专题01期中真题百练通关（期中复习专项训练，105题11大常考题型）八年级数学下学期新教材沪科版+答案

这是一份专题01期中真题百练通关（期中复习专项训练，105题11大常考题型）八年级数学下学期新教材沪科版+答案，共32页。试卷主要包含了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，最简二次根式等内容，欢迎下载使用。

题型一 二次根式有意义的条件（共4小题）
1．（2026•庐阳区校级一模）若分式1x−4有意义，则实数x的取值范围是 ．
2．（2026•阜阳校级一模）若y=x−4+4−x2−2，则（x+y）﹣1＝ ．
3．（2025•金安区校级一模）若xx−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
4．（2018•邵阳县模拟）已知a−17+17−a=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
题型二 二次根式的性质与化简（共8小题））
5．（2025春•舒城县校级期中）已知xy＜0，化简二次根式x−yx2的正确结果为（ ）
A．yB．−yC．−yD．−−y
6．（2025秋•埇桥区校级月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|b−a|−b2的结果是（ ）
A．2b﹣aB．b﹣2aC．aD．﹣a
7．（2025春•舒城县校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简(a+b)2−(a−b)2的结果是（ ）
A．0B．﹣2aC．﹣2bD．2a﹣2b
8．（2025春•怀宁县期中）已知(2a−1)2=1﹣2a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞12B．a＜12C．a≥12D．a≤12
9．（2026•安徽二模）下列运算正确的是（ ）
A．2a•6a＝12aB．2b⋅8b=4b
C．（3c）3＝3c3D．−d3=d
10．（2021春•鸠江区校级期末）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab=ab，②ab•ba=1，③ab÷ab=−b，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
11．（2024春•瑶海区校级期中）下列式子正确的是（ ）
A．ab=abB．a2=aC．ab=a⋅bD．2ab≤a+b
12．（2025春•桐城市校级期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A．ab=abB．ab×ba=1
C．ab+ab=bD．(ab)2=−ab
题型三 最简二次根式（共4大题）
13．（2024春•花山区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．13B．7C．9D．20
14．（2025春•亳州期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8B．46C．13D．0.64
15．（2025春•安庆校级期中）下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．8xyB．x2yC．x2+y2D．1x
16．（2025秋•蒙城县期末）如果最简二次根式a−b3a和2a−b+2是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝﹣2B．a＝2，b＝0C．a＝﹣1，b＝1D．a＝0，b＝2
题型四．二次根式的混合运算及化简求值（共11小题）
17．（2025春•蜀山区校级期中）下列运算正确的是（ ）
A．3+6=9B．35−5=2C．24÷6=4D．3×5=15
18．（2025春•合肥月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽B．小丽和小红
C．小红和小亮D．小丽和小亮
19．（2025秋•宿州期末）计算：（32−8）÷2= ．
20．（2025春•安徽校级期中）计算：48÷3−12×12+24．
21．（2025秋•蒙城县期末）计算：(2+3)(3−2)+(3−2)2+|23−4|−(3−1)2．
22．（2025春•潜山市期中）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则xyx+yxy值是（ ）
A．6B．﹣6C．3D．﹣3
23．（2025春•瑶海区期中）若x=5−12，则代数式x3+3x2+x﹣5的值为 ．
24．（2024春•怀宁县期中）如果x2﹣3x﹣1＝0，则x2+1x2−7的值是 ．
25．（2025春•芜湖校级期中）已知x=13+22，y=13−22，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2．
（2）x2+y2+3xy．
26．（2026春•合肥校级月考）爱思考的小明在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，a−2=−3，
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的思维方法，解决如下问题：
（1）计算：12+1；
（2）已知：b=12+1，求4b2+8b﹣3的值；
（3）计算：12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99= ．
27．（2025春•凤阳县校级期中）【阅读材料】对任意一个实数x，定义：[x]表示不超过x的数大整数，{x}表示x的非负纯小数部分．即0≤{x}＜1．则x＝[x]+{x}．例：5=[5]+{5}，其中[5]＝2，{5}=5−2；−5=[−5]+{−5}，其中[−5]=−3，{−5}＝3−5．
【解答问题】
（1）[10−10]= ；
（2）若[1−x2]=−5，求整数x的值；
（3）若x＝8+5，y＝2+5，求（{x}﹣{y}）2+（[x]﹣{x}+5）的值．
题型五．一元二次方程的定义及方程的解（共7小题）
28．（2015春•利辛县校级月考）下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y＝1B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+1x=4D．x2﹣2＝0
29．（2025春•瑶海区期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ．
30．（2025秋•黄山期中）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（ ）
A．﹣2027B．﹣2023C．2023D．2027
31．（2025春•贵池区期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（ ）
A．x＝2026B．x＝2025C．x＝2024D．x＝2022
32．（2025秋•芜湖期末）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．0
33．（2026•安徽模拟）若m，n为正实数，设k=mn，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实数根．
（1）若k=12，则tn的值是 ；
（2）用含k的代数式表示：tn= ．
34．（2025秋•埇桥区校级月考）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：
（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是 ；
（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为 ．
题型六．一元二次方程的解法（共10题）
配方法（共2小题）
35．（2025秋•怀宁县期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝10B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣1）2＝1
36．（2025春•舒城县校级期中）将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝10B．a＝﹣3，b＝10
C．a=3，b=192D．a=−3，b=192
公式法（共3小题）
37．（2026春•长丰县月考）解方程：12x2−3x﹣5＝0．
38．（2026•裕安区校级模拟）阅读材料，回答问题：
请将①②③④⑤⑥补充完整．
39．（2025•潜山市开学）解方程：（3x﹣1）（x+1）＝1．
因式分解法（共5小题）
40．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（ ）
A．x1=12，x2＝﹣5B．x1=−12，x2＝5
C．x1＝﹣1，x2=52D．x1＝1，x2=−52
41．（2025春•安庆校级期中）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根．则该三角形的周长是（ ）
A．8B．10C．8或10D．8或9或10
42．（2026•阜阳校级一模）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
43．（2025春•宣城校级期中）对于两个不相等的实数m，n，我们规定符号max{m，n}表示m，n中较大的数，如：max{﹣3，5}＝5．
（1）max{32，23}= ．
（2）方程max{4x﹣3，x}＝x2的解为 ．
44．（2024春•利辛县期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下：m※n=m2+m+n(m＞n)n2+m+n(m≤n)．
（1）若m＝﹣3，n＝2，则m※n＝ ；
（2）若x※（﹣1）＝5，则实数x的值为 ．
题型七．根的判别式（共9小题）
45．（2026•包河区一模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．14B．−14C．12D．−12
46．（2024春•合肥期末）若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1
47．（2026春•太湖县月考）规定：对于任意实数m，n，p，有[m，n]*p＝mp﹣2n，如[﹣3，4]*2＝﹣3×2﹣2×4＝﹣14，若关于x的方程[x，x﹣3]*mx＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m＜16B．m＞−16
C．m＜16且m≠0D．m＞−16且m≠0
48．（2024•六安模拟）若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
49．（2025春•庐阳区校级期中）已知等腰△ABC的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个根，则m的值是 ．
50．（2026•安徽二模）已知实数a，b，c满足a+b﹣2c＝10．
（1）若a＞0且a﹣b+c＝0，则b的范围是 ；
（2）若ab﹣50＝2c2，则a﹣b﹣c的值为 ．
51．（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
52．（2025春•舒城县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣3＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若a是方程的一个实数根，且满足（a2﹣4a+1）（m+2）＝﹣40，求m的值．
53．（2025春•庐阳区校级期末）若a是关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣3＝0的一个根．
（1）求m的取值范围；
（2）若a+b﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+n＝0的一个根．
（ⅰ）请用含a、b的式子表示n；
（ⅱ）若n＝b﹣5，且b≠﹣2a+2，求b的值．
题型八．根与系数的关系（共5小题）
54．（2025春•合肥校级期中）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2B．x1+x2＝3
C．x1x2=−32D．x1x2=−12
55．（2025秋•庐江县校级期中）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且x12+x22=12，则b的值为（ ）
A．2B．﹣6C．2或﹣6D．6或﹣2
56．（2025•颍上县一模）设a、b是一元二次方程2x2+4x﹣5＝0的两个根，则2a2+5a+b的值为（ ）
A．﹣3B．5C．3D．52
57．（2025春•安庆校级期中）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求mn+1mn+m+1的值（ ）
A．75B．65C．3D．43
58．（2025秋•合肥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请求出m的值．
题型九．一元二次方程的应用（共9小题）
59．（2026•庐江县一模）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，2024年安徽省量子科技产业规模为120亿元，预计到2026年为200亿．设2025年、2026年两年产业规模的年平均增长率为x，则可列出的方程为（ ）
A．120（1+x）2＝200B．120（1+2x）＝200
C．120（1+x%）2＝200D．120（1+2x%）2＝200
60．（2025秋•蒙城县期末）某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1540B．x(x−1)2=1540
C．x（x﹣1）＝1540D．2x（x+1）＝1540
61．（2025秋•泗县期末）某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有x支球队进行了21场比赛，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣2）＝42B．x(x+1)2=21
C．x2﹣x＝21D．x(x−1)2=21
62．（2025春•金安区校级期中）某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝146
B．50（1+x）+50（1+x）2＝146
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝146
D．50（1+x）+50（1+2x）＝146
63．（2024春•金安区校级期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米
64．（2025春•庐阳区校级期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0解法的构图是（ ）
A．B．
C．D．
65．（2026•太和县一模）综合与实践
【项目主题】
探究新款迷你无人机校园营销方案
【项目背景】
某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略．
【项目准备】
数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况．
知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式．
工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格．
【项目实施】
阶段一：销售增长趋势分析
任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率．
阶段二：校园促销方案设计
任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
【项目成果】
科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案．
（1）解决任务1．
（2）解决任务2．
66．（2025春•安徽期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
（1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
（3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率=利润成本×100%）
67．（2026春•太和县校级月考）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.75m、0.75m、1.5m宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长45m．
（1）若饲养场（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC＝ m．
（2）若饲养场（长方形ABCD）的面积为165m2，求边CD的长．
题型十．勾股定理（共13小题）
68．（2025秋•霍邱县校级期末）在下列条件：
①∠A+∠C＝∠B；
②∠A=12∠B=13∠C；
③∠A＝∠B＝2∠C；
④∠A：∠B：∠C＝1：3：4中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
69．（2026•安徽一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（ ）
A．1B．3C．3−5D．5
70．（2026•阜阳校级一模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当AB＝BC＝1，∠AOB＝30°时，OC的长为（ ）
A．5B．2C．213D．72
71．（2026•肥东县校级开学）如图，等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边的中点，连接CD并延长至点P，作AP⊥PQ交BC于点Q，若CQ＝1，则CP＝ ．
72．（2025春•安徽校级期中）如图，在直角△ADC中，CD⊥AC，AD＝10，DC＝6，AC绕点A摆动到AB的位置，取AB的中点E，连接BD、CE，求AC绕点A摆动的过程中，
（1）AC＝ ；
（2）BD+CE的最小值为 ．
73．（2025春•庐阳区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP＝ ．
（2）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t＝ 时，能使DE＝CD．
74．（2025秋•合肥校级期末）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
（1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的“总统证法”图形，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，请推导勾股定理．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
75．（2025春•庐江县校级期中）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，求∠C的度数．
（2）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠ACB＞∠A，D是AB上的点，连接CD，满足AD＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．求证：△ABC为“类勾股三角形”．
76．（2025春•利辛县期中）如图，已知线段OA的长度为1，以OA为直角边作等腰直角△OAA1，∠OAA1＝90°；以OA1为直角边作等腰直角△OA1A2，∠OA1A2＝90°；以OA2为直角边作等腰直角△OA2A3，∠OA2A3＝90°；以OA3为直角边作等腰直角△OA3A4，∠OA3A4＝90°；以OA4为直角边作等腰直角△OA4A5，∠OA4A5＝90°；…，照此方法一直作图下去．
【填空】OA1＝ ；OA2＝ ；OA3＝ ；OA4＝ ；OA5＝ ；OA6＝ ；
【猜想】OAn＝ ；（用含n的式子表示）
【应用】
（1）OA2025＝ ；（化简）
（2）求OA1+OA2+OA3+OA4+…+OA10的值．
77．（2025秋•埇桥区校级月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为垂美四边形，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求证：a2+c2＝b2+d2；
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB＝10，AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，AD：BE＝4：1，求BE的长；
（3）在（2）的条件下求AF的长．
78．（2026•无为市一模）如图所示的“赵爽弦图”，大正方形ABCD面积为29，小正方形EFGH面积为9，则AG长为（ ）
A．27B．42C．34D．6
79．（2026•怀宁县开学）青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形ABCD、DEFG、CGHI均为正方形．若正方形ABCD、CGHI的面积分别为45、9，则AF＝ ．
80．（2024春•天长市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝30，求S2．
题型十一．勾股定理的逆定理（共18小题）
81．（2025春•庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．c2＝a2﹣b2B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠B﹣∠AD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
82．（2025春•肥东县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC=2，CD＝1，AD＝23，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．33+22B．332C．2+221D．3+21
83．（2025春•南陵县期末）如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
84．（2024春•蚌埠期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点P在线段AB上，连结CP．以下说法不正确的是（ ）
A．当AP=95时，△CPB是直角三角形
B．当AP=52时，△CPB是等腰三角形
C．当AP＝1时，△CPB是等腰三角形
D．当AP=127时，CP平分∠ACB
85．（2025春•埇桥区校级月考）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝ 时，△PBQ是直角三角形．
86．（2025春•肥东县校级期末）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝ ．
87．（2024春•太和县校级月考）图①②中的网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点P，A，B，C，D都在格点上．
（1）如图①，∠APB的度数为 ；
（2）如图②，∠DAB+∠CAB的度数为 ．
88．（2024春•南谯区校级期中）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m为正整数），则股是（结果用含m的式子表示）（ ）
A．m2+1B．m2﹣1C．2m+2D．2m+3
89．（2026•庐江县一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足a2+b2＝c2，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数：
第一类：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）．
第二类：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）．
（1）任写一组勾股数满足第一类形式为 ；
（2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数 ，并证明你的猜想．
90．（2025春•庐江县校级期末）观察下列等式：
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上述规律： ＝（n2+1）2．
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
91．（2025秋•宿州期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（ ）尺．
A．26B．24C．13D．12
92．（2023春•淮南期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
93．（2024春•寿县期末）如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．14cmB．15cmC．24cmD．25cm
94．（2026•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（ ）
A．10−2B．26−22C．22−2D．22−6
95．（2025春•瑶海区校级期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺，设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
96．（2024春•濉溪县期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
97．（2025秋•埇桥区校级月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）
98．（2024春•潜山市期中）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m．
（1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
99．（2025秋•埇桥区校级月考）动手操作：
（1）如图1，把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点 重合，点B与点 重合；
探究与发现：
（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？
（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？

1．俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为 （参考数据2≈1.4)．
2．如图，AB与CD相交于点E，若∠AEC＝60°，AB＝2，CD＝3，则AC+BD的最小值为
3．先阅读，再解答：由(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，请完成下列问题：
（1）2−1的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号：33−6= ；（直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：(12+1+13+2+14+3+⋯+12027+2026)(2027+1)．
4．材料1：古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a、b、c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）；
材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
阅读上述材料解决下列问题：
（1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为 ．
（2）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为 ．
5．欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，分别以a2和b为两直角边长作Rt△ABC，然后在斜边AB上截取AD＝AC，则BD的长就是方程x2+ax＝b2的正根．
利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+ax＝64时，若构造后的图形满足BD＝2AD，则△ABC的面积为 ．
6.通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形﹣两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填“是”或不是）；
（2）若某三角形的三边长分别为1、7、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据；
（3）在Rt△ABC中，两边长分别为a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．
题型1 二次根式有意义的条件
题型7 根的判别式
题型2 二次根式的性质与化简
题型8 根与系数的关系
题型3 最简二次根式
题型9 一元二次方程的应用
题型4二次根式的混合运算及化简求值
题型10 勾股定理
题型5 一元二次方程的定义及方程的解
题型11 勾股定理的逆定理
题型6 一元二次方程的解法
主题
一元二次方程整数根的探究
提出问题
小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程x2−(3+1)x+3n−6=0有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有m＝n．
分析探究
问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明：
设n为有理数，已知方程x2−(3+1)x+3n−6=0有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：m2−(3+1)m+3n−6=0，整理得： ①，由m为整数知： ②是整数，∴3(m−n)一定是整数，∴m﹣n是有理数，∴m﹣n＝0，∴m＝n．
推广延伸
小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题．
问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c），求a的可能值．
解法一：由（x+a）（x﹣15）﹣25＝（x+b）（x+c）得（b+c﹣a+15）x+bc+25+15a＝0．
∵x具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得b+c=a−15bc=−25−15a，
∴bc+15（b+c）+152＝﹣25，即（b+15）（c+15）＝﹣1×25＝﹣5×5＝1×（﹣25），
从而有b+15=−1c+15=25或③ 或④ ，
即b+c＝﹣6或b+c＝﹣30或b+c＝﹣54．
当b+c＝﹣6时，a＝9，同理⑤ 或⑥ ，
综上，a的可能值即可得出．
解法二：在上面，我们已经求得b+c=a−15bc=−15a−25⋯
第1个等式
（22﹣1）2+42＝（22+1）2
第2个等式
（32﹣1）2+62＝（32+1）2
第3个等式
（42﹣1）2+82＝（ ）2
第4个等式
（52﹣1）2+102＝（52+1）2
……
……