2025-2026学年下学期河南开封高三数学二模试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南开封高三数学二模试卷含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
1．本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 z=2−i ,则 z=
A. 1 B. 3 C. 5 D. 3
2. 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P22,12 ,则 sinθ=
A. 12 B. 22 C. 33 D. 63
3. 某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型, 需对采集的 4000 张图片进行人工标注, 图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类,已知四类图片的数量之比为 5:7:2:6 , 现采用分层抽样的方法抽取容量为 n 的样本对标注情况进行抽检,若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多 25 张,则 n=
A. 80 B. 100 C. 120 D. 160
4. 定义集合 A−B={x∣x∈A 且 x∉B} ,已知集合 A={1,a},B={2,b} ,若 A−B=1 , 则下列一定成立的是
A. a=2 B. b≠1 C. A∩B={2} D. B−A={2}
5. 设向量 a=x+1,x,b=x,2 ,则
A. “ x=−3 ” 是 “ a⊥b ” 的充分条件 B. “ x=−3 ” 是 “ a//b ” 的充分条件
C. “ x=0 ” 是 “ a⊥b ” 的必要条件 D. “ x=0 ” 是 “ a//b ” 的必要条件
6. 某同学每周进行两次游泳训练，每次游 5 趟或 6 趟. 第一次游 5 趟或 6 趟的概率均为 0.5 . 若第一次游 5 趟，则第二次游 5 趟的概率为 0.4 ，游 6 趟的概率为 0.6 ；若第一次游 6 趟，则第二次游 5 趟的概率为 0.6 , 游 6 趟的概率为 0.4 . 若一周至少游 11 趟为训练量达标, 则该同学一周训练量达标的概率为
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D.0.8
7. 已知有 4 个1 和 3 个-1,共 7 个数,排成一个数列 a1,a2,⋯,a7 ,若对任意 n=1,2,⋯,7 ,前 n 项和 Sn 都满足 Sn≥0 ,则满足上述条件的数列的个数为
A. 14 B. 20 C. 32 D. 40
8. 设函数 fx=sinωx+csωxω>0 ,若 fx+π=fx 恒成立,且 fx 在 0,π4 上最大值与最小值的和为 0,则 ω 的最小值为
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列函数是偶函数的是
A. fx=2x B. fx=lnx+1
C. fx=ex−e−x D. fx=ln1+x+ln1−x
10. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线与圆 A:x2+y−22=1 相切,记 C 的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为 C 上一点,且 BF2⊥F1F2,BF1 与圆 A 交于 M,N 两点,则
A. C 的离心率为 2 B. C 的渐近线方程为 y=±3x
C. tan∠BF1F2=33 D. 若 F1F2=8 ,则 MN=65
11. 已知 a+1na−1=b+1nb+1=c+1nc ,则
A. a+b>2 B. a−bb D. a+b>2c
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知平面 α 和直线 m,n ,给出下列三个论断:
① m⊥n ； ② m⊥α ； ③ n//α .
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:如果_____，则_____， 则_____. (只填写序号)
13. 抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F,A 为 C 的准线与 x 轴的交点， B 为 C 上一点，若 AB=AF ,则 cs∠BAF= _____.
14. 已知集合 A=x∣x=2n−1,n∈N∗,B=x∣x=2n,n∈N∗ . 将 A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an . 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,若 am∈B 且 am+33∈B , 则 Sm= _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 csA=−13,asinC=42 .
(1)求 c 的值；
(2)若 △ABC 的面积为 102,D 为 BC 的中点，求 AD 的长.
16.(15 分)
某中学开展劳动教育实践活动,学生进行某种蔬菜种植实验,实验分为育苗、定植、收获三个阶段. 已知每株蔬菜育苗成功的概率为 p00 经过点 P1,22,F 为 C 的右焦点,且 PF 与 x 轴垂直.
(1)求 C 的标准方程；
(2)设直线 l 与 C 交于 A,B 两点，且 OA⊥OB (O 为坐标原点)，探究:是否存在定圆与直线 l 始终相切？若存在,求出该定圆的方程; 若不存在,说明理由;
(3)在(2)的条件下，求 △AOB 面积的最大值，并求此时直线 l 的方程.
19.(17分)
已知函数 fx=exax 和 gx=ax1nx 有相同的极小值，其中 a≠0 .
(1)求a；
(2)证明:存在直线 y=b ，其与两条曲线 y=fx 和 y=gx 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列;
(3)在(1)(2)的基础上，某学习小组通过指数与对数之间的关系，探究得出:存在直线 y=c ,其与两条曲线 px=ex−ax 和 qx=ax−1nx 共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 请给出 b 与 c 满足的关系式,并说明理由.
2026 届高三年级第二次质量检测 数学参考答案
注意事项:答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. ②③① 13. 3−1 14. 1150
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
(1)因为 csA=−13,A∈0,π ，所以 sinA=1−cs2A=223 ， 2 分由正弦定理有 asinC=csinA=223c=42 ，解得 c=6 ；
(2)由 S△ABC=12bcsinA=12b×6×223=102 ，解得 b=5 ， 8 分因为 2AD=AB+AC , 10 分所以 4AD2=AB+AC2=AB2+AC2+2AB⋅AC=36+25+2×6×5×−13=41 , 12 分所以 AD=AD=412 . 13 分
16. (15分)
(1)由题意，10 株蔬菜育苗相互独立，每株育苗成功的概率均为 p ，因此育苗成功的株数 Y 服从二项分布，
即 Y∼B10,p ,根据二项分布的期望公式可得: EY=10p ; 3 分
PX≥9=PX=9+PX=10=10p91−p+p10=p910−9p. 7 分
(2)单株利润为正，即收入-成本 > 0，即 6X−18>0 ，解得 X>3 ， 8 分
已知 X∼N4,1 ，即 μ=4 ， σ=1 ， 3=μ−σ ， ⋯⋯⋯10 分
所以 PX>μ−σ=0.5+Pμ−σ≤X≤μ+σ2≈0.5+0.68272=0.84135 , 14 分
所以估计单株利润为正的概率为 0.84135 .
17. (15分)
(1)因为 AP⊥ 平面 AEF ， EF⊂ 平面 AEF ，所以 EF⊥AP ， 1 分
又因为 BC⊥ 平面 PAB,AP⊂ 平面 PAB,AE⊂ 平面 PAB ,所以 BC⊥AP,BC⊥AE , 2 分又因为 EF⊂ 平面 PBC,BC⊂ 平面 PBC ,
若 EF,BC 相交，则 AP⊥ 平面 PBC ，与 AP⊥ 平面 AEF 矛盾， 3 分所以 EF//BC ，所以 EF⊥AB ， ⋯⋯ 4 分
(2)如图，过 E 作 EE′⊥ 平面 AEF ，
分别以 EF,EA,EE′ 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 E−xyz , 5 分

设 n=x1,y1,z1 为平面 ABC 的法向量,所以 sinα=cs⟨AP,n⟩ , 6 分
因为 AP⊥ 平面 ABF ,所以 AP 是平面 AEF 的一个法向量,所以 csβ=cs⟨AP,n⟩ , 7 分
所以 sinα=csβ=sinπ2−β ,又 α,β∈0,π2 ,所以 α=π2−β 即 α+β=π2 . 9 分
(3)因为 EF//BC ， BC⊂ 平面 ABC ，所以 EF// 平面 ABC ，
又平面 AEF 与平面 ABC 的交线为 l,EF⊂ 平面 AEF ,所以 EF//l , 10 分
Q 为 l 上的点,则 P0,1,1,B0,−1,−1,C2,−1,−1,Qt,1,0 ,
PC=2,−2,−2,PQ=t,0,−1,BP=0,2,2 , 11 分
设 m=x2,y2,z2 为平面 PCQ 的法向量,
有 m⋅PC=0,m⋅PQ=0, 则 x2−y2−z2=0,tx2−z2=0, 令 x2=1 ,
所以平面 PCQ 的一个法向量 m=1,1−t,t , 12 分
所以点 B 到平面 PCQ 的距离 d=BP⋅mm=22t2−t+1=2t−122+34≤263 , 14 分所以点 B 到平面 PCQ 的距离的最大值为 263 . 15 分
18.(17分)
(1) F 为椭圆 C 的右焦点， PF 与 x 轴垂直，
所以 a2−b2=1,1a2+222b2=1 ,解得 a2=2,b2=1 , 3 分
所以椭圆 C 的标准方程为 x22+y2=1 . 4 分
(2)①直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,Ax1,y1,Bx2,y2 ， 联立直线 l 与椭圆 C 的方程，得 1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0 ， 5 分
则 Δ=16k2m2−81+2k2m2−1>0 即 m20 ,所以 a=1 . 4 分
(2)证明:由(1)知 fx=exx ， gx=xlnx ，且它们的极小值为 f1=ge=e ，
由(1)可知,当 x∈−∞,0 时, fxe 时, y=b 分别与 y=fx 和 y=gx 各有两个交点, 7 分
若 fx=gx ,则 x>1 ,解 exx=xlnx ,即 exlnx−x2=0 ,
设函数 Gx=exlnx−x2 ,则 G′x=exlnx+1x−2x , 8 分
由于 lnx+1x′=x−1x2>0 ,所以函数 y=lnx+1x 在 1,+∞ 上单调递增,所以 G′x=exlnx+1x−2x>ex−2x , 又由于 ex−2x′=ex−2>e−2>0 ,所以函数 y=ex−2x 在 1,+∞ 上单调递增,所以 G′x>ex−2x>e−2>0 , 所以函数 Gx=exlnx−x2 在 1,+∞ 上单调递增,又 Ge=ee−e2>0,G1=−1