2026合肥六校联考高二上学期期末考试数学含解析

这是一份2026合肥六校联考高二上学期期末考试数学含解析，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知空间向量，.若，则（ ）
A．B．C．2D．10
2．已知等差数列的前项和为，且，，则数列的公差为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．或
5．如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．在平面内，，是两个定点，是动点，若（是常数且大于），则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆
C．抛物线D．直线
8．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列函数的导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：， 下列说法正确的是（ ）
A．当时，使得需要步雹程
B．当时，则
C．若，则的所有可能取值之和为
D．若，为的前项和，则
三、填空题
12．等轴双曲线的渐近线方程为 ．
13．若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 .
14．已知点是棱长为的正方体表面上一个动点，若三棱锥的体积为，则点的轨迹的长度为 ．
四、解答题
15．已知的三个顶点分别为，，．
(1)求的面积；
(2)求的外接圆的标准方程．
16．设为数列的前项和，已知，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)判断，，是否成等差数列并说明理由．
17．如图，在四棱锥中，底面，，，且，．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分．
①求直线的斜率；
②若，求直线的方程．
19．若各项均为正数的数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若正项等比数列，满足，求；
(3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】由题意得：，解得.
故选：C
2．B
【详解】设等差数列的首项和公差分别为和,则由题意可得,联立解得.
故选:B.
3．B
【详解】因为椭圆，所以，，，
因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知，
，，
的周长为，
故选：B．
4．D
【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为，
设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为；
当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为，
代入点解得，此时直线的斜率为.
故选：D.
5．C
【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
，，，.
由题意可得，．
， ，
所以，
即异面直线和所成角的余弦值为.
故选：C．
6．A
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，
所以直线方程为，即，
故选：A.
7．A
【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，，则，，
由题意，得，
即，又是常数且大于，所以，
因此动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.
故选：A．
8．D
【详解】连接，，由双曲线的光学性质，得，，三点共线，，，三点共线，
则，，于是，，
不妨设，，，由双曲线的定义得，，
则，，而，
解得，，，在中，由勾股定理得，，
即，解得，所以双曲线的离心率
故选：D
9．AC
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
10．ABD
【详解】因为抛物线：，所以，即，准线方程为，
焦点为，设，，直线：，
，可得，所以，，
，，
，所以A正确；
，，可得，所以B正确；
，所以C不正确；
的面积，所以D正确.
故选：ABD．

11．ACD
【详解】对于A，当时，即，根据上述运算法则得出：，故当时，使需要步雹程，故A正确；
对于B，是偶数，每次操作均除以，经过次操作后，，故B错误；
对于C，若，根据上述运算法则进行逆推，，，或，
若，则，或5，
当时，，当时，
若，则，，或
故的所有可能取值集合，
所以的所有可能取值之和为，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：ACD．
12．
【详解】等轴双曲线得出，所以渐近线方程为.
故答案为：.
13．
【详解】函数，.
求导得,，
故曲线在处的切线斜率为.
由，得，所以其斜率为.
所以，解得 .
故答案为：.
14．
【详解】设为点到平面的距离，则，解得
建立空间直角坐标系，则，
，，
有，即，
而与为平面内的两条相交直线，得平面，且
而，得点到平面的距离为，
如图所示：取棱上的中点，得等边三角形和正六边形，易知平面平面，平面平面，
因为点到平面的距离为，可知点到平面的距离也为，
由中点的性质可知：到平面的距离为，
则点的轨迹为一个边长为的等边三角形和一个边长为的正六边形，
此时点到平面的距离一直都为，故三棱锥的体积一直为，
故点的轨迹的长度为：．
故答案为：.

15．(1)
(2)
【详解】（1）方法一：根据已知条件，所在直线的方程为，即，
则点到直线的距离，
又，
故的面积.
方法二：根据已知条件，，，
则有，所以，
所以为直角三角形，为其直角边，
而，
，
故的面积.
（2）方法一：设的外接圆方程为.
将，，代入，
得，解得，
所以的外接圆方程为，
其标准方程为.
方法二：由（1）可知为直角三角形，为其斜边，
则的外接圆直径即为，
由已知可得，的中点为，即圆心为，
又半径，
故的外接圆的标准方程为.
16．(1)证明见解析
(2)，，成等差数列，理由见解析
【详解】（1）证明：由可得：，
又
则为首项为，公比为的等比数列；
（2）由可得，即有，
，
假设，，成等差数列，，
可得，，成等差数列．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）以点为原点，以 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
平面 的一个法向量 ，

且 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以平面 平面
（2）由(1)知：平面 的一个法向量 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
因为 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1）可得.
故椭圆方程为：．
（2）①由条件知，
设，，则满足，，
两式作差得：，化简得，
当时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意；
当时，因为被平分，故，
所以，即直线的斜率．
设直线为，代入椭圆方程可得，
所以，，
，
，
故
，
由得：即，解得
又因为方程①中，所以.
故所求直线方程为，即
19．(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）由，可得，且，
又，所以，
即，
因为，所以，所以，
所以是公差为的等差数列.
又，得，所以.
（2）设的公比为，因为，所以，
即，解得舍或，
因为，所以，，
所以，
，
两式相减得:.
所以；
（3）由（2）得不等式，可变为
当为奇数时，，
记，所以， ，
令，得，所以.
所以时，，即，即，
时，，即，即且取奇数时，单调递增，
此时，即；
当为偶数时，，所以，
时，，即，
时，，即，且取偶数时，单调递增.
此时，所以，即.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
C
A
A
D
AC
ABD
题号
11









答案
ACD