2025年河南省开封市等三地高考数学二模试卷（含答案）

这是一份2025年河南省开封市等三地高考数学二模试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z满足(z−1)i=−1，则z−=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
2.抛物线y=14x2的准线方程是( )
A. y=−1B. y=1C. x=−116D. x=116
3.在△ABC中，BD=13BC，若AB=a，AC=b，则AD=( )
A. 13a−23bB. 13a+23bC. 23a+13bD. 23a−13b
4.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3=1，S6=−7，则公比q=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
5.设a，b∈R，则a1bB. a2+b2>2abC. eb−a>1D. ln(b−a)>0
6.已知正方体的内切球的体积为4 3π，则该正方体的外接球的表面积为( )
A. 12πB. 36πC. 9 3πD. 12 3π
7.将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是( )
A. 24B. 50C. 72D. 150
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，圆O经过直线x=±a，y=±b的四个交点，且圆O与C在第一象限交于点P，与x轴分别交于点E，F，则△PEF的面积为( )
A. a2B. b2C. a2+b2D. a2−b2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x|−30)的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为(−2,1)，则C的离心率为______．
14.已知直线y=−x+b与函数y=lnx−2，y=ex+2的图象分别交于A，B两点，则|AB|取最小值时，b= ______，最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？
(2)从该小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，B表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出P(B|A)，P(B|A−)的估计值．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题12分)
已知直线l：2x+2y+ 2=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，C为圆O上不同于A，B的一点.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)求角C；
(2)若a+b= 6，求△ABC的面积．
17.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且PA=AB=BC=12AD=2．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−lnx+1x−1，a>0．
(1)当a=2时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有唯一的零点，求a的值．
19.(本小题12分)
设n为不小于3的正整数，项数为n(n−1)2的数列{an}是公差大于0的等差数列，若存在项数为n的数列{bn}同时满足：
①数列{bn}中任意两项均不相同；
②任意正整数i，j(1≤i3.841，
所以依据α=0.05的独立性检验，能认为有差异；
(2)由题意P(A)=30100=0.3,P(AB)=20100=0.2,P(A−)=70100=0.7,P(A−B)=30100=0.3，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=,P(B|A−)=P(A−B)P(A−)=．
16.(1)解：圆O：x2+y2=1是单位圆，圆心O到直线l：2x+2y+ 2=0的距离d= 2 8=12，圆O的半径R=1，
∴|AB|=c=2 R2−d2=2 1−14= 3，
又C为△ABC外接圆O上一点，∴csinC=2R=2，
解之得sinC=c2= 32，
∵0°0，
所以∃x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，即f′(x0)=0，
且f(x)在x∈(0,x0)单调递减，f(x)在x∈(x0,+∞)单调递增，
所以f(x)在x=x0处取得极小值，
又当x→0时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞，
故若f(x)有唯一的零点，则必有f(x0)=0，
则aex0+lnx0x02=0，且aex0−lnx0+1x0−1=0，
消去a可得lnx0x02+lnx0+1x0+1=0，
即(x0+lnx0)(x0+1)=0，
又因为x0+1≠0，即x0+lnx0=0，
由②式可得：ax0ex0−lnx0−x0−1=0，即aex0+lnx0−(x0+lnx0)−1=0，
将x0+lnx0=0代入可得a−1=0，即a=1，
综上可知，若f(x)有唯一的零点，则a=1．
19.解：(1)首先项数为3(3−1)2=3，且数列{bn}中任意两项均不相同；
b1+b2=3，b1+b3=4，b2+b3=5，满足条件②，则上述数列满足题意．
故等差数列{an}：3，4，5，数列{bn}：1，2，3；
(2)数列{bn}四项均不相同，故总的排列方法有A44=24种．
假设数列{bn}各项从小到大排列，即b1