1。A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图。
(1)如图，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段CD，连接AD，得到四边形ABCD；
(2)四边形ABCD的面积为______，点P是四边形ABCD外一点，过点P作直线l，使直线l平分四边形ABCD的面积；
(3)在图中的格点上找一个点Q，使得△QBC的面积为 4，满足条件的点Q的个数为______。
22.（本小题满分 10 分）
问题：已知ab=1，求11+a+11+b的值。
小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法：
已知ab=1，则a，b≠0，原式=abab+a+11+b=bb+1+11+b=b+1b+1=1。
请阅读上述材料，解决下列问题：
(1) 已知ab=1，则11−a2+11−b2=______；
(2) 已知ab=1，求11−a2026+11−b2026 的值。
23.（本小题满分10分）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量。某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备。甲型设备的单价比乙型设备的单价低 400 元，用 60000 元购买甲型设备的数量和用 72000 元购买乙型设备的数量相同。
(1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；
(2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共 20 台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的 3 倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
24.（本小题满分 12 分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=4 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t s。
(1) 连接BD，EF，当EF经过BD的中点O时，求证：EO=OF；
(2) 请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？
25.（本小题满分 12 分）
【回归课本】
(1) 如图 1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C。
证明过程如下：
请完成填空：①______；②______；
【问题联想】
(2) 如图 2，在 (1) 的条件下，延长CD至点P，使PD=CD，连接BP。若AB=5，AD=4，BC=10，求出BP的长。
【问题解决】
(3) 如图 3，在Rt△ABC中，点D，E分别为线段AB和线段AC上的点，且AD=EC，BD=AC，请直接写出线段BE和线段DC的数量关系。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=125∘，则∠B的度数是（ C ）
A.75∘ B.65∘ C.55∘ D.45∘

（第1题图） (第5题图) (第8题图)
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ D ）
A.a(x+y)=ax+ay B.a2−a−2=a(a−1)−2 C.(b+3)(b−3)=b2−9 D.y2−4y+4=(y−2)2
3.多项式5m2n−10mn2中各项的公因式是（ B ）
A.mn B.5mn C.m2n2 D.5m2n2
4.下列等式一定成立的是（ B ）
A.ab=a+1b+1 B.ab=abb2 C.ab=a2b2 D.ab=a−cb−c
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，的对角线交点为原点O，若点A的坐标为(m, n)，则点C的坐标为（ A ）
A.(−m, −n) B.(m, −n) C.(−m, n) D.(−n, −m)
6.在 2026 年米兰 —— 科尔蒂纳丹佩佐冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，这项赛事前a天日均收看人数为m万，后b天日均收看人数为n万，那么这(a+b)天该赛事的日均收看人数是（ C ）
A.m+n2万 B.am+bnm+n万 C.am+bna+b万 D.m+na+b万
7.2026 年 3 月，广东省阳江市进行了一次海上无人机配送服务测试。已知在一次配送中无人机的飞行路程为 2 海里，快艇的航线路程为 3 海里，无人机的平均速度是快艇的 2 倍，且无人机比快艇的配送时间少 10 分钟。设快艇的平均速度为x海里/小时，根据题意可列分式方程（ A ）
A.3x−22x=16 B.2x−32x=16 C.32x−2x=16 D.22x−3x=16
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90∘，AD=3，BC=9，∠C=45∘，点E为CD中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F，则线段AF的长度为（ D ）
A.10 B.63 C.12 D.65
9.已知x是个位数字不为零的两位数，将x的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数y。若d=x−y，且d是某个整数的平方，则d可能的值为（ C ）
A.16 B.25 C.36 D.64
10.如图 1，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠ABC=30∘，DE是△ABC的中位线。点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN。现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180∘，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图 2 所示。当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论：①旋转后拼成的图形始终是平行四边形；②线段MN的最小值为 2；③线段MN的最大值为213；④旋转后拼成图形的周长是123+2MN；⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为279−4。以上结论正确的有（ B ）
A. 5个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.五边形的外角和是___360°___
12.当x=___3___时，分式x2－9x+3的值为零。
13.若多项式x2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，则这个单项式可以是___2x___。（写出一个即可）
14.如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：3a2+4ab+b2=___（3a+b）（a+b）___。

（第14题图） （第16题图）
15.在平行四边形ABCD中，∠BAD=120∘，对角线AC与BD相交于点O。已知点E，F分别在边AB，BC上，且AE=CF=3，连接CE与AF。若点M，N分别为AF，EC的中点，连接MN，则MN=___32___。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 6 分）因式分解：(1) 3a2−3b2； (2) x2−xy+14y2。
=3（a2−b2） =（x－12y）2
=3（a+b）（a－b）
17.（本小题满分 7 分）解方程：(1)3x−1=4x； (2)1x−2+3=x−1x−2。
解：3x=4x－4 解：1+3（x－2）=x－1
x=4 x=2
经检验，x=4是原方程的解 经检验，x=2是原方程的增根，此方程无解
18.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：已知r=2026，求2r+2r2+2r+1+r−1r+1+r的值。
解原式=2（r+1）（r+1）2+r−1r+1+r
=2r+1+r−1r+1+r
=r+1
将r=2026代入得2026+1=2027
19.（本小题满分 8 分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC是的一条对角线，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。求证：AE=CF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，且 AB∥CD
∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90∘（垂直的定义）。
在△AEB和△CFD中：∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD
∴△AEB≌△CFD（AAS）
∴AE=CF
20.（本小题满分 8 分）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”。
小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：S=12(p+q)(R−r)。
小明做出以下思考：
请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明。
∵圆环形的面积 S=πR2−πr2
∴S=π(R2−r2)
∴S=π(R+r)(R−r)
∵圆的周长公式为 p=2πR，q=2πr
∴R=R=p2π，r=q2π
∴R+r=p2π+q2π=p+q2π
将 R+r=p+q2π代入 S=π(R+r)(R−r)：
S=π·p+q2π·(R−r)
∴S=12(p+q)(R−r)
21.（本小题满分 10 分）在由小正方形组成的7×7方格纸中，每个小方格的边长均为 1。A，B，C三点在格点上，请在给定的网格中完成作图。
(1)如图，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，作出平移后的线段CD，连接AD，得到四边形ABCD；
(2)四边形ABCD的面积为______，点P是四边形ABCD外一点，过点P作直线l，使直线l平分四边形ABCD的面积；
(3)在图中的格点上找一个点Q，使得△QBC的面积为 4，满足条件的点Q的个数为______。
(1) 作图步骤
∵平移不改变线段的方向和长度，
∴将点A沿BC方向平移，平移距离等于BC的长度，得到点D；
连接CD、AD，则四边形ABCD即为所求平行四边形。（画图略）
(2) 四边形ABCD的面积与平分直线
∵平移后四边形ABCD是平行四边形，
由网格坐标可得：底BC=25，高=655
∴面积=底×高=25×655=12。
∵平行四边形是中心对称图形，过对角线交点的直线平分其面积，
∴连接AC、BD交于点O，过点P和点O作直线l，则l平分四边形ABCD的面积。
(3)∵△QBC的面积为4，BC=25，
由三角形面积公式=12底×高，得高h=2SBC=455
∴点Q在与BC平行且距离为455的两条直线上，
在7×7方格中，格点上满足条件的点Q共有8个。
22.（本小题满分 10 分）
问题：已知ab=1，求11+a+11+b的值。
小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法：
已知ab=1，则a，b≠0，原式=abab+a+11+b=bb+1+11+b=b+1b+1=1。
请阅读上述材料，解决下列问题：
(1) 已知ab=1，则11−a2+11−b2=______；
(2) 已知ab=1，求11−a2026+11−b2026 的值。
(1)∵ab=1，
∴b=1a（a0，b≠0），且 a±1，b=±1（分母不为0）。
∴11−a2+11−b2
=11−a2+11−（1a）2
=11−a2+11−1a2
=11−a2+a2a2−1
=1－a21−a2
=1
(2)∵ab=1
∴b=1a（a0，b≠0），且 a±1，b=±1（分母不为0）
∴11−a2026+11−（1a）2026
=11−a2026+a2026a2026−1
=1－a20261−a2026
=1
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23.（本小题满分10分）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量。某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备。甲型设备的单价比乙型设备的单价低 400 元，用 60000 元购买甲型设备的数量和用 72000 元购买乙型设备的数量相同。
(1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；
(2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共 20 台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的 3 倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
(1)设甲型设备单价为x元，则乙型设备单价为(x+400)元。
根据题意：60000x=72000x+400
60000(x+400)=72000x，
展开得：60000x+24000000=72000x，
移项得：12000x=24000000，
解得：x=2000
经检验x=2000是原方程的根。
∴乙型设备单价：2000+400=2400（元）。
答：甲型设备单价为 2000 元，乙型设备单价为 2400 元。
(2) 求最少采购费用设购买甲型设备m台，则乙型设备(20−m)台。
根据题意：所以 m≤3(20−m)，
解得：m≤15。
采购总费用W=2000m+2400(20−m)，−400m+48000。
∵−4002）：CF=2t−4
∴t=2t−4，
解得：t=4。
当E在AD延长线上时（t>4，F在BC延长线上）：AE=t，CF=2t−4
∴t=2t−4，
解得：t=4（与情况 2 重合）。
综上，当t=43或t=4时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形。
25.（本小题满分 12 分）
【回归课本】
(1) 如图 1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C。
证明过程如下：
请完成填空：①______；②______；
【问题联想】
(2) 如图 2，在 (1) 的条件下，延长CD至点P，使PD=CD，连接BP。若AB=5，AD=4，BC=10，求出BP的长。
【问题解决】
(3) 如图 3，在Rt△ABC中，点D，E分别为线段AB和线段AC上的点，且AD=EC，BD=AC，请直接写出线段BE和线段DC的数量关系。
(1) 填空
①∵AD∥BM，AB∥DM，
∴四边形ABMD是 平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
②∵四边形ABMD是平行四边形，
∴AB=DM（平行四边形对边相等）。
(2)45
(3)BE=2CD
利用圆的周长公式可得，R=p2π，r=q2π
利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S=πR2−πr2
……
利用圆的周长公式可得，R=p2π，r=q2π
利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S=πR2−πr2
……