安徽省合肥市2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题含解析

这是一份安徽省合肥市2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题含解析，共14页。试卷主要包含了 若，则， 下列函数为奇函数的是， 已知向量，若，则实数λ的值是， 已知函数的图象过点，则等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷共 4页.全卷满分 100分，考试时间 90分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 (选择题共 54 分)
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：D
2. 下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.
【详解】由幂函数的单调性可知在定义域上单调递减，故A正确；
在上单调递减，上单调递增，不符题意，
在上单调递增，不符题意，
在上单调递增，不符题意，即B、C、D错误.
故选：A
3. 在平面直角坐标系中，下列与角终边相同的角是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.
【详解】由题意可知，所以与终边相同.
故选：B
4. 若，则
A. 1B. -1C. iD. -i
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：，故选C．
【考点】复数的运算、共轭复数．
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
5. 下列函数为奇函数的是（）
A. B. C. D. y=lg₂x
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.
【详解】对于A中，函数为奇函数，符合题意；
对于B中，函数为偶函数，不符合题意；
对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D中，函数为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：A.
6. 已知函数对于任意实数x满足，若，则（）
A. -5B. -3C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.
【详解】由，，可知，函数的周期，
.
故选：C
7. 已知a+b>0，bb>-a>-bB. a>b>-b>-a
C. a>-b>-a>bD. a>-b>b>-a
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目信息，a+b>0，b0，b0，则的最小值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】解：∵a>0，
∴（当且仅当a=1时取“=”）.
故答案：2
20. 某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生 800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.
【答案】40
【解析】
【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.
【详解】设高二年级抽取的学生人数为，
则，则.
故答案为：
21. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.
【详解】设正方体棱长为a，则，
根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R，
则，
∴外接球体积.
故答案为：.
22. 在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是 30 元/千克，产品的日销售量P(千克)与销售单价x(元/千克)满足关系式，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x(元/千克)为_______________.
【答案】42
【解析】
【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知农户的日利润，
由二次函数的单调性可知：
若，有时，；
若，有时，；
故时，日利润取得最大值.
故答案为：42
三、解答题(本大题共3小题，每小题 10分，满分 30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
23. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，且求的值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据周期公式求解即可；
（2）先根据平方关系求得，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
函数的最小正周期为.
【小问2详解】
因为，则，
所以.
24. 如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点为棱的中点，
（1）求证: 平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
因为为等边三角形，点为棱的中点，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
，，
因为平面，
所以.
25. 某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
（1）作出使用了节水龙头天日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
日用水量
频数
日用水量
频数